Limites e continuidade: introdução

Resumo

Esta aula abre a unidade sobre os limites e a continuidade. Apresenta o percurso da unidade, que parte da definição épsilon-delta do limite e chega, por aulas que reutilizam as demonstrações precedentes em vez de repeti-las, à continuidade das funções elementares e à comparação de infinitésimos; reconstrói a história da noção de limite, desde os paradoxos de Zenão e o método da exaustão até a definição de Weierstrass, passando pelos infinitesimais de Newton e Leibniz e pela crítica de Berkeley; formula o problema que lhe deu origem, que é dar sentido a um quociente que se torna $\frac{0}{0}$ , e examina por que nem a ideia de aproximar-se nem uma tabela de valores bastam para decidir um limite. Termina indicando onde se empregam os limites e a continuidade no restante do curso, em outros cursos do site e na ciência e na técnica.

Objetivos de aprendizagem

Descrever o percurso da unidade e explicar o que cada aula demonstra e de quais resultados já obtidos se serve.
Explicar por que a velocidade instantânea, a tangente e a área exigem a noção de limite, e por que a ideia intuitiva de aproximar-se e as tabelas de valores não bastam para defini-la nem para calculá-la.
Situar em seu contexto histórico as etapas da noção de limite, desde o método da exaustão até a definição épsilon-delta, e identificar o problema ou a crítica que impulsionou cada uma.
Indicar onde intervêm os limites e a continuidade no restante do curso, em outros cursos e em aplicações científicas e técnicas.

Avaliação de entrada

Antes de percorrer a unidade, convém medir o ponto de partida. Esta autoavaliação não atribui nota: serve para saber onde se deter. As dez primeiras perguntas tratam, em ordem, das dez aulas de conteúdo da unidade, uma para cada, e medem uma destreza de cálculo ou de raciocínio, não um enunciado que se recorde; as mesmas destrezas voltam a ser medidas no final, na aula de síntese, com outros dados. As seis últimas verificam o que esta unidade dá por sabido de Álgebra e Geometria I e II: o valor absoluto, o supremo, a composição de funções, os quadros de sinais, a desigualdade entre o seno, o arco e a tangente, e a desigualdade fundamental da exponencial.

Os conteúdos da unidade

Em Álgebra e Geometria I, a aula sobre as funções racionais usou as assíntotas verticais e as assíntotas no infinito, a continuidade dessas funções e o teorema do valor intermediário como fatos admitidos, sem demonstração, porque exigiam uma definição de limite que ainda não se tinha; e Álgebra e Geometria II admitiu do mesmo modo a continuidade das funções trigonométricas e de suas inversas. Esta unidade dá essa definição e demonstra, um por um, os fatos admitidos, salvo o valor intermediário, que será demonstrado na próxima unidade. As demonstrações se ordenam para serem reutilizadas: umas poucas se fazem com épsilon e delta, e as demais citam os resultados já obtidos em vez de repetir o argumento. As aulas seguem esta ordem:

