Límites y continuidad: introducción

Resumen

Esta clase abre la unidad sobre los límites y la continuidad. Presenta el recorrido de la unidad, que parte de la definición de límite con épsilon y delta y llega, por clases que reutilizan las demostraciones anteriores en lugar de repetirlas, a la continuidad de las funciones elementales y a la comparación de infinitésimos; reconstruye la historia de la noción de límite, desde las paradojas de Zenón y el método de exhausción hasta la definición de Weierstrass, pasando por los infinitesimales de Newton y Leibniz y la crítica de Berkeley; formula el problema que le dio origen, que es dar sentido a un cociente que se vuelve $\frac{0}{0}$ , y examina por qué ni la idea de acercarse ni una tabla de valores bastan para decidir un límite. Termina señalando dónde se emplean los límites y la continuidad en el resto del curso, en otros cursos del sitio y en la ciencia y la técnica.

Objetivos de aprendizaje

Describir el recorrido de la unidad y explicar qué demuestra cada clase y de qué resultados anteriores se sirve.
Explicar por qué la velocidad instantánea, la tangente y el área exigen la noción de límite, y por qué la idea intuitiva de acercarse y las tablas de valores no bastan para definirla ni para calcularla.
Situar en su contexto histórico las etapas de la noción de límite, desde el método de exhausción hasta la definición con épsilon y delta, e identificar el problema o la crítica que impulsó cada una.
Señalar dónde intervienen los límites y la continuidad en el resto del curso, en otros cursos y en aplicaciones científicas y técnicas.

Evaluación de entrada

Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida. Esta autoevaluación no califica: sirve para saber dónde detenerse. Las diez primeras preguntas tocan, en orden, las diez clases de contenido de la unidad, una cada una, y miden una destreza de cálculo o de razonamiento, no un enunciado que se recuerde; las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis, con otros datos. Las seis últimas comprueban lo que esta unidad da por sabido de Álgebra y Geometría I y II: el valor absoluto, el supremo, la composición de funciones, las tablas de signos, la desigualdad entre el seno, el arco y la tangente, y la desigualdad fundamental de la exponencial.

Los contenidos de la unidad

En Álgebra y Geometría I, la clase sobre las funciones racionales usó las asíntotas verticales y las asíntotas en el infinito, la continuidad de esas funciones y el teorema del valor intermedio como hechos admitidos, sin demostración, porque exigían una definición de límite que aún no se tenía; y Álgebra y Geometría II admitió del mismo modo la continuidad de las funciones trigonométricas y de sus inversas. Esta unidad da esa definición y demuestra, uno por uno, los hechos admitidos, salvo el valor intermedio, que se demostrará en la unidad siguiente. Las demostraciones se ordenan para reutilizarse: unas pocas se hacen con épsilon y delta, y las demás citan los resultados anteriores en lugar de repetir el argumento. Las clases siguen este orden:

