극한의 연산 법칙 · Topos Uranos

요약

이 수업은 극한의 정의로부터, 매번 $\delta$ 를 찾지 않고도 극한을 계산할 수 있게 해 주는 법칙들을 이끌어 낸다. 증명들은 각각이 그보다 먼저 얻은 것을 활용하도록 배열되어 있다. 엡실론과 델타로 증명하는 세 보조정리가 모든 법칙을 하나의 부등식으로 환원하며, 이를 이용해 합, 곱, 역수, 몫의 극한을 얻는다. 여기서 다항식과 유리함수의 극한이 따라 나오고, 이것이 직접 대입을 정당화한다. 이어서 거듭제곱근과 유리수 지수의 거듭제곱의 극한, 그리고 합성함수의 극한 정리를 얻으며, 이것이 변수 치환을 정당화한다. 수업은 법칙들이 말하지 않는 것으로 끝난다. 몫이 언제 유한한 극한을 갖지 않는지, 그리고 왜 법칙들이 반대 방향으로는 성립하지 않는지이다. 문제들은 인수분해, 유리화, 변수 치환으로 $\frac{0}{0}$ 꼴의 부정형을 풀고, 극한이 존재하도록 상수를 정한다.

학습 목표

상계 판정법을 엡실론과 델타로 증명하고, 그로부터 합, 곱, 역수, 몫의 극한을 이끌어 낸다.
다항식, 유리함수, 거듭제곱근, 유리수 지수의 거듭제곱의 극한을 증명하고, 조건에 유의하여 직접 대입을 적용한다.
합성함수의 극한 정리를 증명하고, 그 가정의 필요성을 인식하며, 이를 변수 치환으로 적용한다.
$\frac{0}{0}$ 꼴의 극한을 인수분해, 유리화 또는 변수 치환으로 계산하고, 몫이 언제 유한한 극한을 갖지 않는지 증명한다.

증명의 계획

실변수 함수의 극한에 관한 수업에서는 정의를 이용하여 $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ 임을 증명했으며, 그 작업은 $\abs{x^2 - 9}$ 를 $\abs{x - 3}$ 의 상수배로 위에서 누르는 것이었다. 이 수업의 모든 법칙은 같은 형태를 가진다. 함수 $F$ 가 $K$ 로 간다는 것을 증명하려면, 거리 $\abs{F(x) - K}$ 를 작아진다는 것이 이미 알려진 거리들의 상수배로 위에서 누른다. 그렇다면 그러한 누름으로 충분하다는 것을 엡실론과 델타로 한 번만 증명해 두는 것이 좋다. 그 뒤로는 각 법칙이 알맞은 부등식을 찾는 일로 환원되고, 엡실론과 델타를 쓰는 논증은 한 번도 되풀이되지 않는다.

이 수업 전체에서 $f$ 와 $g$ 는 같은 집합 $A$ 에서 정의된 실함수이고, 점 $a$ 는 $A$ 의 집적점이며, $f(x)$ 가 「 $a$ 근처에서」 무언가를 만족한다고 할 때는 어떤 $r > 0$ 가 존재하여 모든 $x$ ( $A$ 의 원소로서 $0 < \abs{x - a} < r$ 을 만족하는 것)가 그것을 만족한다는 뜻이다. 앞 수업에서는 정의, 극한의 유일성, 상수함수와 항등함수의 극한, 극한은 점 근처의 값에만 의존한다는 보조정리, 그리고 국소 유계성과 부호 보존을 가져다 쓴다.