نهاية الدوال لمتغير حقيقي واحد

فكرة النهاية

يدرس الجبر والهندسة ما تساويه الدالة عند كل نقطة؛ ويدرس التحليل، فوق ذلك، ما يحدث لقيمها عندما يقترب المتغير من نقطة، حتى لو لم تكن الدالة معرّفة عند تلك النقطة. والحاجة إلى ذلك قديمة. فميل المستقيم الذي يصل بين نقطتين من منحنى يُحسب بخارج قسمة الفروق؛ وميل المستقيم المماس ينبغي أن يكون ما يساويه ذلك الخارج عندما تنطبق النقطتان، لكن الخارج يصبح عندئذ $\frac{0}{0}$، وهو ليس عددًا. وبالمثل، السرعة المتوسطة لمتحرّك هي خارج قسمة المسافة المقطوعة على الزمن المستغرق، والسرعة في لحظة هي ما يؤول إليه هذا الخارج عندما يتضاءل الزمن المستغرق حتى ينعدم. وفي الحالتين يُسأل عن قيم دالة قرب نقطة ليست معرّفة عندها.

يبيّن مثال بسيط الوضع. الدالة الآتية غير معرّفة عند $x = 1$، لأن مقامها ينعدم هناك؛ ومع ذلك فإن قيمها عند النقاط القريبة من $1$ قريبة من $2$:

والسبب أنه، من أجل $x \neq 1$، يتحلّل البسط على الصورة $(x - 1)(x + 1)$ ويساوي الخارج $x + 1$؛ والتمثيل البياني للدالة $f$ هو المستقيم $y = x + 1$ مع ثغرة عند النقطة $(1, 2)$. ويُقال عندئذ إن نهاية $f$ عندما يؤول $x$ إلى $1$ هي $2$، ويُكتب:

غير أن عبارة «القيم تقترب من $2$» لا تصلح تعريفًا، لسببين. الأول أن الاقتراب لا يكفي: عندما ينتقل $x$ من $0{,}9$ إلى $0{,}99$، تقترب قيمة $f$ أيضًا من $3$، لأن $1{,}99$ أقرب إلى $3$ من $1{,}9$، ومع ذلك فإن $3$ ليس النهاية. وما يميّز العدد $2$ هو أن قيم $f$ تصير قريبة منه بالقدر الذي نريد، لا أقرب مما كانت فحسب. والسبب الثاني أن الجدول يفحص عددًا منتهيًا من النقاط، وقد تسلك الدالة سلوكًا آخر بينها: فالدالة $\sin\left(\frac{\pi}{x}\right)$ تساوي $0$ عند $x = 0{,}1$ وعند $x = 0{,}01$ وعند جميع النقاط التي على الشكل $\frac{1}{n}$، ومع ذلك ليست لها نهاية عند $0$، لأنها تتذبذب بين تلك النقاط بين $-1$ و$1$؛ وتبرهن المسألة المقترحة 3 ذلك للدالة $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$، بالحجة نفسها. وإذا كان الأمر كذلك، فيجب أن يتحدث التعريف عن جميع النقاط القريبة دفعة واحدة، وأن يحدد بالأعداد معنى «قريبًا بالقدر الذي نريد». وأداتا ذلك هما القيمة المطلقة، التي تقيس المسافات، ومتباينة المثلث، وقد دُرستا في الدرس الخاص بـالمستقيم الحقيقي.

نقاط التراكم

قبل تعريف النهاية ينبغي تحديد النقاط التي يكون للسؤال عنها فيها معنى. لا يلزم أن تنتمي النقطة $a$ إلى مجال تعريف الدالة، كما يبيّن المثال الذي رأيناه للتو؛ لكن يجب أن توجد نقاط من مجال التعريف قريبة من $a$ بالقدر الذي نريد، وإلا لما وُجدت قيم للدالة نرصدها.

