極限と連続性：導入

要約

この課は、極限と連続性についての単元を開く。まず単元の道筋を示す。それは ε と δ による極限の定義から出発し、前の証明を繰り返さずに再利用する課を経て、初等関数の連続性と無限小の比較に至る。次に、極限の概念の歴史を、ゼノンのパラドックスと取り尽くし法からワイエルシュトラスの定義まで、ニュートンとライプニッツの無限小量やバークリーの批判を経てたどり直す。さらに、この概念を生んだ問題、すなわち $\frac{0}{0}$ になってしまう商に意味を与えるという問題を定式化し、近づくという考えも値の表も極限を決めるには足りない理由を検討する。最後に、極限と連続性がコースの残りの部分、サイトのほかのコース、科学と技術のどこで用いられるかを示す。

学習目標

単元の道筋を述べ、各課が何を証明し、既出のどの結果を用いるかを説明できる。
瞬間の速度、接線、面積がなぜ極限の概念を必要とするのか、また近づくという直観的な考えや値の表がなぜ極限を定義するにも計算するにも足りないのかを説明できる。
取り尽くし法から ε と δ による定義まで、極限の概念の各段階を歴史的文脈のなかに位置づけ、それぞれを促した問題や批判を特定できる。
極限と連続性が、コースの残りの部分、ほかのコース、科学と技術の応用のどこで働くかを指摘できる。

導入テスト

単元に取りかかる前に、出発点を測っておくとよい。このテストは自分で確かめるためのもので、採点はされない。どこで立ち止まるべきかを知るためのものである。最初の十問は、単元の内容の十の課を順に一つずつ扱い、覚えておく言明ではなく、計算や推論の技能を測る。同じ技能は、最後のまとめの課で、別のデータを使って改めて測る。最後の六問は、この単元が代数と幾何 I と II から既知とするものを確かめる。すなわち、絶対値、上限、関数の合成、符号表、正弦・弧・正接の間の不等式、そして指数関数の基本不等式である。

単元の内容

代数と幾何 Iでは、有理関数についての課が、鉛直漸近線と無限遠における漸近線、それらの関数の連続性、中間値の定理を、証明なしに認めた事実として用いた。当時まだもっていなかった極限の定義を必要としたからである。また代数と幾何 IIも、同じように三角関数とその逆関数の連続性を認めた。この単元はその定義を与え、認めた事実を一つずつ証明する。ただし中間値の定理は次の単元で証明する。証明は再利用できるように並べてある。ε と δ によるものは少数で、残りは議論を繰り返さずに既出の結果を引用する。課の順序は次のとおりである。

