Der Einschnürungssatz und trigonometrische Grenzwerte

Grenzwerte jenseits der Rechenregeln

In der Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte wurde jeder unbestimmte Ausdruck der Form $\frac{0}{0}$ gelöst, indem man den Term umformte, bis sich ein gemeinsamer Faktor kürzen ließ. Der Quotient $\frac{\sin x}{x}$ lässt, wenn $x$ gegen $0$ strebt, diese Behandlung nicht zu: Der Sinus ist kein Polynom, und keine Faktorisierung lässt den Faktor $x$ im Zähler erscheinen. Auch die Produktregel entscheidet nicht über den Grenzwert von $x \sin \frac{1}{x}$ an der Stelle $0$, denn der Faktor $\sin \frac{1}{x}$ hat keinen Grenzwert, wie in Übungsaufgabe 3 der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen zu beweisen war.

Nun ist die Funktion in beiden Fällen zwischen zwei einfacheren eingeschlossen: Der Betrag von $x \sin \frac{1}{x}$ übersteigt $\abs{x}$ nicht, und der Quotient $\frac{\sin x}{x}$ liegt, wie sich zeigen wird, zwischen $\cos x$ und $1$. Wenn dem so ist, lohnt es sich, ein einziges Mal zu beweisen, dass eine Funktion, die zwischen zwei gegen dieselbe Zahl strebenden Funktionen eingeschlossen ist, ebenfalls gegen diese Zahl strebt. Die Beweise dieser Lektion folgen dem Plan der vorigen: Jedes Ergebnis wird auf eine Ungleichung reduziert, und das Schrankenkriterium oder das daraus hergeleitete Werkzeug erledigt den Rest.

Es gelten die Konventionen der vorigen Lektion: $f$, $g$ und $h$ sind reelle Funktionen, die auf derselben Menge $A$ definiert sind, die Stelle $a$ ist ein Häufungspunkt von $A$, und dass etwas „in der Nähe von $a$“ gilt, bedeutet, dass es ein $r > 0$ gibt, sodass es für jedes $x$ aus $A$ mit $0 < \abs{x - a} < r$ gilt. Man erinnere sich an das Werkzeug, mit dem die Betrachtung der drei Lemmata schloss: Gilt $\lim_{x \to a} f(x) = L$ und $\lim_{x \to a} g(x) = M$, so strebt jede Funktion $F$, die in der Nähe von $a$ eine Abschätzung wie die folgende mit $C > 0$ erfüllt, gegen $K$.