El límite de una función convierte la idea de acercarse en la definición con épsilon y delta, precisa con los puntos de acumulación dónde tiene sentido, escribe la definición y su negación como enunciados cuantificados, y demuestra que el límite es único, que solo depende de los valores cercanos y que obliga a la función a quedar acotada y a conservar el signo cerca del punto.
El álgebra de límites reduce las reglas de cálculo a tres lemas demostrados con épsilon y delta, el principal de los cuales es el criterio de la cota, y deduce de ellos, con un lema según el cual restringir el dominio no hace perder el límite, los límites de la suma, del producto, del recíproco y del cociente, los de los polinomios, las funciones racionales, las raíces y las potencias de exponente racional, y el teorema del límite de una composición, que justifica el cambio de variable.
El teorema del sándwich demuestra, con el criterio de la cota, que los límites conservan las desigualdades no estrictas, el propio teorema y el límite del producto de una función acotada por otra que tiende a cero; con ellos obtiene los límites del seno y del coseno y el límite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , del que se deducen los demás límites trigonométricos.
Los límites laterales se definen como límites de una restricción, de modo que heredan todos los teoremas anteriores; la clase demuestra que el límite existe si y solo si los dos laterales existen y coinciden, y que una función monótona y acotada tiene límite lateral igual al supremo o al ínfimo de sus valores, el primer teorema que asegura que un límite existe sin conocer su valor.
El límite al infinito define el límite cuando la variable crece sin cota y demuestra, con el lema de inversión, que equivale a un límite lateral en $0$ , de modo que todos los teoremas anteriores valen también en el infinito; con ellos calcula los límites de las potencias y de las funciones racionales.
Los límites infinitos se reducen, con el lema del recíproco, a límites iguales a cero; de ahí y de la comparación salen las reglas de la suma, el producto y el cociente, y la clase muestra que las formas indeterminadas pueden dar cualquier resultado, y demuestra el teorema de las funciones monótonas no acotadas y el de la composición con límites infinitos.
Las asíntotas se definen con los límites laterales, en el infinito e infinitos; la clase demuestra las fórmulas de la pendiente y de la ordenada de la asíntota oblicua, la unicidad de la asíntota no vertical en cada extremo y los hechos admitidos en Álgebra y Geometría sobre las funciones racionales, y propone un método para representar funciones sin derivadas.
La continuidad se define con el desafío y la respuesta de siempre, sin excluir el punto; la clase demuestra que, en un punto de acumulación, equivale a que el límite exista y sea igual al valor, clasifica las discontinuidades en evitables, de salto y esenciales, hereda del álgebra de límites la continuidad de las operaciones, y demuestra que la composición de funciones continuas es continua, de modo que el límite entra en una función continua.
Las funciones elementales resultan continuas por un solo argumento, que una función monótona cuya imagen es un intervalo no puede saltar; con esa continuidad y la desigualdad fundamental de la exponencial, la clase demuestra los límites notables de la exponencial y del logaritmo, obtiene el número $e$ como límite, resuelve la forma $1^\infty$ y compara la exponencial, las potencias y el logaritmo en el infinito.
Los infinitésimos y los infinitos equivalentes se comparan con la $\operatorname{o}$ pequeña, la $\operatorname{O}$ grande, el mismo orden y la equivalencia; la clase demuestra que, en un producto o un cociente, cada factor puede sustituirse por otro equivalente, pero no en una suma, salvo cuando los equivalentes de los sumandos tienen el mismo signo, y reúne los límites de las clases anteriores en una tabla de equivalentes en cero.

La unidad termina con la clase de síntesis y desafíos, que reúne lo logrado en una cadena deductiva, repite en su evaluación de salida las destrezas de la evaluación de entrada y propone diez problemas de mayor dificultad.

El trasfondo histórico

El orden lógico de la unidad tampoco coincide con el histórico. Durante más de un siglo, el cálculo se practicó con éxito sin una definición de límite; la continuidad se definió con rigor antes que el límite en su forma actual, y la definición con épsilon y delta llegó al final del proceso, cuando el cálculo ya había resuelto los problemas para los que nació. Conviene recorrer esa historia, porque las objeciones que tuvo que vencer son las mismas que suele plantear el estudiante.

El infinito de los griegos

Zenón de Elea, que vivió entre los años 490 y 425 antes de nuestra era, aproximadamente, propuso argumentos contra la posibilidad del movimiento que se conocen sobre todo por la Física de Aristóteles. El de la dicotomía sostiene que, para recorrer un camino, primero hay que llegar a su mitad, antes a la mitad de la mitad, y así sin fin, de modo que el movimiento no podría comenzar. La paradoja plantea, sin resolverla, la cuestión de si infinitas magnitudes pueden sumar una magnitud finita, como $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ .

Los matemáticos griegos esquivaron esa cuestión con el método de exhausción, al que Eudoxo de Cnido dio forma rigurosa hacia el año 370 antes de nuestra era: para probar que un área vale cierta cantidad, se inscriben en la figura polígonos cuya diferencia con ella puede hacerse menor que cualquier magnitud dada, y se demuestra por reducción al absurdo que el área no puede ser ni mayor ni menor que esa cantidad. Hacia el año 225 antes de nuestra era, Arquímedes probó así que el área de un segmento de parábola es $\frac{4}{3}$ del área del triángulo inscrito con la misma base y el mismo vértice, sumando los triángulos que se añaden en cada etapa, cuyas áreas forman la progresión $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ . El esquema del argumento, una cantidad que puede hacerse menor que cualquier magnitud dada, es ya el del desafío y la respuesta.

