La derivada como el límite de una función

Resumen

Esta clase define la derivada de una función en un punto como un límite: el de las pendientes de las rectas secantes, que es la pendiente de la recta tangente, y el de las velocidades medias, que es la velocidad instantánea. Precisa en qué puntos tiene sentido la definición, introduce las derivadas laterales, las rectas tangente y normal, la función derivada y la notación de Leibniz, y demuestra que la derivada admite tres formulaciones equivalentes: el límite del cociente incremental, la aproximación por una recta con un error despreciable y la factorización de Carathéodory. De esta última se sigue que toda función derivable es continua; el valor absoluto y la raíz cúbica muestran que el recíproco es falso.

Objetivos de aprendizaje

Definir la derivada de una función en un punto como el límite del cociente incremental, e interpretarla como la pendiente de la recta tangente y como una velocidad instantánea.
Calcular derivadas laterales y decidir con ellas si una función es derivable en un punto.
Demostrar la equivalencia entre el cociente incremental, la aproximación lineal y la caracterización de Carathéodory.
Demostrar que toda función derivable en un punto es continua en él, y reconocer funciones continuas que no son derivables.

La tangente y la velocidad

En la clase sobre las parábolas, una recta es tangente a la curva en un punto cuando la toca solo en él sin cruzarla. Esa idea basta para las cónicas, pero no para cualquier curva. En el origen, la curva $y = x^3$ queda por debajo del eje horizontal a la izquierda y por encima a la derecha: toda recta que pase por el origen la cruza, y las rectas $y = mx$ con $m < 0$ la tocan solo en él, porque $x^3 = mx$ exige $x = 0$ o $x^2 = m$ . Ninguna recta cumple la condición, y sin embargo el eje horizontal es, a la vista, la recta que mejor acompaña a la curva cerca del origen. Conviene, por tanto, otra definición, que no dependa de la forma global de la curva sino solo de lo que ocurre cerca del punto.

La idea es antigua: la tangente es la posición límite de las rectas secantes. Consideremos una función $f$ y un punto $(a, f(a))$ de su gráfico. Para $h \neq 0$ , la recta secante que pasa por $(a, f(a))$ y por $(a + h, f(a + h))$ tiene pendiente

\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Cuando $h$ se acerca a $0$ , el segundo punto se acerca al primero, y si las pendientes tienen un límite, la recta que pasa por $(a, f(a))$ con esa pendiente es la candidata a tangente.

EjemploLas secantes de una parábola

Sea $f(x) = x^2$ y $a = 1$ . Calculamos las pendientes de algunas secantes por el punto $(1, 1)$ y después su límite. La figura muestra cada secante y, al final, la tangente.

Demostración

$\frac{f(2) - f(1)}{1} = \frac{4 - 1}{1} = \resaltar{3}$
Con $h = 1$ , la secante pasa por $(1, 1)$ y $(2, 4)$ .
$\frac{f\left(\frac{3}{2}\right) - f(1)}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{4} - 1}{\frac{1}{2}} = \resaltar{\frac{5}{2}}$
Con $h = \frac{1}{2}$ , el segundo punto es $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$ y la pendiente baja.
$\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = \resaltar{2 + h}$
En general, para todo $h \neq 0$ , positivo o negativo, la pendiente se simplifica; con $h = \frac{1}{4}$ vale $\frac{9}{4}$ .
$\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2, \qquad y = 1 + 2(x - 1) = \resaltar{2x - 1}$
Cuando $h$ tiende a $0$ , la pendiente tiende a $2$ . La recta que pasa por $(1, 1)$ con pendiente $2$ es la tangente; es la misma que dio el lema de la tangente de la clase sobre las parábolas, con $x^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} \, y$ .