関数の極限の課は、近づくという考えを ε と δ による定義に変え、集積点を用いてそれが意味をもつ場所を明確にし、定義とその否定を量化子を含む言明として書き、極限が一意であること、近くの値だけで決まること、そして点の近くで関数が有界にとどまり符号を保つよう強いることを証明する。
極限の演算法則の課は、計算の法則を ε と δ で証明される三つの補題に帰着させる。その主要なものは上界による判定法である。そしてそれらから、定義域を制限しても極限は失われないという補題を用いて、和、積、逆数、商の極限、多項式、有理関数、根、有理数の指数をもつ累乗の極限、そして変数の置き換えを正当化する合成関数の極限の定理を導く。
はさみうちの原理の課は、上界による判定法を用いて、極限が狭義でない不等式を保つこと、原理そのもの、有界な関数と零に近づく関数の積の極限を証明する。それらから正弦と余弦の極限、そして三角関数の基本的な極限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を得て、そこから残りの三角関数の極限を導く。
片側極限の課は、片側極限を制限の極限として定義するので、片側極限はそれまでの定理をすべて受け継ぐ。この課は、極限が存在するのは二つの片側極限が存在して一致するとき、かつそのときに限ることを証明し、さらに単調で有界な関数はその値の上限または下限に等しい片側極限をもつことを証明する。これは極限の値を知らずにその存在を保証する最初の定理である。
変数が無限大に近づくときの極限の課は、変数が限りなく大きくなるときの極限を定義し、反転の補題を用いて、それが $0$ における片側極限と同値であることを証明する。したがって、それまでの定理はすべて無限遠でも成り立つ。それらを用いて、累乗と有理関数の極限を求める。
無限大の極限の課は、逆数の補題を用いて、それを零に等しい極限に帰着させる。そこから比較とあわせて和、積、商の法則が得られる。この課は、不定形がどんな結果も与えうることを示し、有界でない単調関数の定理と、無限大の極限との合成の定理を証明する。
漸近線の課は、片側極限、無限遠における極限、無限大の極限を用いて漸近線を定義する。この課は斜め漸近線の傾きと切片の公式、各端における鉛直でない漸近線の一意性、代数と幾何で有理関数について認めた事実を証明し、導関数を使わずに関数のグラフを描く方法を提案する。
連続性の課は、おなじみの挑戦と応答によって、点を除かずに連続性を定義する。この課は、集積点においては、連続性が、極限が存在して値に等しいことと同値であることを証明し、不連続を除去可能、跳躍、本質的に分類し、極限の演算法則から演算の連続性を受け継ぎ、連続関数の合成が連続であることを証明する。したがって極限は連続関数の中に入る。
初等関数の課は、ただ一つの論法で初等関数が連続であることを示す。像が区間である単調関数は跳ぶことができない、という論法である。この連続性と指数関数の基本不等式を用いて、この課は指数関数と対数の重要な極限を証明し、数 $e$ を極限として得て、 $1^\infty$ 型の不定形を解き、無限遠で指数関数、累乗、対数を比較する。
同値な無限小と無限大の課は、 $\operatorname{o}$ （スモールオー）、 $\operatorname{O}$ （ラージオー）、同位、同値によってそれらを比較する。この課は、積や商では各因数を同値なものに置き換えられるが、和では、各項の同値なものが同じ符号をもつ場合を除いて置き換えられないことを証明し、それまでの課の極限を零における同値な無限小の表にまとめる。

単元はまとめと挑戦課題の課で終わる。その課は、達成したことを一本の演繹の鎖にまとめ、まとめテストで導入テストの技能を改めて測り、より難しい問題を十問出す。

歴史的背景

単元の論理的な順序は、歴史的な順序とも一致しない。一世紀以上のあいだ、微積分は極限の定義なしにうまく使われてきた。連続性は現在の形の極限よりも先に厳密に定義され、ε と δ による定義はこの過程の最後、微積分が生まれるもととなった問題をすでに解決したあとで現れた。この歴史をたどっておく価値がある。微積分が乗り越えなければならなかった反論は、学習者がふつう抱く疑問と同じだからである。

ギリシア人の無限

エレアのゼノンは、おおよそ紀元前 490 年から紀元前 425 年まで生きた人で、運動の可能性に反対する論証を唱えた。それらは主としてアリストテレスの自然学によって知られている。二分法の論証によれば、道を進むには、まずその中点に着かなければならず、その前にはその半分の中点に着かなければならず、これが果てしなく続くので、運動は始まりえない。このパラドックスは、無限個の量の和が有限の量になりうるかという問題を、解決しないまま提起している。たとえば $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ のような和である。

ギリシアの数学者たちは、取り尽くし法によってこの問題を避けた。クニドスのエウドクソスが紀元前 370 年ごろにこの方法に厳密な形を与えた。ある面積がある量に等しいことを証明するには、図形の中に、図形との差をどんな与えられた量よりも小さくできる多角形を内接させ、面積がその量より大きくも小さくもありえないことを背理法で証明する。紀元前 225 年ごろ、アルキメデスはこうして、放物線の弓形の面積が、同じ底辺と同じ頂点をもつ内接三角形の面積の $\frac{4}{3}$ であることを、各段階で付け加える三角形を足し合わせて証明した。それらの三角形の面積は級数 $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ をなす。論証の型、すなわちどんな与えられた量よりも小さくできる量というのは、すでに挑戦と応答の型である。