Los infinitesimales de Newton y Leibniz

En el siglo XVII, el problema de las tangentes y el de las áreas recibieron un método general. Isaac Newton escribió en octubre de 1666 un tratado sobre las fluxiones, que no publicó, y en 1671 su Método de las fluxiones y las series infinitas, que solo se publicó en 1736. Gottfried Wilhelm Leibniz usó por primera vez el signo de la integral en un manuscrito del 21 de noviembre de 1675, publicó su cálculo diferencial en 1684 en la revista Acta Eruditorum de Leipzig, con el título Nova methodus pro maximis et minimis, y su cálculo integral en la misma revista en 1686. Ambos calculaban con incrementos que se tratan como distintos de cero para poder dividir por ellos y como nulos para descartarlos al final.

En 1734, George Berkeley publicó El analista, una crítica de los fundamentos del cálculo de Newton. Sostuvo que los incrementos evanescentes no eran ni cantidades finitas, ni infinitamente pequeñas, ni nada, que el cálculo cambiaba de hipótesis a mitad del razonamiento, y preguntó si no podían llamarse fantasmas de cantidades desaparecidas. Los resultados eran correctos; lo que Berkeley mostró es que el razonamiento que los justificaba no lo era. El ejemplo siguiente reproduce el cálculo que criticaba y muestra cómo lo resuelve la definición de límite.

EjemploEl cociente que Berkeley criticaba

Consideremos la pendiente de la tangente a la parábola $y = x^2$ en el punto $(1, 1)$ . La figura dibuja las secantes que unen ese punto con otro de la parábola cada vez más cercano y, después, el cociente como función del incremento, con el hueco que deja en $h = 0$ .

Demostración

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
La secante que une $(1, 1)$ con el punto de abscisa $1 + h$ , con $h \neq 0$ , tiene por pendiente el cociente incremental.
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
Para $h \neq 0$ , el numerador vale $2h + h^2$ , y el factor $h$ se simplifica. Al acortar $h$ , las secantes se inclinan cada vez menos.
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
Aquí está la objeción de Berkeley: si $h = 0$ , el cociente es $\frac{0}{0}$ y no puede simplificarse; si $h \neq 0$ , el resultado no es $2$ . El cálculo de los infinitesimales usaba $h \neq 0$ para dividir y $h = 0$ para descartar el sumando $h$ .
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
La definición de límite deshace la objeción: no examina $h = 0$ ni exige que $q(h)$ valga $2$ , sino que esté tan cerca de $2$ como se quiera. Al desafío $\varepsilon$ se responde con $\delta = \varepsilon$ .
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
Por tanto, el límite es $2$ , la pendiente de la tangente, y ninguna cantidad tiene que ser a la vez nula y no nula. La recta de pendiente $2$ que pasa por $(1, 1)$ es la tangente.

El límite como fundamento

La salida que señaló el ejemplo se fue abriendo paso durante un siglo. Jean le Rond d'Alembert, en el artículo «Diferencial» del cuarto volumen de la Enciclopedia, escrito en 1754, propuso asentar el cálculo sobre la teoría de los límites y definió la derivada como el límite de un cociente de incrementos. En 1817, Bernard Bolzano publicó una demostración puramente analítica del teorema del valor intermedio, con el propósito declarado de liberar el cálculo de la noción de infinitesimal, y empleó en ella una noción de continuidad muy próxima a la actual; su obra fue poco conocida en vida. En 1821, Augustin-Louis Cauchy publicó su Curso de análisis, escrito para los estudiantes de la Escuela Politécnica de París, que puso los límites en la base del cálculo y definió la función continua como aquella en que un incremento infinitamente pequeño de la variable produce un incremento infinitamente pequeño de la función.

Al mismo tiempo cambiaba la noción de función. Para Euler, en 1748, una función era una expresión analítica; Peter Gustav Lejeune Dirichlet aceptó en 1837 una noción mucho más amplia, en la que los valores pueden sucederse de cualquier modo, y a él se debe el ejemplo de la función que vale $0$ en los racionales y $1$ en los irracionales, discontinua en todos los puntos. Con funciones tan generales, la intuición geométrica dejaba de ser una guía segura, y las definiciones tenían que hablar solo de números y desigualdades.

