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Topos Uranos
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极限与连续：导言

摘要

本课开启关于极限与连续性的单元。它介绍本单元的进程：从用 ε 与 δ 给出的极限定义出发，经过一系列重复利用前面的证明而不重复它们的课，到达初等函数的连续性和无穷小的比较；它重建极限概念的历史，从芝诺悖论和穷竭法到魏尔斯特拉斯的定义，其间经过牛顿和莱布尼茨的无穷小量以及贝克莱的批评；它提出催生这一概念的问题，即为一个变成 00\frac{0}{0} 的商赋予意义，并考察为什么无论是“接近”的想法还是数值表都不足以判定一个极限。最后，它指出极限与连续性在本课程其余部分、本站其他课程以及科学与技术中的用途。

学习目标

  1. 描述本单元的进程，说明每一课证明了什么、利用了前面哪些结果。
  2. 解释为什么瞬时速度、切线和面积需要极限的概念，以及为什么直观的“接近”想法和数值表既不足以定义它，也不足以计算它。
  3. 把极限概念的各个阶段放到其历史背景中，从穷竭法到用 ε 与 δ 给出的定义，并指出推动每个阶段的问题或批评。
  4. 指出极限与连续性在本课程其余部分、其他课程以及科学与技术应用中的作用。

入门测评

在学习本单元之前，先测一测自己的起点是有益的。这份自我测评不计分：它的作用是让人知道该在哪里停留。前十道题按顺序对应本单元的十节内容课，每课一道，考查的是计算或推理的技能，而不是需要记住的陈述；同样的技能会在最后的总结课中用其他数据再次测量。最后六道题检查本单元默认已从代数与几何 I 和 II 中掌握的内容：绝对值、上确界、函数的复合、符号表、正弦、弧与正切之间的不等式，以及指数函数的基本不等式。

入门测评

开始本单元之前，先测一测你的起点。这是一次简短的自我测评：不计分，结果只保存在你的浏览器中。

  1. 第 1 题为了证明 lim⁡x→−1(5−4x)=9\lim_{x \to -1} (5 - 4x) = 9，收到挑战 ε=150\varepsilon = \frac{1}{50}。回应这一挑战的最大的 δ\delta 是多少？

  2. 第 2 题计算 lim⁡x→3x+1−2x−3\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x - 3}。

  3. 第 3 题计算 lim⁡x→01−cos⁡4xx2\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x^2}。

  4. 第 4 题关于 lim⁡x→2∣x−2∣x2−4\lim_{x \to 2} \frac{\abs{x - 2}}{x^2 - 4} 可以断言什么？

  5. 第 5 题计算 lim⁡x→−∞4x2+13x−2\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2 + 1}}{3x - 2}。

  6. 第 6 题计算 lim⁡x→1−x+2x2−1\lim_{x \to 1^-} \frac{x + 2}{x^2 - 1}。

  7. 第 7 题函数 f(x)=x2+6xf(x) = \sqrt{x^2 + 6x} 的图像在 ∞\infty 处的渐近线是什么？

  8. 第 8 题函数 f(x)=x2−xx2−1f(x) = \frac{x^2 - x}{x^2 - 1} 在 11 和 −1-1 处都没有定义。它在这两点的间断如何分类？

  9. 第 9 题计算 lim⁡x→0(1+3x)2x\lim_{x \to 0} \left(1 + 3x\right)^{\frac{2}{x}}。

  10. 第 10 题计算 lim⁡x→0(e2x−1)sin⁡3xln⁡(1+x2)\lim_{x \to 0} \frac{\left(e^{2x} - 1\right)\sin 3x}{\ln\left(1 + x^2\right)}。

  11. 第 11 题来自前面的单元实数 xx 中满足 0<∣x−3∣<120 < \abs{x - 3} < \frac{1}{2} 的那些所组成的集合是什么？

  12. 第 12 题来自前面的单元集合 {nn+1:n∈N}\left\{ \frac{n}{n + 1} : n \in \mathbb{N} \right\} 的上确界是什么？

  13. 第 13 题来自前面的单元若 f(x)=xf(x) = \sqrt{x} 且 g(x)=x2−4x+3g(x) = x^2 - 4x + 3，f∘gf \circ g 的定义域是什么？