El mismo límite aparece al estudiar un movimiento. Si $s(t)$ es la posición, en el instante $t$ , de un punto que se mueve sobre una recta, el cociente $\frac{s(t_0 + h) - s(t_0)}{h}$ es su velocidad media entre los instantes $t_0$ y $t_0 + h$ : el desplazamiento dividido por el tiempo empleado. La velocidad en el instante $t_0$ , la que marcaría un velocímetro, es el límite de las velocidades medias cuando $h$ tiende a $0$ . Por ejemplo, si $s(t) = t^2 - 4t$ , la velocidad media entre $1$ y $1 + h$ es $\frac{(1 + h)^2 - 4(1 + h) + 3}{h} = h - 2$ , que tiende a $-2$ : en el instante $1$ , el punto se mueve hacia la izquierda a razón de dos unidades de longitud por unidad de tiempo. Las dos preguntas, la de la tangente y la de la velocidad, conducen al mismo límite, y es ese límite el que se define a continuación.

La derivada en un punto

Como en la clase sobre el límite de una función, hay que precisar primero dónde tiene sentido el límite. El cociente necesita el valor $f(a)$ , de modo que $a$ debe pertenecer al dominio; y el límite cuando $x$ tiende a $a$ exige que $a$ sea punto de acumulación del dominio.

DefiniciónDerivada de una función en un punto

Sean $f$ una función real definida en un conjunto $A$ de números reales, y $a$ un elemento de $A$ que es punto de acumulación de $A$ . El cociente incremental de $f$ en $a$ es la función $\frac{f(x) - f(a)}{x - a}$ , definida para los $x$ de $A$ distintos de $a$ . Se dice que $f$ es derivable en $a$ si el cociente incremental tiene un límite real $L$ cuando $x$ tiende a $a$ ; ese número es la derivada de $f$ en $a$ , y se escribe $f'(a)$ :

f'(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

El cociente está definido en $A \setminus \{a\}$ , y $a$ es punto de acumulación de ese conjunto, porque la definición de punto de acumulación solo mira los elementos distintos de $a$ . Por la unicidad del límite, la derivada, si existe, es única. En un punto aislado del dominio no se define la derivada, aunque toda función sea continua allí. Y si el cociente tiende a $\infty$ o a $-\infty$ , la función no es derivable en $a$ : la derivada es un número real. La definición se escribe a menudo con el incremento $h = x - a$ en lugar del punto $x$ , como en el ejemplo.

ProposiciónForma incremental de la derivada

Con las hipótesis de la definición, y considerando $f(a + h)$ solo donde está definida:

f'(a) = L \Leftrightarrow \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L

Es el cambio de variable $x = a + h$ , que la proposición de traslación y reflexión de la clase sobre los límites laterales hizo para un lado, ahora para los dos a la vez.

Demostración

$Q(a + h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}, \qquad h \neq 0 \rightarrow a + h \neq a$
Sea $Q(x)$ el cociente incremental. La función $g(h) = a + h$ , para los $h \neq 0$ con $a + h$ en $A$ , tiende a $a$ , no toma el valor $a$ , y sus valores están en el dominio de $Q$ . Por el teorema de la composición de la clase sobre el álgebra de límites, si $Q$ tiende a $L$ en $a$ , también $Q(a + h)$ tiende a $L$ en $0$ .
$Q(x) = Q\left(a + (x - a)\right), \qquad x \neq a \rightarrow \resaltar{x - a \neq 0}$
Recíprocamente, la función $x - a$ , para los $x$ de $A$ distintos de $a$ , tiende a $0$ y no toma el valor $0$ ; compuesta con $h \mapsto Q(a + h)$ , da el cociente $Q(x)$ , que tiende al mismo límite.

Las primeras derivadas se calculan directamente. Si $f(x) = mx + b$ , el cociente incremental vale $\frac{m(a + h) + b - (ma + b)}{h} = m$ para todo $h \neq 0$ , y su límite es $m$ : la derivada de una función afín es su pendiente en todo punto, y su recta tangente es la propia recta. En particular, la derivada de una constante es $0$ y la de la identidad $f(x) = x$ es $1$ . Para $f(x) = x^2$ , el cálculo del ejemplo, con $a$ en lugar de $1$ , da $\frac{(a + h)^2 - a^2}{h} = 2a + h$ , y la derivada es $2a$ .