ニュートンとライプニッツの無限小量

17 世紀に、接線の問題と面積の問題は一般的な方法を得た。アイザック・ニュートンは 1666 年 10 月に流率についての論文を書いたが公表せず、1671 年には流率法と無限級数を書いた。これは 1736 年になってようやく出版された。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは 1675 年 10 月 29 日の手稿で積分記号を導入し、11 月 21 日には初めてその記号と微分を用いて積分を書いた。彼は 1684 年にライプツィヒの雑誌Acta EruditorumにNova methodus pro maximis et minimisという表題で微分法を発表し、1686 年に同じ雑誌で積分法を発表した。二人とも、増分を、それで割ることができるように零でないものとして扱い、最後に捨てるために零として扱って計算した。

1734 年、ジョージ・バークリーは解析者を出版し、ニュートンの微積分の基礎を批判した。彼は、消えゆく増分は有限の量でも、無限に小さい量でも、無でもないと主張し、微積分は推論の途中で仮定を取り替えていると述べ、それらを消え去った量の亡霊と呼ぶことはできないのかと問うた。結果は正しかった。バークリーが示したのは、それを正当化する推論が正しくないということである。次の例は、彼が批判した計算を再現し、極限の定義がそれをどう解決するかを示す。

例バークリーが批判した商

放物線 $y = x^2$ の点 $(1, 1)$ における接線の傾きを考える。図は、この点と、放物線上のどんどん近くなる別の点とを結ぶ割線を描き、そのあと、増分の関数としての商を、 $h = 0$ にできる穴とともに描く。

証明

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
$(1, 1)$ と横座標 $1 + h$ の点（ただし $h \neq 0$ ）を結ぶ割線の傾きは、平均変化率である。
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
$h \neq 0$ のとき、分子は $2h + h^2$ となり、因数 $h$ は約分される。 $h$ を短くしていくと、割線の傾きはしだいに小さくなる。
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
ここにバークリーの反論がある。 $h = 0$ ならば商は $\frac{0}{0}$ となって約分できず、 $h \neq 0$ ならば結果は $2$ ではない。無限小量の計算は、割るために $h \neq 0$ を使い、 $h = 0$ を使って項 $h$ を捨てていた。
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
極限の定義はこの反論を解消する。定義は $h = 0$ を調べず、 $q(h)$ が $2$ に等しいことも要求せず、 $2$ にいくらでも近いことを要求するだけである。挑戦 $\varepsilon$ には $\delta = \varepsilon$ で応じる。
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
したがって極限は $2$ 、すなわち接線の傾きであり、どの量も零であると同時に零でないものである必要はない。傾き $2$ で $(1, 1)$ を通る直線が接線である。

基礎としての極限

例が示した出口は、一世紀をかけて開かれていった。ジャン・ル・ロン・ダランベールは、1754 年に書かれた百科全書第四巻の項目「微分」で、微積分を極限の理論の上に築くことを提案し、導関数を増分の比の極限として定義した。1817 年、ベルナルト・ボルツァーノは中間値の定理の純粋に解析的な証明を発表した。その明言された目的は微積分を無限小量の概念から解放することであり、そのなかで現在のものにきわめて近い連続性の概念を用いた。彼の業績は生前ほとんど知られなかった。1821 年、オーギュスタン＝ルイ・コーシーはパリのエコール・ポリテクニークの学生のために書いた解析教程を出版し、極限を微積分の基礎に据え、連続関数を、変数の無限に小さい増分が関数の無限に小さい増分を生むような関数として定義した。

同じころ、関数の概念も変わりつつあった。1748 年のオイラーにとって、関数とは解析的な式であった。ペーター・グスタフ・ルジューヌ・ディリクレは 1837 年に、値がどのように続いてもよい、はるかに広い概念を受け入れた。有理数で $0$ 、無理数で $1$ をとり、すべての点で不連続な関数の例は、彼によるものである。これほど一般的な関数では、幾何学的直観はもはや確かな案内役ではなく、定義は数と不等式についてだけ語らなければならなかった。