O limite de uma função converte a ideia de aproximar-se na definição épsilon-delta, precisa com os pontos de acumulação onde ela tem sentido, escreve a definição e sua negação como enunciados quantificados, e demonstra que o limite é único, que só depende dos valores próximos e que obriga a função a ficar limitada e a conservar o sinal perto do ponto.
A álgebra dos limites reduz as regras de cálculo a três lemas demonstrados com épsilon e delta, o principal dos quais é o critério da cota, e deduz deles, com um lema segundo o qual restringir o domínio não faz perder o limite, os limites da soma, do produto, do inverso e do quociente, os dos polinômios, das funções racionais, das raízes e das potências de expoente racional, e o teorema do limite de uma composição, que justifica a mudança de variável.
O teorema do confronto demonstra, com o critério da cota, que os limites conservam as desigualdades não estritas, o próprio teorema e o limite do produto de uma função limitada por outra que tende a zero; com eles obtém os limites do seno e do cosseno e o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , do qual se deduzem os demais limites trigonométricos.
Os limites laterais são definidos como limites de uma restrição, de modo que herdam todos os teoremas precedentes; a aula demonstra que o limite existe se e somente se os dois laterais existem e coincidem, e que uma função monótona e limitada tem limite lateral igual ao supremo ou ao ínfimo de seus valores, o primeiro teorema que assegura que um limite existe sem conhecer seu valor.
O limite no infinito define o limite quando a variável cresce ilimitadamente e demonstra, com o lema da inversão, que ele equivale a um limite lateral em $0$ , de modo que todos os teoremas precedentes valem também no infinito; com eles calcula os limites das potências e das funções racionais.
Os limites infinitos se reduzem, com o lema do inverso, a limites iguais a zero; daí e da comparação saem as regras da soma, do produto e do quociente, e a aula mostra que as formas indeterminadas podem dar qualquer resultado, e demonstra o teorema das funções monótonas ilimitadas e o da composição com limites infinitos.
As assíntotas são definidas com os limites laterais, no infinito e infinitos; a aula demonstra as fórmulas do coeficiente angular e do coeficiente linear da assíntota oblíqua, a unicidade da assíntota não vertical em cada extremo e os fatos admitidos em Álgebra e Geometria sobre as funções racionais, e propõe um método para representar funções sem derivadas.
A continuidade é definida com o desafio e a resposta de sempre, sem excluir o ponto; a aula demonstra que, num ponto de acumulação, ela equivale a que o limite exista e seja igual ao valor, classifica as descontinuidades em removíveis, de salto e essenciais, herda da álgebra dos limites a continuidade das operações, e demonstra que a composição de funções contínuas é contínua, de modo que o limite entra numa função contínua.
As funções elementares resultam contínuas por um único argumento, o de que uma função monótona cuja imagem é um intervalo não pode saltar; com essa continuidade e a desigualdade fundamental da exponencial, a aula demonstra os limites notáveis da exponencial e do logaritmo, obtém o número $e$ como limite, resolve a forma $1^\infty$ e compara a exponencial, as potências e o logaritmo no infinito.
Os infinitésimos e os infinitamente grandes equivalentes são comparados com o $\operatorname{o}$ pequeno, o $\operatorname{O}$ grande, a mesma ordem e a equivalência; a aula demonstra que, num produto ou num quociente, cada fator pode ser substituído por outro equivalente, mas não numa soma, salvo quando os equivalentes das parcelas têm o mesmo sinal, e reúne os limites das aulas precedentes numa tabela de equivalentes em zero.

A unidade termina com a aula de síntese e desafios, que reúne o que se alcançou numa cadeia dedutiva, repete em sua avaliação de saída as destrezas da avaliação de entrada e propõe dez problemas de maior dificuldade.

O contexto histórico

A ordem lógica da unidade também não coincide com a histórica. Durante mais de um século, o cálculo foi praticado com êxito sem uma definição de limite; a continuidade foi definida com rigor antes do limite em sua forma atual, e a definição épsilon-delta chegou no final do processo, quando o cálculo já havia resolvido os problemas para os quais nasceu. Convém percorrer essa história, porque as objeções que ele teve de vencer são as mesmas que costuma levantar quem estuda.

O infinito dos gregos

Zenão de Eleia, que viveu entre os anos 490 e 425 antes da nossa era, aproximadamente, propôs argumentos contra a possibilidade do movimento que se conhecem sobretudo pela Física de Aristóteles. O da dicotomia sustenta que, para percorrer um caminho, primeiro é preciso chegar à sua metade, antes à metade da metade, e assim sem fim, de modo que o movimento não poderia começar. O paradoxo coloca, sem resolvê-la, a questão de se infinitas grandezas podem somar uma grandeza finita, como $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ .

Os matemáticos gregos contornaram essa questão com o método da exaustão, ao qual Eudoxo de Cnido deu forma rigorosa por volta do ano 370 antes da nossa era: para provar que uma área vale certa quantidade, inscrevem-se na figura polígonos cuja diferença com ela pode tornar-se menor que qualquer grandeza dada, e demonstra-se por redução ao absurdo que a área não pode ser nem maior nem menor que essa quantidade. Por volta do ano 225 antes da nossa era, Arquimedes provou assim que a área de um segmento de parábola é $\frac{4}{3}$ da área do triângulo inscrito com a mesma base e o mesmo vértice, somando os triângulos que se acrescentam em cada etapa, cujas áreas formam a progressão $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ . O esquema do argumento, uma quantidade que pode tornar-se menor que qualquer grandeza dada, já é o do desafio e da resposta.

