Álgebra dos limites · Topos Uranos

Resumo

Esta aula deduz da definição de limite as regras que permitem calcular limites sem procurar a cada vez um $\delta$ . As demonstrações se ordenam de modo que cada uma aproveite as precedentes: três lemas, demonstrados com épsilon e delta, reduzem toda regra a uma desigualdade, e com eles se obtêm os limites da soma, do produto, do inverso e do quociente. Daí seguem-se os dos polinômios e das funções racionais, que justificam a substituição direta; depois, os das raízes e das potências de expoente racional, e o teorema do limite de uma composição, que justifica a mudança de variável. A aula termina com o que as regras não dizem: quando um quociente não tem limite finito e por que as regras não valem no sentido inverso. Os problemas resolvem formas $\frac{0}{0}$ fatorando, racionalizando e mudando de variável, e determinam constantes para que um limite exista.

Objetivos de aprendizagem

Demonstrar com épsilon e delta o critério da cota e deduzir dele os limites da soma, do produto, do inverso e do quociente.
Demonstrar os limites dos polinômios, das funções racionais, das raízes e das potências de expoente racional, e aplicar a substituição direta com suas condições.
Demonstrar o teorema do limite de uma composição, reconhecer a necessidade de suas hipóteses e aplicá-lo como mudança de variável.
Calcular limites da forma $\frac{0}{0}$ fatorando, racionalizando ou mudando de variável, e demonstrar quando um quociente não tem limite finito.

O plano das demonstrações

Na aula sobre o limite de funções de uma variável real demonstrou-se com a definição que $\lim_{x \to 3} x^2 = 9$ , e o trabalho consistiu em limitar $\abs{x^2 - 9}$ por um múltiplo de $\abs{x - 3}$ . Todas as regras desta aula têm essa mesma forma: para provar que uma função $F$ tende a $K$ , limita-se a distância $\abs{F(x) - K}$ por um múltiplo de distâncias que já se sabe que se tornam pequenas. Se isso é assim, convém demonstrar uma única vez, com épsilon e delta, que tal cota basta; depois, cada regra se reduz a encontrar a desigualdade adequada, e nenhum argumento épsilon-delta se repete.

Em toda a aula, $f$ e $g$ são funções reais definidas num mesmo conjunto $A$ , o ponto $a$ é de acumulação de $A$ e, quando se diz que $f(x)$ cumpre algo «perto de $a$ », entende-se que existe um $r > 0$ tal que todo $x$ de $A$ com $0 < \abs{x - a} < r$ o cumpre. Da aula precedente usam-se a definição, a unicidade do limite, os limites da constante e da identidade, o lema segundo o qual o limite só depende dos valores próximos do ponto, e a limitação local com a conservação do sinal.