Όρια και συνέχεια: εισαγωγή

Περίληψη

Αυτό το μάθημα ανοίγει την ενότητα για τα όρια και τη συνέχεια. Παρουσιάζει τη διαδρομή της ενότητας, η οποία ξεκινά από τον ορισμό του ορίου με έψιλον και δέλτα και φτάνει, μέσα από μαθήματα που επαναχρησιμοποιούν τις προηγούμενες αποδείξεις αντί να τις επαναλαμβάνουν, στη συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και στη σύγκριση των απειροστών συναρτήσεων· ανασυνθέτει την ιστορία της έννοιας του ορίου, από τα παράδοξα του Ζήνωνα και τη μέθοδο της εξάντλησης έως τον ορισμό του Βάιερστρας, περνώντας από τα απειροστά του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς και την κριτική του Μπέρκλεϊ· διατυπώνει το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκε η έννοια, δηλαδή να αποκτήσει νόημα ένα πηλίκο που γίνεται $\frac{0}{0}$ , και εξετάζει γιατί ούτε η ιδέα της προσέγγισης ούτε ένας πίνακας τιμών αρκούν για να κριθεί ένα όριο. Κλείνει δείχνοντας πού χρησιμοποιούνται τα όρια και η συνέχεια στο υπόλοιπο του κύκλου μαθημάτων, σε άλλους κύκλους μαθημάτων του ιστότοπου και στην επιστήμη και την τεχνική.

Μαθησιακοί στόχοι

Να περιγράφει τη διαδρομή της ενότητας και να εξηγεί τι αποδεικνύει κάθε μάθημα και ποια προηγούμενα αποτελέσματα χρησιμοποιεί.
Να εξηγεί γιατί η στιγμιαία ταχύτητα, η εφαπτομένη και το εμβαδόν απαιτούν την έννοια του ορίου, και γιατί η διαισθητική ιδέα της προσέγγισης και οι πίνακες τιμών δεν αρκούν ούτε για να την ορίσουν ούτε για να το υπολογίσουν.
Να τοποθετεί στο ιστορικό τους πλαίσιο τα στάδια της έννοιας του ορίου, από τη μέθοδο της εξάντλησης έως τον ορισμό με έψιλον και δέλτα, και να αναγνωρίζει το πρόβλημα ή την κριτική που ώθησε το καθένα.
Να επισημαίνει πού παρεμβαίνουν τα όρια και η συνέχεια στο υπόλοιπο του κύκλου μαθημάτων, σε άλλους κύκλους μαθημάτων και σε επιστημονικές και τεχνικές εφαρμογές.

Αρχική αξιολόγηση

Πριν διατρέξουμε την ενότητα, αξίζει να μετρήσουμε το σημείο εκκίνησης. Αυτή η αυτοαξιολόγηση δεν βαθμολογείται: χρησιμεύει για να ξέρουμε πού να σταθούμε. Οι δέκα πρώτες ερωτήσεις αφορούν, με τη σειρά, τα δέκα μαθήματα περιεχομένου της ενότητας, μία για το καθένα, και μετρούν μια δεξιότητα υπολογισμού ή συλλογισμού, όχι μια διατύπωση που απομνημονεύεται· οι ίδιες δεξιότητες μετρώνται ξανά στο τέλος, στο μάθημα της σύνθεσης, με άλλα δεδομένα. Οι έξι τελευταίες ελέγχουν όσα η ενότητα θεωρεί γνωστά από την Άλγεβρα και γεωμετρία I και II: την απόλυτη τιμή, το supremum, τη σύνθεση συναρτήσεων, τους πίνακες προσήμων, την ανισότητα ημιτόνου, τόξου και εφαπτομένης, και τη θεμελιώδη ανισότητα της εκθετικής.

Τα περιεχόμενα της ενότητας

Στον κύκλο μαθημάτων Άλγεβρα και γεωμετρία I, το μάθημα για τις ρητές συναρτήσεις χρησιμοποίησε τις κατακόρυφες ασύμπτωτες και τις ασύμπτωτες στο άπειρο, τη συνέχεια αυτών των συναρτήσεων και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών ως αποδεκτά γεγονότα, χωρίς απόδειξη, γιατί απαιτούσαν έναν ορισμό του ορίου που δεν υπήρχε ακόμη· και η Άλγεβρα και γεωμετρία II δέχτηκε με τον ίδιο τρόπο τη συνέχεια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και των αντιστρόφων τους. Αυτή η ενότητα δίνει αυτόν τον ορισμό και αποδεικνύει, ένα προς ένα, τα αποδεκτά γεγονότα, εκτός από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, που θα αποδειχθεί στην ενότητα που ακολουθεί. Οι αποδείξεις διατάσσονται ώστε να επαναχρησιμοποιούνται: λίγες γίνονται με έψιλον και δέλτα, και οι υπόλοιπες παραπέμπουν στα προηγούμενα αποτελέσματα αντί να επαναλαμβάνουν το επιχείρημα. Τα μαθήματα ακολουθούν αυτή τη σειρά:

Το μάθημα για το όριο μιας συνάρτησης μετατρέπει την ιδέα της προσέγγισης στον ορισμό με έψιλον και δέλτα, προσδιορίζει με τα σημεία συσσώρευσης πού έχει νόημα, γράφει τον ορισμό και την άρνησή του ως προτάσεις με ποσοδείκτες, και αποδεικνύει ότι το όριο είναι μοναδικό, ότι εξαρτάται μόνο από τις κοντινές τιμές και ότι αναγκάζει τη συνάρτηση να μένει φραγμένη και να διατηρεί το πρόσημο κοντά στο σημείο.
Το μάθημα για την άλγεβρα των ορίων ανάγει τους κανόνες υπολογισμού σε τρία λήμματα αποδεδειγμένα με έψιλον και δέλτα, το κυριότερο από τα οποία είναι το κριτήριο του φράγματος, και συνάγει από αυτά, με ένα λήμμα σύμφωνα με το οποίο ο περιορισμός του πεδίου ορισμού δεν χάνει το όριο, τα όρια του αθροίσματος, του γινομένου, του αντιστρόφου και του πηλίκου, εκείνα των πολυωνύμων, των ρητών συναρτήσεων, των ριζών και των δυνάμεων με ρητό εκθέτη, και το θεώρημα του ορίου σύνθεσης, που δικαιολογεί την αλλαγή μεταβλητής.
Το μάθημα για το θεώρημα της παρεμβολής αποδεικνύει, με το κριτήριο του φράγματος, ότι τα όρια διατηρούν τις μη αυστηρές ανισότητες, το ίδιο το θεώρημα και το όριο του γινομένου μιας φραγμένης συνάρτησης με μια άλλη που τείνει στο μηδέν· με αυτά λαμβάνει τα όρια του ημιτόνου και του συνημιτόνου και το θεμελιώδες τριγωνομετρικό όριο $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , από το οποίο προκύπτουν τα υπόλοιπα τριγωνομετρικά όρια.
Το μάθημα για τα πλευρικά όρια τα ορίζει ως όρια ενός περιορισμού, ώστε να κληρονομούν όλα τα προηγούμενα θεωρήματα· αποδεικνύει ότι το όριο υπάρχει αν και μόνο αν τα δύο πλευρικά υπάρχουν και συμπίπτουν, και ότι μια μονότονη και φραγμένη συνάρτηση έχει πλευρικό όριο ίσο με το supremum ή το infimum των τιμών της, το πρώτο θεώρημα που εξασφαλίζει ότι ένα όριο υπάρχει χωρίς να είναι γνωστή η τιμή του.
Το μάθημα για τα όρια όταν η μεταβλητή τείνει στο άπειρο ορίζει το όριο όταν η μεταβλητή αυξάνεται απεριόριστα και αποδεικνύει, με το λήμμα της αντιστροφής, ότι ισοδυναμεί με ένα πλευρικό όριο στο $0$ , ώστε όλα τα προηγούμενα θεωρήματα να ισχύουν και στο άπειρο· με αυτά υπολογίζει τα όρια των δυνάμεων και των ρητών συναρτήσεων.
Το μάθημα για τα άπειρα όρια τα ανάγει, με το λήμμα του αντιστρόφου, σε όρια ίσα με μηδέν· από εκεί και από τη σύγκριση προκύπτουν οι κανόνες του αθροίσματος, του γινομένου και του πηλίκου, και το μάθημα δείχνει ότι οι απροσδιόριστες μορφές μπορούν να δώσουν οποιοδήποτε αποτέλεσμα, και αποδεικνύει το θεώρημα των μη φραγμένων μονότονων συναρτήσεων και εκείνο της σύνθεσης με άπειρα όρια.
Το μάθημα για τις ασύμπτωτες τις ορίζει με τα πλευρικά όρια, τα όρια στο άπειρο και τα άπειρα όρια· αποδεικνύει τους τύπους της κλίσης και της τεταγμένης επί την αρχή της πλάγιας ασύμπτωτης, τη μοναδικότητα της μη κατακόρυφης ασύμπτωτης σε κάθε άκρο και τα γεγονότα για τις ρητές συναρτήσεις που έγιναν δεκτά στην Άλγεβρα και γεωμετρία, και προτείνει μια μέθοδο για τη γραφική παράσταση συναρτήσεων χωρίς παραγώγους.
Το μάθημα για τη συνέχεια την ορίζει με τη γνωστή πρόκληση και απόκριση, χωρίς να αποκλείει το σημείο· αποδεικνύει ότι, σε ένα σημείο συσσώρευσης, ισοδυναμεί με το να υπάρχει το όριο και να ισούται με την τιμή, ταξινομεί τις ασυνέχειες σε αιρόμενες, άλματος και ουσιώδεις, κληρονομεί από την άλγεβρα των ορίων τη συνέχεια των πράξεων, και αποδεικνύει ότι η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής, ώστε το όριο περνά μέσα σε συνεχή συνάρτηση.
Το μάθημα για τις στοιχειώδεις συναρτήσεις δείχνει ότι είναι συνεχείς με ένα μόνο επιχείρημα, ότι μια μονότονη συνάρτηση της οποίας η εικόνα είναι διάστημα δεν μπορεί να κάνει άλμα· με αυτή τη συνέχεια και τη θεμελιώδη ανισότητα της εκθετικής, αποδεικνύει τα αξιοσημείωτα όρια της εκθετικής και του λογαρίθμου, λαμβάνει τον αριθμό $e$ ως όριο, λύνει τη μορφή $1^\infty$ και συγκρίνει την εκθετική, τις δυνάμεις και τον λογάριθμο στο άπειρο.
Το μάθημα για τις ισοδύναμες απειροστές και απειρίζουσες συναρτήσεις τις συγκρίνει με το μικρό $\operatorname{o}$ , το μεγάλο $\operatorname{O}$ , την ίδια τάξη και την ισοδυναμία· αποδεικνύει ότι, σε ένα γινόμενο ή ένα πηλίκο, κάθε παράγοντας μπορεί να αντικατασταθεί από έναν ισοδύναμο, όχι όμως σε ένα άθροισμα, εκτός όταν οι ισοδύναμοι των προσθετέων έχουν το ίδιο πρόσημο, και συγκεντρώνει τα όρια των προηγούμενων μαθημάτων σε έναν πίνακα ισοδυνάμων στο μηδέν.