La definición de Weierstrass

Karl Weierstrass, profesor en la Universidad de Berlín desde 1856, abordó por primera vez los fundamentos del análisis en su curso de introducción al análisis de 1859 y 1860. En sus lecciones, conocidas sobre todo por los apuntes de sus estudiantes, la definición del límite y de la continuidad quedó escrita con épsilon y delta, en la forma que usa este curso: sin movimiento, sin infinitesimales, como un enunciado cuantificado sobre números reales. En 1872, el mismo año en que Richard Dedekind y Georg Cantor publicaron sus construcciones de los números reales, que demuestran la completitud, Weierstrass presentó a la Academia de Ciencias de Berlín una función continua que no tiene derivada en ningún punto, prueba de que la intuición de una curva continua no basta para razonar sobre ella.

La notación con que la última clase de la unidad compara funciones es posterior. Paul Bachmann introdujo el símbolo $\operatorname{O}$ en 1894, en el segundo volumen de su Teoría analítica de los números, y Edmund Landau, que lo adoptó, introdujo el símbolo $\operatorname{o}$ en 1909, en su tratado sobre la distribución de los números primos.

El problema que le dio origen

Tres problemas antiguos condujeron al cálculo, y los tres tienen la misma estructura. La velocidad de un móvil en un instante debería ser el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado cuando el tiempo empleado es nulo; la pendiente de la tangente a una curva debería ser la de una secante cuyos dos puntos coinciden; el área de una figura curva debería ser la suma de infinitos rectángulos de anchura nula. En los tres casos, la sustitución directa produce $\frac{0}{0}$ o una suma sin sentido, y la respuesta correcta es aquello a lo que se acercan las aproximaciones. Los dos primeros conducen a la derivada, que es la materia de la unidad siguiente; el tercero, a la integral, que se estudia en Cálculo II.

Ahora bien, «aquello a lo que se acercan» no es todavía una definición, por tres razones. La primera es que acercarse no basta: la clase sobre el límite de una función muestra que los valores de $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ se acercan a $3$ cuando $x$ pasa de $0{,}9$ a $0{,}99$ , aunque el límite sea $2$ . La segunda es que una tabla examina un número finito de puntos: la misma clase muestra que $\sin\frac{\pi}{x}$ vale $0$ en todos los puntos de la forma $\frac{1}{n}$ y, sin embargo, no tiene límite en $0$ . La tercera es que los valores de la tabla pueden estar mal calculados, como muestra el ejemplo siguiente.

EjemploUna tabla engañosa

Consideremos la función $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ , definida para $x \neq 0$ . La figura dibuja su gráfico, con el hueco en $x = 0$ , los valores de una tabla y el valor que da un computador muy cerca de $0$ ; después, la cota que decide el límite.

Demostración

$q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662$
Los valores en $1$ , $10^{-1}$ y $10^{-2}$ parecen acercarse a $0{,}1666\ldots$ , es decir, a $\frac{1}{6}$ .
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
Pero en $x = 10^{-8}$ , un programa que calcula con la coma flotante de doble precisión habitual obtiene $0$ : la suma $9 + 10^{-16}$ se redondea a $9$ , y la resta del numerador da exactamente $0$ . La tabla, sola, no decide entre $\frac{1}{6}$ y $0$ .
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
Para $x \neq 0$ , multiplicamos y dividimos por el conjugado $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ ; el numerador se convierte en $x^2$ , que se simplifica.
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
La distancia a $\frac{1}{6}$ se escribe con el mismo conjugado, y se acota porque $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ , de modo que el cuadrado de $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ es al menos $36$ .
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
Al desafío $\varepsilon$ se responde con $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ , y el límite es $\frac{1}{6}$ . El $0$ del computador es un error de redondeo: la cota asegura que $q\left(10^{-8}\right)$ dista de $\frac{1}{6}$ menos de $10^{-18}$ .