  14. 第 14 题来自前面的单元x−1x2−4>0\frac{x - 1}{x^2 - 4} > 0 的解集是什么？

  15. 第 15 题来自前面的单元若 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，且 xx 以弧度为单位，下列哪一组不等式成立？

  16. 第 16 题来自前面的单元基本不等式 ex≥1+xe^x \geq 1 + x 对所有实数 xx 成立。下列哪一个结论可由它推出？

本单元的内容

在代数与几何 I中，关于有理函数的那一课把垂直渐近线和无穷远处的渐近线、这些函数的连续性以及介值定理当作承认的事实来使用，没有给出证明，因为它们需要一个当时还没有的极限定义；而代数与几何 II以同样的方式承认了三角函数及其反函数的连续性。本单元给出这个定义，并逐一证明这些承认的事实，只有介值定理除外，它将在下一单元证明。证明的安排使它们可以重复利用：只有少数用 ε 与 δ 完成，其余的引用前面的结果，而不重复论证。各课按以下顺序排列：

  1. 函数的极限一课把“接近”的想法变成用 ε 与 δ 给出的定义，借助聚点明确它在何处有意义，把定义及其否定写成带量词的陈述，并证明极限是唯一的，只依赖于附近的值，并迫使函数在该点附近有界且保持符号。
  2. 极限的运算法则一课把计算法则归结为三个用 ε 与 δ 证明的引理，其中最主要的是上界判别法；再借助一个引理（限制定义域不会失去极限），由它们推出和、积、倒数与商的极限，多项式、有理函数、根式与有理指数幂的极限，以及复合函数的极限定理，后者为变量代换提供依据。
  3. 夹逼定理一课借助上界判别法证明极限保持非严格不等式，证明该定理本身，以及有界函数与趋于零的函数之积的极限；由此得到正弦与余弦的极限和第一重要极限 lim⁡x→0sin⁡xx=1\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1，其余的三角函数极限都由它推出。
  4. 单侧极限一课把它们定义为限制的极限，因而它们继承前面所有的定理；该课证明极限存在当且仅当两个单侧极限都存在且相等，并证明单调有界函数的单侧极限等于其值的上确界或下确界，这是第一个不知道极限的值就能保证极限存在的定理。
  5. 自变量趋于无穷大时的极限一课定义变量无限增大时的极限，并借助反演引理证明它等价于在 00 处的一个单侧极限，因此前面所有定理在无穷远处也成立；借助它们，该课计算幂与有理函数的极限。
  6. 无穷极限一课借助倒数引理把它们归结为等于零的极限；由此并结合比较，得到和、积与商的法则；该课还说明不定式可以给出任何结果，并证明无界单调函数的定理和带无穷极限的复合定理。
  7. 渐近线一课用单侧极限、无穷远处的极限和无穷极限来定义渐近线；该课证明斜渐近线的斜率与截距的公式、每一端非垂直渐近线的唯一性，以及在代数与几何中关于有理函数所承认的事实，并提出一种不用导数作函数图像的方法。
  8. 连续性一课用一贯的挑战与回应来定义连续，不排除该点；该课证明在聚点处连续等价于极限存在且等于函数值，把间断分为可去间断、跳跃间断和本性间断，从极限的运算法则继承运算的连续性，并证明连续函数的复合是连续的，因此极限符号与连续函数可交换。
  9. 初等函数一课用同一个论证说明初等函数都是连续的：值域为区间的单调函数不能跳跃；借助这种连续性和指数函数的基本不等式，该课证明指数与对数的重要极限，把数 ee 作为极限得到，求解 1∞1^\infty 型，并在无穷远处比较指数、幂与对数。
  10. 等价无穷小与等价无穷大一课用小 o⁡\operatorname{o}、大 O⁡\operatorname{O}、同阶与等价来比较它们；该课证明：在积或商中，每个因子都可以换成与之等价的因子，但在和中不行，除非各加项的等价量同号；并把前面各课的极限汇成一张零处的等价无穷小表。

本单元以总结与挑战一课结束；这一课把所取得的成果汇成一条演绎链，在其结业测评中重新考查入门测评的各项技能，并提出十道难度更高的问题。

历史背景

本单元的逻辑顺序与历史顺序同样不一致。一个多世纪里，人们在没有极限定义的情况下成功地运用微积分；连续性的严格定义早于现代形式的极限，而用 ε 与 δ 给出的定义出现在这一过程的最后，那时微积分早已解决了它为之而生的那些问题。值得回顾这一历史，因为它必须克服的反对意见，正是学生通常会提出的那些。