Η ενότητα κλείνει με το μάθημα σύνθεσης και προκλήσεων, που συγκεντρώνει όσα επιτεύχθηκαν σε μια αποδεικτική αλυσίδα, επαναλαμβάνει στην τελική αξιολόγησή του τις δεξιότητες της αρχικής αξιολόγησης και προτείνει δέκα προβλήματα μεγαλύτερης δυσκολίας.

Το ιστορικό υπόβαθρο

Ούτε η λογική σειρά της ενότητας συμπίπτει με την ιστορική. Για περισσότερο από έναν αιώνα, ο απειροστικός λογισμός ασκήθηκε με επιτυχία χωρίς ορισμό του ορίου· η συνέχεια ορίστηκε αυστηρά πριν από το όριο στη σημερινή του μορφή, και ο ορισμός με έψιλον και δέλτα ήρθε στο τέλος της διαδικασίας, όταν ο λογισμός είχε ήδη λύσει τα προβλήματα για τα οποία γεννήθηκε. Αξίζει να διατρέξουμε αυτή την ιστορία, γιατί οι αντιρρήσεις που χρειάστηκε να υπερνικήσει είναι οι ίδιες που συνήθως διατυπώνει ο μαθητής.

Το άπειρο των Ελλήνων

Ο Ζήνων ο Ελεάτης, που έζησε περίπου μεταξύ του 490 και του 425 προ Κοινής Εποχής, διατύπωσε επιχειρήματα κατά της δυνατότητας της κίνησης, τα οποία είναι γνωστά κυρίως από τα Φυσικά του Αριστοτέλη. Εκείνο της διχοτομίας υποστηρίζει ότι, για να διανύσει κανείς έναν δρόμο, πρέπει πρώτα να φτάσει στο μέσο του, και πριν από αυτό στο μέσο του μισού, και ούτω καθεξής χωρίς τέλος, ώστε η κίνηση δεν θα μπορούσε να αρχίσει. Το παράδοξο θέτει, χωρίς να το λύνει, το ερώτημα αν άπειρα μεγέθη μπορούν να έχουν ως άθροισμα ένα πεπερασμένο μέγεθος, όπως $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ .

