Opérations sur les limites

Le plan des démonstrations

Dans la leçon sur la limite des fonctions d’une variable réelle, on a démontré à partir de la définition que $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$, et le travail a consisté à majorer $\abs{x^2 - 9}$ par un multiple de $\abs{x - 3}$. Toutes les règles de cette leçon ont cette même forme : pour démontrer qu’une fonction $F$ tend vers $K$, on majore la distance $\abs{F(x) - K}$ par un multiple de distances dont on sait déjà qu’elles deviennent petites. S’il en est ainsi, il convient de démontrer une seule fois, par un raisonnement epsilon-delta, qu’une telle majoration suffit ; ensuite, chaque règle se ramène à trouver l’inégalité adéquate, et aucun raisonnement epsilon-delta ne se répète.

Dans toute la leçon, $f$ et $g$ sont des fonctions réelles définies sur un même ensemble $A$, le point $a$ est un point d’accumulation de $A$ et, quand on dit que $f(x)$ vérifie une propriété « près de $a$ », on entend qu’il existe un $r > 0$ tel que tout $x$ de $A$ avec $0 < \abs{x - a} < r$ la vérifie. De la leçon qui précède, on utilise la définition, l’unicité de la limite, les limites de la constante et de la fonction identité, le lemme selon lequel la limite ne dépend que des valeurs proches du point, et le caractère localement borné avec la conservation du signe.