ワイエルシュトラスの定義

カール・ワイエルシュトラスは 1856 年からベルリン大学の教授であり、1859 年と 1860 年の解析学入門の講義で初めて解析学の基礎に取り組んだ。主に学生のノートによって知られる彼の講義では、極限と連続性の定義が ε と δ によって、このコースが用いる形で書かれた。運動も無限小量もなく、実数についての量化子を含む言明としてである。1872 年、リヒャルト・デデキントとゲオルク・カントールが完備性を証明する実数の構成を発表したのと同じ年に、ワイエルシュトラスはベルリン科学アカデミーに、どの点でも微分可能でない連続関数を提出した。これは、連続曲線についての直観だけではそれについて推論するのに足りないことの証拠であった。

単元の最後の課が関数を比較するのに使う記法は、もっと後のものである。パウル・バッハマンは 1894 年に、数論についての著作の第二巻であるDie analytische Zahlentheorieで記号 $\operatorname{O}$ を導入し、それを採り入れたエドムント・ランダウは 1909 年に、素数の分布についての著作で記号 $\operatorname{o}$ を導入した。

概念を生んだ問題

三つの古い問題が微積分へと導いた。三つとも同じ構造をもつ。動く物体のある瞬間の速度は、かかった時間が零のときの、進んだ距離とかかった時間の商であるはずである。曲線の接線の傾きは、二つの点が一致する割線の傾きであるはずである。曲線で囲まれた図形の面積は、幅が零の無限個の長方形の和であるはずである。三つの場合とも、直接代入すると $\frac{0}{0}$ か意味のない和が得られ、正しい結果は近似が近づいていく先である。最初の二つは次の単元の主題である導関数に、三つ目は微分積分学 II で学ぶ積分に導く。

しかし、「近づいていく先」はまだ定義ではない。理由は三つある。第一に、近づくだけでは足りない。実変数関数の極限についての課が示すように、 $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ の値は $3$ に近づいていく（ $x$ が $0.9$ から $0.99$ へ移るとき）。それでも極限は $2$ である。第二に、表は有限個の点しか調べない。同じ課が示すように、 $\sin\frac{\pi}{x}$ は $0$ に等しい（ $\frac{1}{n}$ の形のすべての点で）が、それでも $0$ で極限をもたない。第三に、表の値は誤って計算されていることがある。次の例がそれを示す。

例人を欺く表

関数 $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ （ $x \neq 0$ で定義される）を考える。図はそのグラフを、 $x = 0$ の穴、表の値、 $0$ のごく近くでコンピュータが出す値とともに描き、そのあとで極限を決める上界を描く。

証明

$q(1) \approx 0.1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0.16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0.1666662$
$1$ 、 $10^{-1}$ 、 $10^{-2}$ での値は $0.1666\ldots$ 、すなわち $\frac{1}{6}$ に近づいているように見える。
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
しかし $x = 10^{-8}$ では、通常の倍精度浮動小数点数で計算するプログラムは $0$ を得る。和 $9 + 10^{-16}$ は $9$ に丸められ、分子の引き算はちょうど $0$ になる。表だけでは、 $\frac{1}{6}$ と $0$ のどちらとも決められない。
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
$x \neq 0$ のとき、共役な式 $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ を掛けて割る。分子は $x^2$ となり、約分される。
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
$\frac{1}{6}$ までの距離を同じ共役な式で書き、 $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ であることから上から押さえる。したがって $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ の二乗は少なくとも $36$ である。
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
挑戦 $\varepsilon$ には $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ で応じ、極限は $\frac{1}{6}$ である。コンピュータの $0$ は丸め誤差である。上界により、 $q\left(10^{-8}\right)$ と $\frac{1}{6}$ の差は $10^{-18}$ より小さいことが保証される。