希腊人的无穷

埃利亚的芝诺大约生活在公元前 490 年至公元前 425 年之间，他提出了一些反对运动可能性的论证，这些论证主要通过亚里士多德的物理学而为人所知。二分法悖论认为，要走完一条路，必须先到达它的中点，在此之前又要到达一半的一半，如此以至无穷，因此运动根本无法开始。这个悖论提出了却没有解决这样一个问题：无穷多个量之和能否是一个有限的量，例如 12+14+18+⋯=1\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1。

希腊数学家借助穷竭法回避了这个问题；大约在公元前 370 年，尼多斯的欧多克索斯给了它严格的形式：要证明一个面积等于某个量，就在图形中内接多边形，使它们与图形之差可以小于任意给定的量，再用反证法证明面积既不能大于也不能小于这个量。大约在公元前 225 年，阿基米德就这样证明了抛物线弓形的面积是同底同顶点的内接三角形面积的 43\frac{4}{3}，方法是把每一阶段添加的三角形加起来，它们的面积构成等比级数 1+14+116+⋯1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots。论证的模式，即一个可以小于任意给定量的量，已经就是挑战与回应的模式。

牛顿与莱布尼茨的无穷小量

十七世纪，切线问题和面积问题获得了一种普遍的方法。艾萨克·牛顿于 1666 年 10 月写了一篇关于流数的论文，但没有发表；1671 年又写了流数法与无穷级数，直到 1736 年才出版。戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在 1675 年 10 月 29 日的一份手稿中引入了积分符号，并在 11 月 21 日第一次用这个符号和微分写出一个积分；他于 1684 年在莱比锡的Acta Eruditorum杂志上以Nova methodus pro maximis et minimis为题发表了他的微分学，1686 年又在同一杂志上发表了他的积分学。两人都用这样的增量进行计算：为了能用它们作除数，把它们当作非零的；为了最后把它们舍去，又把它们当作零。

1734 年，乔治·贝克莱发表了分析学家，批评牛顿微积分的基础。他认为，消失的增量既不是有限的量，也不是无穷小量，也不是无，微积分在推理中途改变了假设；他还问，难道不能把它们称为消失了的量的鬼魂吗？结果是正确的；贝克莱所揭示的是，为这些结果辩护的推理并不正确。下面的例子重现了他所批评的计算，并说明极限的定义如何解决它。

例题贝克莱所批评的商

考虑抛物线 y=x2y = x^2 在点 (1,1)(1, 1) 处的切线的斜率。图中画出了连接该点与抛物线上另一个越来越近的点的割线，然后画出作为增量的函数的商，以及它在 h=0h = 0 处留下的空洞。

证明

  1. q(h)=(1+h)2−12hq(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}

    连接 (1,1)(1, 1) 与横坐标为 1+h1 + h 的点（其中 h≠0h \neq 0）的割线，其斜率是差商。

  2. h≠0→q(h)=2+hh \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}

    当 h≠0h \neq 0 时，分子等于 2h+h22h + h^2，因子 hh 可以约去。随着 hh 缩小，割线的倾斜越来越小。

  3. q(0)=00,h≠0→q(h)≠2q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2

    这就是贝克莱的反对意见：若 h=0h = 0，商是 00\frac{0}{0}，无法约简；若 h≠0h \neq 0，结果就不是 22。无穷小量的演算用 h≠0h \neq 0 来作除法，又用 h=0h = 0 来舍去加项 hh。

  4. 0<∣h∣<ε→∣q(h)−2∣=∣h∣<ε0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon

    极限的定义消解了这一反对意见：它不考察 h=0h = 0，也不要求 q(h)q(h) 等于 22，只要求它任意接近 22。对挑战 ε\varepsilon，以 δ=ε\delta = \varepsilon 回应。

  5. lim⁡h→0(1+h)2−1h=2,y=2x−1\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1

