Limite de funções de uma variável real

A ideia de limite

A álgebra e a geometria estudam o valor que uma função assume em cada ponto; o cálculo estuda, além disso, o que acontece com seus valores quando a variável se aproxima de um ponto, mesmo que nesse ponto a função não esteja definida. A necessidade é antiga. O coeficiente angular da reta que passa por dois pontos de uma curva se calcula com um quociente de diferenças; o coeficiente angular da reta tangente deveria ser o valor desse quociente quando os dois pontos se confundem, mas então o quociente é $\frac{0}{0}$, que não é um número. Do mesmo modo, a velocidade média de um móvel é um quociente entre a distância percorrida e o tempo gasto, e a velocidade num instante é o que esse quociente chega a valer quando o tempo gasto se reduz a nada. Em ambos os casos se pergunta pelos valores de uma função perto de um ponto onde ela não está definida.

Um exemplo simples mostra a situação. A função abaixo não está definida em $x = 1$, porque ali seu denominador se anula; no entanto, seus valores em pontos próximos de $1$ estão perto de $2$:

A razão é que, para $x \neq 1$, o numerador se fatora como $(x - 1)(x + 1)$ e o quociente vale $x + 1$; o gráfico de $f$ é a reta $y = x + 1$ com um buraco no ponto $(1, 2)$. Diz-se então que o limite de $f$ quando $x$ tende a $1$ é $2$, e escreve-se:

Ora, a frase «os valores se aproximam de $2$» não serve como definição, por duas razões. A primeira é que aproximar-se não basta: quando $x$ passa de $0{,}9$ a $0{,}99$, o valor de $f$ também se aproxima de $3$, porque $1{,}99$ está mais perto de $3$ do que $1{,}9$, e no entanto $3$ não é o limite. O que distingue o $2$ é que os valores de $f$ chegam a estar tão perto quanto se queira dele, e não apenas mais perto do que antes. A segunda razão é que uma tabela examina um número finito de pontos, e uma função pode se comportar de outro modo entre eles: a função $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ vale $0$ em $x = 0{,}1$, em $x = 0{,}01$ e em todos os pontos da forma $\frac{1}{n}$, e no entanto não tem limite em $0$, porque entre esses pontos oscila entre $-1$ e $1$; o problema proposto 3 o demonstra para $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$, com o mesmo argumento. Se isso é assim, a definição deve falar de todos os pontos próximos ao mesmo tempo e fixar com números o que significa «tão perto quanto se queira». As ferramentas para isso são o valor absoluto, que mede distâncias, e a desigualdade triangular, estudados na aula sobre a reta real.

Pontos de acumulação

Antes de definir o limite, é preciso precisar em que pontos faz sentido perguntar por ele. O ponto $a$ não precisa pertencer ao domínio da função, como mostra o exemplo acima; mas deve haver pontos do domínio tão perto de $a$ quanto se queira, porque do contrário não haveria valores da função a observar.

Por exemplo, $1$ é ponto de acumulação de $\mathbb{R} \setminus \{1\}$, o domínio da função do exemplo, embora não pertença a ele. Todo ponto do intervalo fechado $\icc{0}{1}$ é ponto de acumulação do aberto $\ioo{0}{1}$, incluídos os extremos. O $0$ é ponto de acumulação do conjunto dos números $\frac{1}{n}$ com $n$ natural, porque, pela propriedade arquimediana, para todo $\delta > 0$ existe um natural $n$ com $\frac{1}{n} < \delta$. Em contrapartida, o conjunto $\mathbb{N}$ não tem pontos de acumulação: o intervalo de centro $a$ e raio $\frac{1}{2}$ contém no máximo um natural $m$; se $m = a$, não contém nenhum natural distinto de $a$, e se $m \neq a$, o intervalo de raio $\abs{m - a}$ já não contém nenhum. A condição $0 < \abs{x - a}$ é essencial; sem ela, todo elemento de $A$ seria ponto de acumulação de $A$, porque cada intervalo centrado em $a$ contém o próprio $a$.

A definição de limite

Com essas noções pode-se dar a definição. A frase «$f(x)$ está tão perto de $L$ quanto se queira» se traduz assim: para cada distância $\varepsilon > 0$, por menor que seja, os valores de $f$ ficam a menos de $\varepsilon$ de $L$ sempre que $x$ esteja suficientemente perto de $a$, isto é, a menos de certa distância $\delta > 0$, sem ser igual a $a$.

Geometricamente, a condição $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ diz que o ponto $(x, f(x))$ do gráfico está na faixa horizontal compreendida entre as retas $y = L - \varepsilon$ e $y = L + \varepsilon$; a condição $0 < \abs{x - a} < \delta$ diz que $x$ está no intervalo de centro $a$ e raio $\delta$, sem ser seu centro. A definição pode ser lida como um jogo entre duas pessoas: a primeira propõe um $\varepsilon$, o raio de uma faixa em torno de $L$, tão estreita quanto quiser; a segunda deve responder com um $\delta$ tal que a porção do gráfico situada sobre o intervalo perfurado de raio $\delta$ fique dentro da faixa. O limite é $L$ se a segunda pessoa consegue responder a todos os desafios.