مثلًا، $1$ نقطة تراكم للمجموعة $\mathbb{R} \setminus \{1\}$، وهي مجال تعريف دالة المثال، مع أنه لا ينتمي إليها. وكل نقطة من الفترة المغلقة $\icc{0}{1}$ نقطة تراكم للفترة المفتوحة $\ioo{0}{1}$، بما في ذلك الطرفان. والعدد $0$ نقطة تراكم لمجموعة الأعداد $\frac{1}{n}$ حيث $n$ عدد طبيعي، لأنه، بحسب خاصية أرخميدس، يوجد من أجل كل $\delta > 0$ عدد طبيعي $n$ يحقق $\frac{1}{n} < \delta$. وفي المقابل، ليست للمجموعة $\mathbb{N}$ نقاط تراكم: فالفترة التي مركزها $a$ ونصف قطرها $\frac{1}{2}$ تحوي على الأكثر عددًا طبيعيًا واحدًا $m$؛ فإذا كان $m = a$، فإنها لا تحوي أي عدد طبيعي مختلف عن $a$، وإذا كان $m \neq a$، فإن الفترة التي نصف قطرها $\abs{m - a}$ لا تحوي أيًّا منها. والشرط $0 < \abs{x - a}$ جوهري؛ فمن دونه يكون كل عنصر من $A$ نقطة تراكم للمجموعة $A$، لأن كل فترة مركزها $a$ تحوي $a$ نفسه.

تعريف النهاية

بهذه المفاهيم يمكن إعطاء التعريف. تُترجم عبارة «$f(x)$ قريب من $L$ بالقدر الذي نريد» على النحو الآتي: من أجل كل مسافة $\varepsilon > 0$، مهما صغرت، تبعد قيم $f$ أقل من $\varepsilon$ عن $L$ متى كان $x$ قريبًا بما يكفي من $a$، أي على مسافة أقل من مسافة ما $\delta > 0$، دون أن يساوي $a$.

هندسيًا، يعني الشرط $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ أن النقطة $(x, f(x))$ من التمثيل البياني تقع في الشريط الأفقي المحصور بين المستقيمين $y = L - \varepsilon$ و$y = L + \varepsilon$؛ ويعني الشرط $0 < \abs{x - a} < \delta$ أن $x$ يقع في الفترة التي مركزها $a$ ونصف قطرها $\delta$، دون أن يكون مركزها. ويمكن قراءة التعريف على أنه لعبة بين شخصين: يقترح الأول $\varepsilon$، وهو نصف قطر شريط حول $L$، ضيّقًا بالقدر الذي يريد؛ وعلى الثاني أن يردّ بعدد $\delta$ بحيث يبقى جزء التمثيل البياني الواقع فوق الجوار المثقوب الذي نصف قطره $\delta$ داخل الشريط. وتكون النهاية $L$ إذا استطاع الشخص الثاني أن يردّ على جميع التحديات.

يبيّن المثال ثلاث سمات للتعريف ينبغي استحضارها. أولًا، يتوقف $\delta$ على $\varepsilon$، ويتوقف عمومًا أيضًا على النقطة $a$؛ وإذا ردّ $\delta$ على تحدٍّ، فإن كل عدد موجب أصغر منه يردّ عليه أيضًا، فيكفي إيجاد واحد، ولا حاجة إلى الأكبر. ثانيًا، قيمة الدالة عند $a$، إن وُجدت، لا دخل لها: فالشرط $0 < \abs{x - a}$ يستبعدها، ولذلك فإن نهاية $g$ عند $1$ هي $1$ مع أن $g(1)$ تساوي $\frac{5}{2}$. ثالثًا، لا يُحسب إلا ما ينتمي إلى مجال التعريف من قيم $x$؛ أما البقية فلا تُفحص.

طريقة المثال هي الطريقة العامة: تُكتب $\abs{f(x) - L}$ بحيث يظهر العامل $\abs{x - a}$، ويُحدّ الباقي من الأعلى. وإذا لم يكن الباقي ثابتًا، فإنه يُحدّ بتقييد $\delta$ مسبقًا بقيمة ثابتة، مثل $\delta \leq 1$؛ وهذه تقنية المثال الآتي.

تُبرهن النهاية التي في بداية الدرس بالطريقة نفسها، ومع ملاحظة ستُستعمل كثيرًا: بما أن التعريف لا يفحص النقطة $a$، يمكن تبسيط عبارة $f$ عند النقاط المختلفة عن $a$. فمن أجل $x \neq 1$، يساوي الخارج $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ العبارة $x + 1$، وعندئذ $\abs{f(x) - 2} = \abs{x - 1}$؛ ويردّ $\delta = \varepsilon$. واختزال العامل $x - 1$ مشروع تحديدًا لأن $x$ لا يساوي $1$ أبدًا في التعريف.

التعريف عبارةً مكمّمة

تعريف النهاية عبارة ذات ثلاثة مكمّمات متناوبة: من أجل كل $\varepsilon$، يوجد $\delta$، من أجل كل $x$. وبنيتها المنطقية هي بنية العبارات التي يدرسها منطق المحمولات، وإتقان التعامل معها نصف العمل مع النهايات. وتنتج عنها نتيجتان.