Οι Έλληνες μαθηματικοί παρέκαμψαν αυτό το ερώτημα με τη μέθοδο της εξάντλησης, στην οποία ο Εύδοξος ο Κνίδιος έδωσε αυστηρή μορφή γύρω στο 370 προ Κοινής Εποχής: για να αποδειχθεί ότι ένα εμβαδόν ισούται με ορισμένη ποσότητα, εγγράφονται στο σχήμα πολύγωνα των οποίων η διαφορά από αυτό μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιοδήποτε δοσμένο μέγεθος, και αποδεικνύεται με απαγωγή σε άτοπο ότι το εμβαδόν δεν μπορεί να είναι ούτε μεγαλύτερο ούτε μικρότερο από αυτή την ποσότητα. Γύρω στο 225 προ Κοινής Εποχής, ο Αρχιμήδης απέδειξε έτσι ότι το εμβαδόν ενός παραβολικού χωρίου είναι τα $\frac{4}{3}$ του εμβαδού του εγγεγραμμένου τριγώνου με την ίδια βάση και την ίδια κορυφή, αθροίζοντας τα τρίγωνα που προστίθενται σε κάθε στάδιο, των οποίων τα εμβαδά σχηματίζουν την πρόοδο $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ . Το σχήμα του επιχειρήματος, μια ποσότητα που μπορεί να γίνει μικρότερη από οποιοδήποτε δοσμένο μέγεθος, είναι ήδη εκείνο της πρόκλησης και της απόκρισης.

Τα απειροστά του Νεύτωνα και του Λάιμπνιτς

Τον 17ο αιώνα, το πρόβλημα των εφαπτομένων και εκείνο των εμβαδών απέκτησαν μια γενική μέθοδο. Ο Ισαάκ Νεύτων έγραψε τον Οκτώβριο του 1666 μια πραγματεία για τις ροές, την οποία δεν δημοσίευσε, και το 1671 τη Μέθοδο των ροών και των άπειρων σειρών, που δημοσιεύθηκε μόλις το 1736. Ο Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς εισήγαγε το σύμβολο του ολοκληρώματος σε ένα χειρόγραφο της 29ης Οκτωβρίου 1675, και στις 21 Νοεμβρίου έγραψε για πρώτη φορά ένα ολοκλήρωμα με το σύμβολο και το διαφορικό· δημοσίευσε τον διαφορικό λογισμό του το 1684 στο περιοδικό Acta Eruditorum της Λειψίας, με τον τίτλο Nova methodus pro maximis et minimis, και τον ολοκληρωτικό λογισμό του στο ίδιο περιοδικό το 1686. Και οι δύο υπολόγιζαν με αυξήσεις που θεωρούνται διαφορετικές από το μηδέν για να μπορεί να γίνει διαίρεση με αυτές και μηδενικές για να απορριφθούν στο τέλος.

Το 1734, ο Τζορτζ Μπέρκλεϊ δημοσίευσε τον Αναλυτή, μια κριτική των θεμελίων του λογισμού του Νεύτωνα. Υποστήριξε ότι οι φθίνουσες αυξήσεις δεν ήταν ούτε πεπερασμένες ποσότητες, ούτε απειροελάχιστες, ούτε τίποτα, ότι ο λογισμός άλλαζε παραδοχή στη μέση του συλλογισμού, και ρώτησε αν δεν θα μπορούσαν να ονομαστούν φαντάσματα χαμένων ποσοτήτων. Τα αποτελέσματα ήταν σωστά· αυτό που έδειξε ο Μπέρκλεϊ είναι ότι ο συλλογισμός που τα δικαιολογούσε δεν ήταν. Το παράδειγμα που ακολουθεί αναπαράγει τον υπολογισμό που επέκρινε και δείχνει πώς τον επιλύει ο ορισμός του ορίου.

ΠαράδειγμαΤο πηλίκο που επέκρινε ο Μπέρκλεϊ

Ας θεωρήσουμε την κλίση της εφαπτομένης της παραβολής $y = x^2$ στο σημείο $(1, 1)$ . Το σχήμα σχεδιάζει τις τέμνουσες που ενώνουν αυτό το σημείο με ένα άλλο σημείο της παραβολής όλο και πιο κοντινό και, έπειτα, το πηλίκο ως συνάρτηση της αύξησης, με το κενό που αφήνει στο $h = 0$ .