La definición de límite responde a las tres objeciones: habla de todos los puntos cercanos a la vez, fija con números qué significa «tan cerca como se quiera» y se demuestra con desigualdades, no con cálculos aproximados. Pero el problema tiene otra cara, que no es de cálculo sino de existencia. Muchos límites de la unidad se demuestran después de conocer o adivinar su valor; otros, en cambio, existen sin que se sepa calcularlos, y su existencia descansa en la completitud de los reales. El teorema de las funciones monótonas de la clase sobre los límites laterales da el límite como un supremo, y de él depende la continuidad de la exponencial, del logaritmo y de las demás funciones elementales. La clase sobre la continuidad demuestra que una función continua y positiva en un punto lo es también en los puntos de su dominio cercanos a él, y esa conservación del signo, unida a la completitud, dará en la unidad siguiente el teorema del valor intermedio. Sin la completitud nada de esto valdría: la función $x^2 - 2$ , considerada solo en los racionales, pasa de valores negativos a positivos sin anularse nunca.

La relevancia de los límites y la continuidad

En el resto del curso

Todo el curso descansa sobre esta unidad. La unidad siguiente, sobre las derivadas, define en su primera clase la derivada como el límite de una función, el cociente incremental del ejemplo de Berkeley, y obtiene las reglas de derivación del álgebra de límites; las derivadas del seno, de la exponencial y del logaritmo, en la clase sobre las derivadas de las funciones elementales, son los límites notables de esta unidad; la regla de la cadena se apoya en la composición de funciones continuas; el teorema del valor intermedio se demuestra con la conservación del signo y la completitud, y justifica el método de bisección; y la derivada de la inversa, en la clase sobre la derivada de la inversa y la derivación implícita, requiere la continuidad de la inversa. La tercera unidad, sobre las aplicaciones de las derivadas, comienza con el teorema de Weierstrass, según el cual una función continua en un intervalo cerrado alcanza su máximo y su mínimo, y en él se apoyan los teoremas de Rolle y del valor medio, la búsqueda de máximos y mínimos y los problemas de optimización. La regla de L'Hôpital resuelve las formas indeterminadas que esta unidad solo sabe reconocer, y el método de Newton y Raphson, que cierra el curso, demuestra su convergencia con la convexidad y el supremo.

En otros cursos

En Cálculo II, la integral se define como el límite de sumas de áreas de rectángulos, el problema de Arquímedes; las sucesiones y las series, que este curso no estudia, se tratan con definiciones del mismo tipo, y el polinomio de Taylor mide su error con la $\operatorname{O}$ grande de la última clase de la unidad. En Cálculo III, la definición con épsilon y delta pasa a las funciones de varias variables, con la distancia del plano en lugar del valor absoluto, y el límite puede depender del camino por el que se llega al punto. En Fundamentos de Mecánica, la velocidad y la aceleración instantáneas son límites de cocientes de incrementos. En Matemáticas Financieras, la capitalización continua es el límite de $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ cuando $x$ tiende a infinito, que vale $e^{r}$ por la clase sobre los límites notables. En Análisis de Datos con R, los modelos de crecimiento se distinguen por su comportamiento en el infinito, que es el que compara la exponencial, las potencias y el logaritmo. En Programación en C++ I, la bisección aproxima una raíz confiando en el teorema del valor intermedio, el costo de un algoritmo se mide con la notación $\operatorname{O}$ de Bachmann y Landau, y los números de coma flotante obligan a distinguir el límite exacto del valor calculado, como en la tabla engañosa.

En la ciencia y la técnica

Toda magnitud que cambia de manera continua, una posición, una temperatura, una concentración, una tensión eléctrica, se describe con funciones continuas, y sus tasas de cambio instantáneas son límites. Las aproximaciones con que trabajan la ingeniería y las ciencias experimentales (la linealización de un fenómeno cerca de un punto de equilibrio, el reemplazo de $\sin x$ por $x$ en las oscilaciones pequeñas, el despreciar un término frente a otro mucho mayor) son equivalencias como las de la última clase de la unidad, y valen con las mismas condiciones. Las asíntotas describen el valor de saturación de un proceso que se estabiliza y el crecimiento sin cota de uno que no lo hace. Y el cálculo numérico, que resuelve en un computador lo que no tiene fórmula cerrada, se funda en la distinción del ejemplo de la tabla engañosa: un algoritmo produce aproximaciones, y solo una cota del error, demostrada con desigualdades, dice cuánto se acercan al valor exacto.