Os infinitesimais de Newton e Leibniz

No século XVII, o problema das tangentes e o das áreas receberam um método geral. Isaac Newton escreveu em outubro de 1666 um tratado sobre as fluxões, que não publicou, e em 1671 seu Método das fluxões e das séries infinitas, que só foi publicado em 1736. Gottfried Wilhelm Leibniz introduziu o sinal da integral num manuscrito de 29 de outubro de 1675, e em 21 de novembro escreveu pela primeira vez uma integral com o sinal e a diferencial; publicou seu cálculo diferencial em 1684 na revista Acta Eruditorum de Leipzig, com o título Nova methodus pro maximis et minimis, e seu cálculo integral na mesma revista em 1686. Ambos calculavam com incrementos que se tratam como diferentes de zero para poder dividir por eles e como nulos para descartá-los no final.

Em 1734, George Berkeley publicou O analista, uma crítica dos fundamentos do cálculo de Newton. Sustentou que os incrementos evanescentes não eram nem quantidades finitas, nem infinitamente pequenas, nem nada, que o cálculo mudava de hipótese no meio do raciocínio, e perguntou se não poderiam ser chamados fantasmas de quantidades desaparecidas. Os resultados eram corretos; o que Berkeley mostrou é que o raciocínio que os justificava não o era. O exemplo abaixo reproduz o cálculo que ele criticava e mostra como a definição de limite o resolve.

ExemploO quociente que Berkeley criticava

Consideremos o coeficiente angular da tangente à parábola $y = x^2$ no ponto $(1, 1)$ . A figura desenha as secantes que unem esse ponto com outro da parábola cada vez mais próximo e, depois, o quociente como função do incremento, com o buraco que ele deixa em $h = 0$ .

Demonstração

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
A secante que une $(1, 1)$ ao ponto de abscissa $1 + h$ , com $h \neq 0$ , tem por coeficiente angular a razão incremental.
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
Para $h \neq 0$ , o numerador vale $2h + h^2$ , e o fator $h$ se simplifica. Ao encurtar $h$ , as secantes se inclinam cada vez menos.
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
Eis a objeção de Berkeley: se $h = 0$ , o quociente é $\frac{0}{0}$ e não pode ser simplificado; se $h \neq 0$ , o resultado não é $2$ . O cálculo dos infinitesimais usava $h \neq 0$ para dividir e $h = 0$ para descartar a parcela $h$ .
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
A definição de limite desfaz a objeção: não examina $h = 0$ nem exige que $q(h)$ valha $2$ , mas que esteja tão perto de $2$ quanto se queira. Ao desafio $\varepsilon$ responde-se com $\delta = \varepsilon$ .
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
Portanto, o limite é $2$ , o coeficiente angular da tangente, e nenhuma quantidade tem de ser ao mesmo tempo nula e não nula. A reta de coeficiente angular $2$ que passa por $(1, 1)$ é a tangente.

O limite como fundamento

A saída que o exemplo indicou foi abrindo caminho durante um século. Jean le Rond d’Alembert, no artigo «Différentiel» do quarto volume da Encyclopédie, escrito em 1754, propôs assentar o cálculo sobre a teoria dos limites e definiu a derivada como o limite de um quociente de incrementos. Em 1817, Bernard Bolzano publicou uma demonstração puramente analítica do teorema do valor intermediário, com o propósito declarado de libertar o cálculo da noção de infinitesimal, e empregou nela uma noção de continuidade muito próxima da atual; sua obra foi pouco conhecida em vida. Em 1821, Augustin-Louis Cauchy publicou seu Cours d’analyse, escrito para os estudantes da Escola Politécnica de Paris, que pôs os limites na base do cálculo e definiu a função contínua como aquela em que um incremento infinitamente pequeno da variável produz um incremento infinitamente pequeno da função.

Ao mesmo tempo mudava a noção de função. Para Euler, em 1748, uma função era uma expressão analítica; Peter Gustav Lejeune Dirichlet aceitou em 1837 uma noção muito mais ampla, na qual os valores podem suceder-se de qualquer modo, e a ele se deve o exemplo da função que vale $0$ nos racionais e $1$ nos irracionais, descontínua em todos os pontos. Com funções tão gerais, a intuição geométrica deixava de ser um guia seguro, e as definições tinham de falar apenas de números e desigualdades.