Απόδειξη

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
Η τέμνουσα που ενώνει το $(1, 1)$ με το σημείο τετμημένης $1 + h$ , με $h \neq 0$ , έχει κλίση τον λόγο μεταβολής.
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
Για $h \neq 0$ , ο αριθμητής ισούται με $2h + h^2$ , και ο παράγοντας $h$ απλοποιείται. Καθώς το $h$ μικραίνει, οι τέμνουσες κλίνουν όλο και λιγότερο.
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
Εδώ βρίσκεται η αντίρρηση του Μπέρκλεϊ: αν $h = 0$ , το πηλίκο είναι $\frac{0}{0}$ και δεν μπορεί να απλοποιηθεί· αν $h \neq 0$ , το αποτέλεσμα δεν είναι $2$ . Ο λογισμός των απειροστών χρησιμοποιούσε $h \neq 0$ για να διαιρέσει και $h = 0$ για να απορρίψει τον προσθετέο $h$ .
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
Ο ορισμός του ορίου αίρει την αντίρρηση: δεν εξετάζει το $h = 0$ ούτε απαιτεί να ισούται το $q(h)$ με $2$ , αλλά να βρίσκεται όσο κοντά θέλουμε στο $2$ . Στην πρόκληση $\varepsilon$ ανταποκρίνεται κανείς με $\delta = \varepsilon$ .
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
Επομένως, το όριο είναι $2$ , η κλίση της εφαπτομένης, και καμία ποσότητα δεν χρειάζεται να είναι ταυτόχρονα μηδενική και μη μηδενική. Η ευθεία με κλίση $2$ που διέρχεται από το $(1, 1)$ είναι η εφαπτομένη.

Το όριο ως θεμέλιο

Η διέξοδος που υπέδειξε το παράδειγμα άνοιγε τον δρόμο της επί έναν αιώνα. Ο Ζαν λε Ρον ντ' Αλαμπέρ, στο λήμμα «Διαφορικό» του τέταρτου τόμου της Εγκυκλοπαίδειας, γραμμένο το 1754, πρότεινε να θεμελιωθεί ο λογισμός στη θεωρία των ορίων και όρισε την παράγωγο ως το όριο ενός λόγου αυξήσεων. Το 1817, ο Μπέρναρντ Μπολτσάνο δημοσίευσε μια καθαρά αναλυτική απόδειξη του θεωρήματος ενδιάμεσων τιμών, με τον δηλωμένο σκοπό να απαλλάξει τον λογισμό από την έννοια του απειροστού, και χρησιμοποίησε σε αυτήν μια έννοια συνέχειας πολύ κοντινή στη σημερινή· το έργο του έμεινε λίγο γνωστό όσο ζούσε. Το 1821, ο Ωγκυστέν-Λουί Κωσί δημοσίευσε τα Μαθήματα Ανάλυσης, γραμμένα για τους φοιτητές της Πολυτεχνικής Σχολής του Παρισιού, που έθεσαν τα όρια στη βάση του λογισμού και όρισαν τη συνεχή συνάρτηση ως εκείνη στην οποία μια απειροελάχιστη αύξηση της μεταβλητής προκαλεί μια απειροελάχιστη αύξηση της συνάρτησης.

Την ίδια εποχή άλλαζε η έννοια της συνάρτησης. Για τον Όιλερ, το 1748, μια συνάρτηση ήταν μια αναλυτική παράσταση· ο Πέτερ Γκούσταφ Λεζέν Ντιρικλέ δέχτηκε το 1837 μια πολύ ευρύτερη έννοια, στην οποία οι τιμές μπορούν να διαδέχονται η μία την άλλη με οποιονδήποτε τρόπο, και σε αυτόν οφείλεται το παράδειγμα της συνάρτησης που ισούται με $0$ στους ρητούς και με $1$ στους άρρητους, ασυνεχής σε όλα τα σημεία. Με τόσο γενικές συναρτήσεις, η γεωμετρική εποπτεία έπαυε να είναι ασφαλής οδηγός, και οι ορισμοί έπρεπε να μιλούν μόνο για αριθμούς και ανισότητες.