極限の定義は三つの反論すべてに応える。近くのすべての点について一度に語り、「いくらでも近く」が何を意味するかを数で定め、近似計算ではなく不等式で証明される。しかし問題にはもう一つの面がある。それは計算ではなく存在にかかわる。単元の多くの極限は、その値を知るか推測したあとで証明される。一方で、計算の仕方がわからなくても存在する極限もあり、その存在は実数の完備性に支えられている。片側極限の課の単調関数の定理は極限を上限として与え、指数関数、対数、その他の初等関数の連続性はこの定理に依存する。極限と連続性の課は、ある点で連続かつ正の関数は、その点に近い定義域内の点でも正であることを証明する。この符号の保存が完備性とあわさって、次の単元で中間値の定理を与える。完備性がなければ、これらのどれも成り立たない。関数 $x^2 - 2$ を有理数だけで考えると、一度も零にならずに負の値から正の値へ移る。

極限と連続性の意義

コースの残りの部分で

コース全体がこの単元の上に成り立っている。導関数についての次の単元は、最初の課で関数の極限としての導関数、すなわちバークリーの例の平均変化率を定義し、極限の演算法則から微分法の公式を得る。正弦、指数関数、対数の導関数は、初等関数の導関数の課において、この単元の重要な極限そのものである。合成関数の微分法は連続関数の合成に基づく。中間値の定理は符号の保存と完備性によって証明され、二分法を正当化する。そして逆関数の導関数は、逆関数の微分法と陰関数の微分法の課で、逆関数の連続性を必要とする。導関数の応用についての第三の単元は、ワイエルシュトラスの定理から始まる。これによれば、有界閉区間で連続な関数はその最大値と最小値をとる。この定理の上に、ロルの定理と平均値の定理、極値と最大値・最小値の探索、最適化問題が成り立つ。ロピタルの定理は、この単元が見分けることしかできない不定形を解き、コースを締めくくるニュートン・ラフソン法は、下に凸であることと上限を用いてその収束を証明する。

ほかのコースで

微分積分学 IIでは、積分は長方形の面積の和の極限として定義される。これはアルキメデスの問題である。このコースでは扱わない数列と級数も同じ型の定義で扱われ、テイラー多項式は単元の最後の課の $\operatorname{O}$ （ラージオー）でその誤差を測る。微分積分学 IIIでは、ε と δ による定義が多変数関数に移され、絶対値の代わりに平面の距離が用いられる。そして極限は点に近づく道筋によって変わりうる。力学の基礎では、瞬間の速度と加速度は増分の比の極限である。金融数学では、連続複利は $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ の極限（ $x$ を無限大に近づけたときの）であり、重要な極限の課により $e^{r}$ に等しい。R によるデータ分析では、成長モデルは無限遠でのふるまいによって区別され、それこそが指数関数、累乗、対数の比較の扱うものである。C++ プログラミング Iでは、二分法は中間値の定理を頼りに根を近似し、アルゴリズムのコストはバッハマンとランダウの $\operatorname{O}$ 記法で測られ、浮動小数点数は、人を欺く表のように、正確な極限と計算された値とを区別することを強いる。

科学と技術で

位置、温度、濃度、電圧のように連続的に変化する量はすべて連続関数で記述され、その瞬間の変化率は極限である。工学と実験科学が用いる近似（平衡点の近くでの現象の線形化、小さな振動での $\sin x$ の $x$ による置き換え、はるかに大きい項に対する項の無視）は、単元の最後の課の同値と同じ種類のもので、同じ条件のもとで成り立つ。漸近線は、安定する過程の飽和値と、安定しない過程の限りない増大とを記述する。そして、閉じた式をもたないものをコンピュータで解く数値計算は、人を欺く表の例が示した区別に基づいている。アルゴリズムは近似を生み出し、不等式で証明された誤差の上界だけが、それらが正確な値にどれだけ近いかを教えてくれる。