    因此，极限是 22，即切线的斜率，没有任何量需要同时为零又不为零。斜率为 22 并经过 (1,1)(1, 1) 的直线就是切线。

作为基础的极限

这个例子所指出的出路，花了一个世纪才逐渐打开。让·勒朗·达朗贝尔在 1754 年为百科全书第四卷撰写的“微分”条目中，提议把微积分建立在极限理论之上，并把导数定义为增量之比的极限。1817 年，伯纳德·波尔查诺发表了介值定理的一个纯分析的证明，其明言的目的是使微积分摆脱无穷小量的概念，并在其中使用了一个与现代非常接近的连续性概念；他的著作在他生前鲜为人知。1821 年，奥古斯丁-路易·柯西发表了为巴黎综合理工学院学生撰写的分析教程，它把极限置于微积分的基础之上，并把连续函数定义为这样的函数：自变量的无穷小增量产生函数的无穷小增量。

与此同时，函数的概念也在改变。对 1748 年的欧拉而言，函数是一个解析表达式；1837 年，彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷接受了一个宽泛得多的概念，其中的值可以以任意方式相继出现；在有理数上等于 00、在无理数上等于 11、处处间断的函数这一例子就归功于他。对于如此一般的函数，几何直观不再是可靠的向导，定义只能谈论数和不等式。

魏尔斯特拉斯的定义

卡尔·魏尔斯特拉斯自 1856 年起任柏林大学教授，在 1859 年和 1860 年的分析引论课程中第一次处理分析的基础问题。在他的讲课中（主要通过学生的笔记为人所知），极限与连续的定义用 ε 与 δ 写出，其形式正是本课程所用的：没有运动，没有无穷小量，而是一个关于实数的带量词的陈述。1872 年，即理查德·戴德金和格奥尔格·康托尔发表各自的实数构造（它们证明了完备性）的同一年，魏尔斯特拉斯向柏林科学院提交了一个处处不可导的连续函数，这证明了对连续曲线的直观不足以对它进行推理。

本单元最后一课用来比较函数的记号出现得更晚。保罗·巴赫曼于 1894 年在Die analytische Zahlentheorie（他的数论著作的第二卷）中引入了符号 O⁡\operatorname{O}，而采用了它的埃德蒙·朗道于 1909 年在他关于素数分布的著作中引入了符号 o⁡\operatorname{o}。

催生这一概念的问题

三个古老的问题导向了微积分，而这三个问题有相同的结构。运动物体在某一时刻的速度，应当是所经过的距离与所用时间之比，而所用时间为零；曲线切线的斜率，应当是两个点重合的割线的斜率；曲边图形的面积，应当是无穷多个宽度为零的矩形之和。在这三种情形中，直接代入都会得到 00\frac{0}{0} 或一个没有意义的和，而正确的结果是近似值所趋近的东西。前两个问题导向导数，那是下一单元的内容；第三个导向积分，在微积分 II 中学习。

然而，“近似值所趋近的东西”还不是定义，原因有三。第一，趋近是不够的：关于实变量函数的极限的那一课表明，x2−1x−1\frac{x^2 - 1}{x - 1} 的值趋近 33，这时 xx 从 0.90.9 变到 0.990.99，尽管极限是 22。第二，表格只考察有限个点：同一课表明，sin⁡πx\sin\frac{\pi}{x} 等于 00（在所有形如 1n\frac{1}{n} 的点处），然而在 00 处没有极限。第三，表中的值可能算错，下面的例子就说明了这一点。

例题一张误导人的表格

考虑函数 q(x)=x2+9−3x2q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}，它对 x≠0x \neq 0 有定义。图中画出它的图像（在 x=0x = 0 处有空洞）、一张表格中的值，以及计算机在非常靠近 00 处给出的值；然后画出决定极限的界。

证明

  1. q(1)≈0.1623,q(10−1)≈0.16662,q(10−2)≈0.1666662q(1) \approx 0.1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0.16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0.1666662

    在 11、10−110^{-1} 和 10−210^{-2} 处的值似乎趋近 0.1666…0.1666\ldots，也就是 16\frac{1}{6}。

  2. 9+10−16≈9→q(10−8)≈09 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}

    但在 x=10−8x = 10^{-8} 处，一个用通常的双精度浮点数计算的程序得到 00：和 9+10−169 + 10^{-16} 被舍入为 99，分子的减法恰好得到 00。仅凭表格，无法在 16\frac{1}{6} 与 00 之间作出决定。

  3. q(x)=(x2+9)−9x2(x2+9+3)=1x2+9+3q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}