A definição de Weierstrass

Karl Weierstrass, professor na Universidade de Berlim desde 1856, abordou pela primeira vez os fundamentos da análise em seu curso de introdução à análise de 1859 e 1860. Em suas lições, conhecidas sobretudo pelas anotações de seus estudantes, a definição do limite e da continuidade ficou escrita com épsilon e delta, na forma que este curso usa: sem movimento, sem infinitesimais, como um enunciado quantificado sobre números reais. Em 1872, o mesmo ano em que Richard Dedekind e Georg Cantor publicaram suas construções dos números reais, que demonstram a completude, Weierstrass apresentou à Academia de Ciências de Berlim uma função contínua que não tem derivada em nenhum ponto, prova de que a intuição de uma curva contínua não basta para raciocinar sobre ela.

A notação com que a última aula da unidade compara funções é posterior. Paul Bachmann introduziu o símbolo $\operatorname{O}$ em 1894, em Die analytische Zahlentheorie, segundo volume de seu tratado de teoria dos números, e Edmund Landau, que o adotou, introduziu o símbolo $\operatorname{o}$ em 1909, em seu tratado sobre a distribuição dos números primos.

O problema que lhe deu origem

Três problemas antigos conduziram ao cálculo, e os três têm a mesma estrutura. A velocidade de um móvel num instante deveria ser o quociente entre a distância percorrida e o tempo gasto quando o tempo gasto é nulo; o coeficiente angular da tangente a uma curva deveria ser o de uma secante cujos dois pontos coincidem; a área de uma figura curva deveria ser a soma de infinitos retângulos de largura nula. Nos três casos, a substituição direta produz $\frac{0}{0}$ ou uma soma sem sentido, e o resultado correto é aquilo de que se aproximam as aproximações. Os dois primeiros conduzem à derivada, que é a matéria da próxima unidade; o terceiro, à integral, que se estuda em Cálculo II.

Ora, «aquilo de que se aproximam» ainda não é uma definição, por três razões. A primeira é que aproximar-se não basta: a aula sobre limite de funções de uma variável real mostra que os valores de $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ se aproximam de $3$ quando $x$ passa de $0{,}9$ a $0{,}99$ , embora o limite seja $2$ . A segunda é que uma tabela examina um número finito de pontos: a mesma aula mostra que $\sin\frac{\pi}{x}$ vale $0$ em todos os pontos da forma $\frac{1}{n}$ e, no entanto, não tem limite em $0$ . A terceira é que os valores da tabela podem estar mal calculados, como mostra o exemplo abaixo.

ExemploUma tabela enganosa

Consideremos a função $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ , definida para $x \neq 0$ . A figura desenha seu gráfico, com o buraco em $x = 0$ , os valores de uma tabela e o valor que um computador dá muito perto de $0$ ; depois, a cota que decide o limite.

Demonstração

$q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662$
Os valores em $1$ , $10^{-1}$ e $10^{-2}$ parecem aproximar-se de $0{,}1666\ldots$ , isto é, de $\frac{1}{6}$ .
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
Mas em $x = 10^{-8}$ , um programa que calcula com o ponto flutuante de dupla precisão habitual obtém $0$ : a soma $9 + 10^{-16}$ é arredondada para $9$ , e a subtração do numerador dá exatamente $0$ . A tabela, sozinha, não decide entre $\frac{1}{6}$ e $0$ .
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
Para $x \neq 0$ , multiplicamos e dividimos pelo conjugado $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ ; o numerador transforma-se em $x^2$ , que se simplifica.
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
A distância a $\frac{1}{6}$ escreve-se com o mesmo conjugado, e limita-se porque $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ , de modo que o quadrado de $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ é pelo menos $36$ .
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
Ao desafio $\varepsilon$ responde-se com $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ , e o limite é $\frac{1}{6}$ . O $0$ do computador é um erro de arredondamento: a cota assegura que $q\left(10^{-8}\right)$ dista de $\frac{1}{6}$ menos de $10^{-18}$ .