الأولى أن ترتيب المكمّمات مهم. ففي التعريف يُختار $\delta$ بعد معرفة $\varepsilon$، ولذلك يمكن أن يتوقف عليه. ولو كُتب أولًا $(\exists \delta > 0)$ ثم $(\forall \varepsilon > 0)$، لوجب أن يصلح $\delta$ واحد لجميع قيم $\varepsilon$ في آن واحد، وهذا ادعاء أقوى بكثير، تطلب المسألة المقترحة 4 توصيفه.

والثانية أن نفي التعريف يُحصل عليه بقواعد نفي المكمّمات: نفي «من أجل كل» هو «يوجد... لا»، ونفي «يوجد» هو «من أجل كل... لا». وهكذا يُحصل على معنى ألا يكون $L$ هو النهاية.

بلغة اللعبة، لا يكون $L$ هو النهاية إذا كان لدى الشخص الأول تحدٍّ لا يصلح له أي رد: فمهما صغر $\delta$ المقترح، توجد نقطة من الجوار المثقوب تخرج قيمتها من الشريط. ولبرهان أن دالة ليست لها نهاية عند $a$ يجب أن نبيّن أنه لا يوجد عدد حقيقي $L$ هو نهايتها، كما يُفعل في المسألة المحلولة 4.

الخواص الأساسية

يتحدث الترميز $\lim_{x \to a} f(x) = L$ عن النهاية معرَّفةً، كأنها عدد واحد. وهذا يتطلب برهانًا: أن عددين مختلفين لا يمكن أن يحققا التعريف معًا. وهنا يتدخل اشتراط أن تكون $a$ نقطة تراكم لمجال التعريف. فلو لم تكن كذلك، لوُجد $\delta_0 > 0$ بحيث لا يحقق أي $x$ من مجال التعريف $0 < \abs{x - a} < \delta_0$؛ وبالرد دائمًا بهذا $\delta_0$، يكون استلزام التعريف صادقًا من أجل كل $L$، لأن مقدَّمه لا يتحقق أبدًا، ويكون كل عدد نهاية.

تصوغ التوطئة الآتية صوغًا دقيقًا الملاحظة التي أتاحت تبسيط الخارج $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$: النهاية عند $a$ لا تتوقف إلا على قيم الدالة قرب $a$، لا على القيمة التي تأخذها عند $a$ ولا على قيمها البعيدة عنها.

تقول الخاصيتان الآتيتان إن النهاية تفرض شروطًا على الدالة قرب النقطة. فالأولى تلزمها بأن تبقى محدودة؛ والثانية بأن تكون لها إشارة النهاية عندما لا تكون هذه صفرًا. وكلتاهما تُحصل بتطبيق التعريف مع $\varepsilon$ مختار مسبقًا، وستكونان أداتين لبرهان قاعدتي الضرب والقسمة في الدرس الخاص بـجبر النهايات.

بالتعريف يمكن برهان قيمة أي نهاية، لكن العمل يزداد بازدياد تعقيد الدالة. ويبرهن الدرس الخاص بجبر النهايات، انطلاقًا من هذا الدرس، قواعد المجموع والضرب والقسمة والقوى والجذور، التي تتيح حساب معظم النهايات دون العودة في كل مرة إلى البحث عن $\delta$.

مسائل محلولة

تتدرج المسائل في الصعوبة: تبني الثلاث الأولى $\delta$ لكثيرة حدود وجذر وخارج قسمة، لكل منها طريقتها في حدّ العامل المرافق لـ$\abs{x - a}$ من الأعلى؛ وتبرهن الرابعة بنفي التعريف أن نهاية ما غير موجودة؛ وتبحث الأخيرة عن أكبر $\delta$ يردّ على تحدٍّ معطى.

مسائل مقترحة

تتدرج المسائل في الصعوبة: تكرر الاثنتان الأوليان، مع كثيرات حدود أخرى، تقنية تقييد نصف القطر؛ وتطبّق الثالثة نفي التعريف على دالة تتذبذب؛ وتفحص الرابعة ما يحدث إذا قُلب ترتيب المكمّمات؛ وتدرس الأخيرة دالة ليست لها نهاية إلا عند نقطة واحدة. ولكل منها تلميح، يحسن ألا يُفتح إلا بعد محاولة حلها.