Ο ορισμός του Βάιερστρας

Ο Καρλ Βάιερστρας, καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου από το 1856, ασχολήθηκε για πρώτη φορά με τα θεμέλια της ανάλυσης στο εισαγωγικό του μάθημα ανάλυσης του 1859 και του 1860. Στις παραδόσεις του, γνωστές κυρίως από τις σημειώσεις των φοιτητών του, ο ορισμός του ορίου και της συνέχειας γράφτηκε με έψιλον και δέλτα, στη μορφή που χρησιμοποιεί αυτός ο κύκλος μαθημάτων: χωρίς κίνηση, χωρίς απειροστά, ως πρόταση με ποσοδείκτες για πραγματικούς αριθμούς. Το 1872, την ίδια χρονιά που ο Ρίχαρντ Ντέντεκιντ και ο Γκέοργκ Κάντορ δημοσίευσαν τις κατασκευές τους των πραγματικών αριθμών, οι οποίες αποδεικνύουν την πληρότητα, ο Βάιερστρας παρουσίασε στην Ακαδημία Επιστημών του Βερολίνου μια συνεχή συνάρτηση που δεν έχει παράγωγο σε κανένα σημείο, απόδειξη ότι η εποπτεία μιας συνεχούς καμπύλης δεν αρκεί για να συλλογιστεί κανείς πάνω σε αυτήν.

Ο συμβολισμός με τον οποίο το τελευταίο μάθημα της ενότητας συγκρίνει συναρτήσεις είναι μεταγενέστερος. Ο Πάουλ Μπάχμαν εισήγαγε το σύμβολο $\operatorname{O}$ το 1894, στο Die analytische Zahlentheorie, δεύτερο τόμο της πραγματείας του για τη θεωρία αριθμών, και ο Έντμουντ Λαντάου, που το υιοθέτησε, εισήγαγε το σύμβολο $\operatorname{o}$ το 1909, στην πραγματεία του για την κατανομή των πρώτων αριθμών.

Το πρόβλημα από το οποίο γεννήθηκε η έννοια

Τρία αρχαία προβλήματα οδήγησαν στον λογισμό, και τα τρία έχουν την ίδια δομή. Η ταχύτητα ενός κινητού σε μια στιγμή θα έπρεπε να είναι το πηλίκο της απόστασης που διανύθηκε προς τον χρόνο που χρειάστηκε, όταν ο χρόνος που χρειάστηκε είναι μηδενικός· η κλίση της εφαπτομένης μιας καμπύλης θα έπρεπε να είναι εκείνη μιας τέμνουσας της οποίας τα δύο σημεία συμπίπτουν· το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου σχήματος θα έπρεπε να είναι το άθροισμα άπειρων ορθογωνίων μηδενικού πλάτους. Και στις τρεις περιπτώσεις, η άμεση αντικατάσταση δίνει $\frac{0}{0}$ ή ένα άθροισμα χωρίς νόημα, και το σωστό αποτέλεσμα είναι εκείνο που πλησιάζουν οι προσεγγίσεις. Τα δύο πρώτα οδηγούν στην παράγωγο, που είναι το αντικείμενο της ενότητας που ακολουθεί· το τρίτο, στο ολοκλήρωμα, που μελετάται στον Λογισμό II.

Ωστόσο, «εκείνο που πλησιάζουν» δεν είναι ακόμη ορισμός, για τρεις λόγους. Ο πρώτος είναι ότι η προσέγγιση δεν αρκεί: το μάθημα για το όριο συναρτήσεων μιας πραγματικής μεταβλητής δείχνει ότι οι τιμές της $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ πλησιάζουν το $3$ όταν το $x$ περνά από το $0{,}9$ στο $0{,}99$ , αν και το όριο είναι $2$ . Ο δεύτερος είναι ότι ένας πίνακας εξετάζει πεπερασμένο πλήθος σημείων: το ίδιο μάθημα δείχνει ότι η $\sin\frac{\pi}{x}$ ισούται με $0$ σε όλα τα σημεία της μορφής $\frac{1}{n}$ και, παρ’ όλα αυτά, δεν έχει όριο στο $0$ . Ο τρίτος είναι ότι οι τιμές του πίνακα μπορεί να έχουν υπολογιστεί λάθος, όπως δείχνει το παράδειγμα που ακολουθεί.

ΠαράδειγμαΈνας παραπλανητικός πίνακας

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ , ορισμένη για $x \neq 0$ . Το σχήμα σχεδιάζει τη γραφική της παράσταση, με το κενό στο $x = 0$ , τις τιμές ενός πίνακα και την τιμή που δίνει ένας υπολογιστής πολύ κοντά στο $0$ · έπειτα, το φράγμα που κρίνει το όριο.