O exemplo mostra três traços da definição que convém ter presentes. Primeiro, o $\delta$ depende do $\varepsilon$, e em geral também do ponto $a$; se um $\delta$ responde a um desafio, qualquer número positivo menor que ele também responde, de modo que basta encontrar um, e não é preciso o maior. Segundo, o valor da função em $a$, se existe, não intervém: a condição $0 < \abs{x - a}$ o exclui, e por isso o limite de $g$ em $1$ é $1$ embora $g(1)$ valha $\frac{5}{2}$. Terceiro, só contam os $x$ do domínio; os demais não se examinam.

O método do exemplo é o geral: escreve-se $\abs{f(x) - L}$ de modo que apareça o fator $\abs{x - a}$, e limita-se o resto. Quando o resto não é uma constante, limita-se o resto restringindo de antemão $\delta$ a um valor fixo, por exemplo $\delta \leq 1$; essa é a técnica do exemplo a seguir.

O limite do começo da aula se demonstra do mesmo modo, e com uma observação que se usará com frequência: como a definição não examina o ponto $a$, pode-se simplificar a expressão de $f$ nos pontos distintos de $a$. Para $x \neq 1$, o quociente $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ vale $x + 1$, e então $\abs{f(x) - 2} = \abs{x - 1}$; responde $\delta = \varepsilon$. Simplificar o fator $x - 1$ é legítimo precisamente porque $x$ nunca vale $1$ na definição.

A definição como enunciado quantificado

A definição de limite é um enunciado com três quantificadores alternados: para todo $\varepsilon$, existe $\delta$, para todo $x$. Sua estrutura lógica é a dos enunciados que a lógica de predicados estuda, e saber manejá-la é metade do trabalho com limites. Duas consequências decorrem dela.

A primeira é que a ordem dos quantificadores importa. Na definição, o $\delta$ é escolhido depois de conhecido o $\varepsilon$, e por isso pode depender dele. Se se escrevesse primeiro $(\exists \delta > 0)$ e depois $(\forall \varepsilon > 0)$, um mesmo $\delta$ teria de servir para todos os $\varepsilon$ ao mesmo tempo, o que é uma afirmação muito mais forte, que o problema proposto 4 pede para caracterizar.

A segunda é que a negação da definição se obtém com as regras da negação dos quantificadores: a negação de «para todo» é «existe algum... que não», e a de «existe» é «para todo... não». Assim se obtém o que significa que $L$ não seja o limite.

Em termos do jogo, $L$ não é o limite se a primeira pessoa dispõe de um desafio ao qual nenhuma resposta serve: por menor que seja o $\delta$ proposto, há um ponto do intervalo perfurado cujo valor sai da faixa. Para provar que uma função não tem limite em $a$, é preciso mostrar que nenhum real $L$ o é, como se faz no problema resolvido 4.

Propriedades fundamentais

A notação $\lim_{x \to a} f(x) = L$ fala do limite, como se fosse um só número. Isso exige uma demonstração: que dois números distintos não podem cumprir ao mesmo tempo a definição. Aqui intervém a exigência de que $a$ seja ponto de acumulação do domínio. Se não fosse, existiria um $\delta_0 > 0$ tal que nenhum $x$ do domínio cumpriria $0 < \abs{x - a} < \delta_0$; respondendo sempre com esse $\delta_0$, a implicação da definição seria verdadeira para todo $L$, porque seu antecedente nunca se cumpriria, e todo número seria limite.

O lema a seguir formaliza a observação que permitiu simplificar o quociente $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$: o limite em $a$ depende só dos valores da função perto de $a$, e não do que ela assume em $a$ nem dos que assume longe dele.

As duas propriedades a seguir dizem que o limite impõe condições à função perto do ponto. A primeira a obriga a permanecer limitada; a segunda, a ter o sinal do limite quando este não é zero. Ambas se obtêm aplicando a definição com um $\varepsilon$ escolhido de antemão, e serão as ferramentas para demonstrar as regras do produto e do quociente na aula sobre a álgebra dos limites.

Com a definição pode-se demonstrar o valor de qualquer limite, mas o trabalho cresce com a complexidade da função. A aula sobre a álgebra dos limites demonstra, a partir desta, as regras para a soma, o produto, o quociente, as potências e as raízes, que permitem calcular a maioria dos limites sem voltar a cada vez a buscar um $\delta$.

Problemas resolvidos

Os problemas avançam em dificuldade: os três primeiros constroem o $\delta$ para um polinômio, uma raiz e um quociente, cada um com sua maneira de limitar o fator que acompanha $\abs{x - a}$; o quarto prova com a negação da definição que um limite não existe; e o último busca o maior $\delta$ que responde a um desafio dado.

Problemas propostos

Os problemas avançam em dificuldade: os dois primeiros repetem, com outros polinômios, a técnica de restringir o raio; o terceiro aplica a negação da definição a uma função que oscila; o quarto examina o que acontece se a ordem dos quantificadores é invertida; e o último estuda uma função que só tem limite num ponto. Cada um tem uma dica, que convém abrir só depois de tê-lo tentado.