A definição de limite responde às três objeções: fala de todos os pontos próximos ao mesmo tempo, fixa com números o que significa «tão perto quanto se queira» e se demonstra com desigualdades, não com cálculos aproximados. Mas o problema tem outra face, que não é de cálculo, mas de existência. Muitos limites da unidade são demonstrados depois de conhecer ou adivinhar seu valor; outros, ao contrário, existem sem que se saiba calculá-los, e sua existência repousa na completude dos reais. O teorema das funções monótonas da aula sobre limites laterais dá o limite como um supremo, e dele depende a continuidade da exponencial, do logaritmo e das demais funções elementares. A aula sobre limite e continuidade demonstra que uma função contínua e positiva num ponto o é também nos pontos de seu domínio próximos dele, e essa conservação do sinal, unida à completude, dará na próxima unidade o teorema do valor intermediário. Sem a completude nada disso valeria: a função $x^2 - 2$ , considerada apenas nos racionais, passa de valores negativos a positivos sem nunca se anular.

A relevância dos limites e da continuidade

No restante do curso

Todo o curso repousa sobre esta unidade. A próxima unidade, sobre as derivadas, define em sua primeira aula a derivada como limite de uma função, a razão incremental do exemplo de Berkeley, e obtém as regras de derivação da álgebra dos limites; as derivadas do seno, da exponencial e do logaritmo, na aula sobre as derivadas das funções elementares, são os limites notáveis desta unidade; a regra da cadeia se apoia na composição de funções contínuas; o teorema do valor intermediário se demonstra com a conservação do sinal e a completude, e justifica o método da bisseção; e a derivada da inversa, na aula sobre a derivada da inversa e a derivação implícita, requer a continuidade da inversa. A terceira unidade, sobre as aplicações das derivadas, começa com o teorema de Weierstrass, segundo o qual uma função contínua num intervalo fechado e limitado atinge seu máximo e seu mínimo, e nele se apoiam os teoremas de Rolle e do valor médio, a busca de máximos e mínimos e os problemas de otimização. A regra de L’Hôpital resolve as formas indeterminadas que esta unidade só sabe reconhecer, e o método de Newton-Raphson, que encerra o curso, tem sua convergência demonstrada com a convexidade e o supremo.

Em outros cursos

Em Cálculo II, a integral é definida como o limite de somas de áreas de retângulos, o problema de Arquimedes; as sequências e as séries, que este curso não estuda, são tratadas com definições do mesmo tipo, e o polinômio de Taylor mede seu erro com o $\operatorname{O}$ grande da última aula da unidade. Em Cálculo III, a definição épsilon-delta passa às funções de várias variáveis, com a distância do plano em lugar do valor absoluto, e o limite pode depender do caminho pelo qual se chega ao ponto. Em Fundamentos de Mecânica, a velocidade e a aceleração instantâneas são limites de quocientes de incrementos. Em Matemática Financeira, a capitalização contínua é o limite de $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ quando $x$ tende ao infinito, que vale $e^{r}$ pela aula sobre os limites notáveis. Em Análise de Dados com R, os modelos de crescimento se distinguem por seu comportamento no infinito, que é o que compara a exponencial, as potências e o logaritmo. Em Programação em C++ I, a bisseção aproxima uma raiz confiando no teorema do valor intermediário, o custo de um algoritmo se mede com a notação $\operatorname{O}$ de Bachmann e Landau, e os números de ponto flutuante obrigam a distinguir o limite exato do valor calculado, como na tabela enganosa.

Na ciência e na técnica

Toda grandeza que muda de maneira contínua, uma posição, uma temperatura, uma concentração, uma tensão elétrica, é descrita com funções contínuas, e suas taxas de variação instantâneas são limites. As aproximações com que trabalham a engenharia e as ciências experimentais (a linearização de um fenômeno perto de um ponto de equilíbrio, a substituição de $\sin x$ por $x$ nas oscilações pequenas, o desprezar um termo diante de outro muito maior) são equivalências como as da última aula da unidade, e valem com as mesmas condições. As assíntotas descrevem o valor de saturação de um processo que se estabiliza e o crescimento ilimitado de um que não se estabiliza. E o cálculo numérico, que resolve num computador o que não tem fórmula fechada, funda-se na distinção do exemplo da tabela enganosa: um algoritmo produz aproximações, e só uma cota do erro, demonstrada com desigualdades, diz quanto elas se aproximam do valor exato.