Απόδειξη

$q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662$
Οι τιμές στο $1$ , στο $10^{-1}$ και στο $10^{-2}$ φαίνεται να πλησιάζουν το $0{,}1666\ldots$ , δηλαδή το $\frac{1}{6}$ .
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
Όμως στο $x = 10^{-8}$ , ένα πρόγραμμα που υπολογίζει με τη συνήθη αριθμητική κινητής υποδιαστολής διπλής ακρίβειας βρίσκει $0$ : το άθροισμα $9 + 10^{-16}$ στρογγυλεύεται σε $9$ , και η αφαίρεση του αριθμητή δίνει ακριβώς $0$ . Ο πίνακας, μόνος του, δεν αποφασίζει ανάμεσα στο $\frac{1}{6}$ και στο $0$ .
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
Για $x \neq 0$ , πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τη συζυγή παράσταση $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ · ο αριθμητής γίνεται $x^2$ , που απλοποιείται.
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
Η απόσταση από το $\frac{1}{6}$ γράφεται με την ίδια συζυγή και φράσσεται επειδή $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ , οπότε το τετράγωνο της $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ είναι τουλάχιστον $36$ .
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
Στην πρόκληση $\varepsilon$ ανταποκρίνεται κανείς με $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ , και το όριο είναι $\frac{1}{6}$ . Το $0$ του υπολογιστή είναι σφάλμα στρογγύλευσης: το φράγμα εξασφαλίζει ότι το $q\left(10^{-8}\right)$ απέχει από το $\frac{1}{6}$ λιγότερο από $10^{-18}$ .

Ο ορισμός του ορίου απαντά και στις τρεις αντιρρήσεις: μιλά για όλα τα κοντινά σημεία μαζί, καθορίζει με αριθμούς τι σημαίνει «όσο κοντά θέλουμε» και αποδεικνύεται με ανισότητες, όχι με προσεγγιστικούς υπολογισμούς. Όμως το πρόβλημα έχει και μια άλλη όψη, που δεν αφορά τον υπολογισμό αλλά την ύπαρξη. Πολλά όρια της ενότητας αποδεικνύονται αφού η τιμή τους είναι γνωστή ή μαντεμένη· άλλα, αντίθετα, υπάρχουν χωρίς να ξέρουμε πώς να τα υπολογίσουμε, και η ύπαρξή τους στηρίζεται στην πληρότητα των πραγματικών αριθμών. Το θεώρημα των μονότονων συναρτήσεων του μαθήματος για τα πλευρικά όρια δίνει το όριο ως supremum, και από αυτό εξαρτάται η συνέχεια της εκθετικής, του λογαρίθμου και των άλλων στοιχειωδών συναρτήσεων. Το μάθημα για το όριο και τη συνέχεια αποδεικνύει ότι μια συνάρτηση συνεχής και θετική σε ένα σημείο είναι θετική και στα σημεία του πεδίου ορισμού της που βρίσκονται κοντά σε αυτό, και αυτή η διατήρηση του προσήμου, μαζί με την πληρότητα, θα δώσει στην ενότητα που ακολουθεί το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. Χωρίς την πληρότητα τίποτα από αυτά δεν θα ίσχυε: η συνάρτηση $x^2 - 2$ , θεωρούμενη μόνο στους ρητούς, περνά από αρνητικές τιμές σε θετικές χωρίς να μηδενίζεται ποτέ.

Η σημασία των ορίων και της συνέχειας

Στο υπόλοιπο του κύκλου μαθημάτων

Όλος ο κύκλος μαθημάτων στηρίζεται σε αυτή την ενότητα. Η ενότητα που ακολουθεί, για τις παραγώγους, ορίζει στο πρώτο της μάθημα την παράγωγο ως το όριο μιας συνάρτησης, τον λόγο μεταβολής του παραδείγματος του Μπέρκλεϊ, και λαμβάνει τους κανόνες παραγώγισης από την άλγεβρα των ορίων· οι παράγωγοι του ημιτόνου, της εκθετικής και του λογαρίθμου, στο μάθημα για τις παραγώγους των στοιχειωδών συναρτήσεων, είναι τα αξιοσημείωτα όρια αυτής της ενότητας· ο κανόνας της αλυσίδας στηρίζεται στη σύνθεση συνεχών συναρτήσεων· το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών αποδεικνύεται με τη διατήρηση του προσήμου και την πληρότητα, και δικαιολογεί τη μέθοδο της διχοτόμησης· και η παράγωγος της αντίστροφης, στο μάθημα για την παράγωγο της αντίστροφης συνάρτησης και την πεπλεγμένη παραγώγιση, απαιτεί τη συνέχεια της αντίστροφης. Η τρίτη ενότητα, για τις εφαρμογές των παραγώγων, αρχίζει με το θεώρημα του Βάιερστρας, σύμφωνα με το οποίο μια συνάρτηση συνεχής σε ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα παίρνει τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της, και σε αυτό στηρίζονται τα θεωρήματα του Ρολ και της μέσης τιμής, η αναζήτηση μεγίστων και ελαχίστων και τα προβλήματα βελτιστοποίησης. Ο κανόνας του Λοπιτάλ λύνει τις απροσδιόριστες μορφές που αυτή η ενότητα ξέρει μόνο να αναγνωρίζει, και η μέθοδος Νεύτωνα-Ράφσον, που κλείνει τον κύκλο μαθημάτων, αποδεικνύει τη σύγκλισή της με την κυρτότητα και το supremum.