    当 x≠0x \neq 0 时，我们乘以并除以共轭根式 x2+9+3\sqrt{x^2 + 9} + 3；分子变为 x2x^2，可以约去。

  4. ∣q(x)−16∣=x26(x2+9+3)2≤x2216\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}

    到 16\frac{1}{6} 的距离用同一个共轭根式写出，并因为 x2+9≥3\sqrt{x^2 + 9} \geq 3 而受到界的控制，因此 x2+9+3\sqrt{x^2 + 9} + 3 的平方至少是 3636。

  5. 0<∣x∣<216ε→∣q(x)−16∣<ε,lim⁡x→0q(x)=160 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}

    对挑战 ε\varepsilon，以 δ=216ε\delta = \sqrt{216\varepsilon} 回应，极限是 16\frac{1}{6}。计算机给出的 00 是舍入误差：这个界保证 q(10−8)q\left(10^{-8}\right) 与 16\frac{1}{6} 的距离小于 10−1810^{-18}。

极限的定义回答了这三个反对意见：它同时谈论所有附近的点，用数确定“任意接近”的含义，并用不等式而不是近似计算来证明。但这个问题还有另一面，它关乎的不是计算，而是存在。本单元的许多极限是在已知或猜出其值之后证明的；另一些则存在而不知如何计算，其存在依赖于实数的完备性。单侧极限一课中的单调函数定理把极限作为上确界给出，指数、对数和其他初等函数的连续性都依赖于它。极限与连续性一课证明，在一点连续且为正的函数，在其定义域中靠近该点的点处也为正；这种保号性加上完备性，将在下一单元给出介值定理。没有完备性，这些都不成立：函数 x2−2x^2 - 2 若只在有理数上考虑，就会从负值变到正值而从不为零。

极限与连续的意义

在本课程的其余部分

整个课程都建立在这一单元之上。下一单元讲导数，它在第一课中定义作为函数极限的导数，也就是贝克莱例子中的差商，并从极限的运算法则得出求导法则；在初等函数的导数一课中，正弦、指数和对数的导数就是本单元的重要极限；链式法则依赖于连续函数的复合；介值定理用保号性和完备性证明，并为二分法提供依据；而反函数的导数，在关于反函数的导数与隐函数求导的那一课中，需要反函数的连续性。第三单元讲导数的应用，它从魏尔斯特拉斯定理开始，该定理断言在有界闭区间上连续的函数取得其最大值和最小值；罗尔定理和中值定理、极值与最值的求法以及最优化问题都以它为基础。洛必达法则解决本单元只会识别的不定式，而结束本课程的牛顿-拉弗森方法则借助下凸性和上确界证明其收敛性。

在其他课程中

在微积分 II中，积分被定义为矩形面积之和的极限，即阿基米德的问题；本课程不研究的数列与级数，用同一类型的定义来处理，而泰勒多项式用本单元最后一课的大 O⁡\operatorname{O} 来衡量其误差。在微积分 III中，用 ε 与 δ 给出的定义推广到多元函数，以平面上的距离代替绝对值，而极限可能依赖于趋近该点的路径。在力学基础中，瞬时速度和瞬时加速度是增量之比的极限。在金融数学中，连续复利是 (1+rx)x\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x} 当 xx 趋于无穷大时的极限，由关于重要极限的那一课，它等于 ere^{r}。在使用 R 进行数据分析中，各种增长模型由它们在无穷远处的行为来区分，而这正是指数、幂与对数的比较所刻画的。在C++ 程序设计 I中，二分法依靠介值定理来逼近一个根，算法的代价用巴赫曼与朗道的 O⁡\operatorname{O} 记号来度量，而浮点数迫使人们区分精确的极限与计算出的值，正如那张误导人的表格所示。

在科学与技术中

每一个连续变化的量，如位置、温度、浓度、电压，都用连续函数来描述，其瞬时变化率都是极限。工程和实验科学所使用的近似（在平衡点附近把一个现象线性化，在小振动中把 sin⁡x\sin x 换成 xx，相对于大得多的项而忽略一个项）都是像本单元最后一课那样的等价关系，并在同样的条件下成立。渐近线描述一个趋于稳定的过程的饱和值，以及一个不趋于稳定的过程的无界增长。而数值计算在计算机上求解没有闭合公式的问题，它所依据的正是那张误导人的表格的例子所揭示的区别：算法产生近似值，只有用不等式证明的误差界，才能说明它们与精确值有多接近。