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Topos Uranos
Deutsch

Rechenregeln für Grenzwerte

Zusammenfassung

Diese Lektion leitet aus der Definition des Grenzwerts die Regeln her, mit denen man Grenzwerte berechnen kann, ohne jedes Mal ein δ\delta zu suchen. Die Beweise sind so angeordnet, dass jeder die vorangehenden nutzt: Drei Lemmata, mit Epsilon und Delta bewiesen, reduzieren jede Regel auf eine Ungleichung, und mit ihnen erhält man die Grenzwerte der Summe, des Produkts, des Kehrwerts und des Quotienten. Daraus folgen die der Polynome und der rationalen Funktionen, die das direkte Einsetzen rechtfertigen; danach die der Wurzeln und der Potenzen mit rationalen Exponenten sowie der Satz über den Grenzwert einer Verkettung, der die Substitution rechtfertigt. Die Lektion endet mit dem, was die Regeln nicht sagen: wann ein Quotient keinen endlichen Grenzwert hat und warum die Regeln nicht in umgekehrter Richtung gelten. Die Aufgaben lösen unbestimmte Ausdrücke der Form 00\frac{0}{0} durch Faktorisieren, Rationalmachen und Substitution und bestimmen Konstanten so, dass ein Grenzwert existiert.

Lernziele

  1. Das Schrankenkriterium mit Epsilon und Delta beweisen und daraus die Grenzwerte der Summe, des Produkts, des Kehrwerts und des Quotienten herleiten.
  2. Die Grenzwerte der Polynome, der rationalen Funktionen, der Wurzeln und der Potenzen mit rationalen Exponenten beweisen und das direkte Einsetzen unter seinen Bedingungen anwenden.
  3. Den Satz über den Grenzwert einer Verkettung beweisen, die Notwendigkeit seiner Voraussetzungen erkennen und ihn als Substitution anwenden.
  4. Grenzwerte der Form 00\frac{0}{0} durch Faktorisieren, Rationalmachen oder Substitution berechnen und beweisen, wann ein Quotient keinen endlichen Grenzwert hat.

Der Plan der Beweise

In der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen wurde mit der Definition bewiesen, dass lim⁡x→3x2=9\lim_{x \to 3} x^2 = 9 gilt, und die Arbeit bestand darin, ∣x2−9∣\abs{x^2 - 9} durch ein Vielfaches von ∣x−3∣\abs{x - 3} abzuschätzen. Alle Regeln dieser Lektion haben dieselbe Form: Um zu beweisen, dass eine Funktion FF gegen KK strebt, schätzt man den Abstand ∣F(x)−K∣\abs{F(x) - K} durch ein Vielfaches von Abständen ab, von denen man schon weiß, dass sie klein werden. Wenn dem so ist, lohnt es sich, ein einziges Mal mit Epsilon und Delta zu beweisen, dass eine solche Abschätzung genügt; danach reduziert sich jede Regel darauf, die passende Ungleichung zu finden, und kein Epsilon-Delta-Argument wiederholt sich.

In der ganzen Lektion sind ff und gg reelle Funktionen, die auf derselben Menge AA definiert sind, die Stelle aa ist ein Häufungspunkt von AA, und wenn gesagt wird, dass f(x)f(x) etwas „in der Nähe von aa“ erfüllt, so ist gemeint, dass es ein r>0r > 0 gibt, sodass jedes xx aus AA mit 0<∣x−a∣<r0 < \abs{x - a} < r es erfüllt. Aus der vorigen Lektion werden die Definition, die Eindeutigkeit des Grenzwerts, die Grenzwerte der konstanten und der identischen Funktion, das Lemma, nach dem der Grenzwert nur von den Werten in der Nähe der Stelle abhängt, und die lokale Beschränktheit mit der Vorzeichenerhaltung verwendet.