Σε άλλους κύκλους μαθημάτων

Στον Λογισμό II, το ολοκλήρωμα ορίζεται ως το όριο αθροισμάτων εμβαδών ορθογωνίων, το πρόβλημα του Αρχιμήδη· οι ακολουθίες και οι σειρές, που αυτός ο κύκλος μαθημάτων δεν μελετά, αντιμετωπίζονται με ορισμούς του ίδιου τύπου, και το πολυώνυμο του Τέιλορ μετρά το σφάλμα του με το μεγάλο $\operatorname{O}$ του τελευταίου μαθήματος της ενότητας. Στον Λογισμό III, ο ορισμός με έψιλον και δέλτα περνά στις συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, με την απόσταση του επιπέδου στη θέση της απόλυτης τιμής, και το όριο μπορεί να εξαρτάται από τον δρόμο από τον οποίο φτάνει κανείς στο σημείο. Στις Βασικές αρχές της μηχανικής, η στιγμιαία ταχύτητα και η στιγμιαία επιτάχυνση είναι όρια λόγων αυξήσεων. Στα Χρηματοοικονομικά μαθηματικά, ο συνεχής ανατοκισμός είναι το όριο της $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ όταν το $x$ τείνει στο άπειρο, που ισούται με $e^{r}$ σύμφωνα με το μάθημα για τα αξιοσημείωτα όρια. Στην Ανάλυση δεδομένων με R, τα μοντέλα ανάπτυξης διακρίνονται από τη συμπεριφορά τους στο άπειρο, που είναι αυτή που συγκρίνει την εκθετική, τις δυνάμεις και τον λογάριθμο. Στον Προγραμματισμό σε C++ I, η διχοτόμηση προσεγγίζει μια ρίζα στηριζόμενη στο θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, το κόστος ενός αλγορίθμου μετριέται με τον συμβολισμό $\operatorname{O}$ των Μπάχμαν και Λαντάου, και οι αριθμοί κινητής υποδιαστολής αναγκάζουν να διακρίνουμε το ακριβές όριο από την υπολογισμένη τιμή, όπως στον παραπλανητικό πίνακα.

Στην επιστήμη και την τεχνική

Κάθε μέγεθος που μεταβάλλεται με συνεχή τρόπο, μια θέση, μια θερμοκρασία, μια συγκέντρωση, μια ηλεκτρική τάση, περιγράφεται με συνεχείς συναρτήσεις, και οι στιγμιαίοι ρυθμοί μεταβολής του είναι όρια. Οι προσεγγίσεις με τις οποίες εργάζονται η μηχανική και οι πειραματικές επιστήμες (η γραμμικοποίηση ενός φαινομένου κοντά σε ένα σημείο ισορροπίας, η αντικατάσταση του $\sin x$ με $x$ στις μικρές ταλαντώσεις, η παράλειψη ενός όρου μπροστά σε έναν άλλο πολύ μεγαλύτερο) είναι ισοδυναμίες όπως εκείνες του τελευταίου μαθήματος της ενότητας, και ισχύουν με τις ίδιες προϋποθέσεις. Οι ασύμπτωτες περιγράφουν την τιμή κορεσμού μιας διαδικασίας που σταθεροποιείται και την απεριόριστη αύξηση μιας άλλης που δεν σταθεροποιείται. Και η αριθμητική ανάλυση, που λύνει σε έναν υπολογιστή ό,τι δεν έχει κλειστό τύπο, θεμελιώνεται στη διάκριση του παραδείγματος του παραπλανητικού πίνακα: ένας αλγόριθμος παράγει προσεγγίσεις, και μόνο ένα φράγμα του σφάλματος, αποδεδειγμένο με ανισότητες, λέει πόσο πλησιάζουν την ακριβή τιμή.