Derivadas laterales

En los extremos de un intervalo, o en un punto donde la función cambia de fórmula, conviene mirar el cociente incremental a cada lado por separado.

DefiniciónDerivadas laterales

Sea $a$ un elemento de $A$ que es punto de acumulación de $A \cap \ioo{a}{\infty}$ . Se dice que $f$ es derivable por la derecha en $a$ si el cociente incremental tiene límite real por la derecha en $a$ ; ese límite es la derivada por la derecha, $f'_+(a)$ :

f'_+(a) = L \leftrightarrow (\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(a < x < a + \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)

Del mismo modo, si $a$ es punto de acumulación de $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , la derivada por la izquierda, $f'_-(a)$ , es el límite por la izquierda del cociente incremental, con la condición $a - \delta < x < a$ .

ProposiciónDerivada y derivadas laterales

Sea $a$ un elemento de $A$ .

Si $a$ es punto de acumulación de $A \cap \ioo{a}{\infty}$ y de $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ , entonces $f$ es derivable en $a$ si y solo si las dos derivadas laterales existen y son iguales; en ese caso, $f'(a) = f'_+(a) = f'_-(a)$ .
Si $a$ es punto de acumulación de los puntos de $A$ de un solo lado, entonces $f$ es derivable en $a$ si y solo si es derivable por ese lado, y la derivada es la derivada lateral.

No hace falta ningún argumento nuevo: las derivadas laterales son los límites laterales del cociente incremental, y la clase sobre los límites laterales ya los relacionó con el límite.

Demostración

$\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = L \Leftrightarrow f'_+(a) = L = \resaltar{f'_-(a)}$
En el primer caso, el teorema del límite y los límites laterales, aplicado al cociente incremental, da la equivalencia.
$\left(\forall x \in A\right)\left(0 < \abs{x - a} < r \rightarrow x > a\right) \rightarrow f'(a) = \resaltar{f'_+(a)}$
En el segundo, la misma clase observó que, cuando $a$ es punto de acumulación de los puntos del dominio de un solo lado, el límite y el límite lateral de ese lado coinciden: existe un $r > 0$ tal que todos los $x$ de $A$ con $0 < \abs{x - a} < r$ están de ese lado.

Por ejemplo, el valor absoluto tiene en $0$ el cociente incremental $\frac{\abs{x}}{x}$ , que vale $1$ si $x > 0$ y $-1$ si $x < 0$ : sus derivadas laterales son $f'_+(0) = 1$ y $f'_-(0) = -1$ , distintas, y $\abs{x}$ no es derivable en $0$ . En cambio, si una función está definida en $\icc{0}{1}$ , su derivada en $0$ es su derivada por la derecha, y en $1$ , su derivada por la izquierda: la definición ya trata los extremos del dominio como lados únicos. Por ejemplo, $f(x) = x$ restringida a $\icc{0}{1}$ es derivable en $0$ , con $f'(0) = 1$ .

Rectas tangente y normal

Con la derivada, la tangente deja de ser una figura que se reconoce a la vista y pasa a ser una recta que se calcula.

DefiniciónRecta tangente y recta normal

Sea $f$ derivable en $a$ . La recta tangente al gráfico de $f$ en el punto $(a, f(a))$ es la recta que pasa por él con pendiente $f'(a)$ :

y = f(a) + f'(a)(x - a)

La recta normal en el mismo punto es la perpendicular a la tangente que pasa por él: si $f'(a) \neq 0$ , es la recta $y = f(a) - \frac{1}{f'(a)}(x - a)$ , y si $f'(a) = 0$ , es la recta vertical $x = a$ .

La pendiente de la normal sale del teorema de las rectas perpendiculares de la clase sobre la ecuación de la recta: dos rectas no verticales son perpendiculares si y solo si el producto de sus pendientes es $-1$ . Volviendo a la curva $y = x^3$ , su cociente incremental en $0$ es $x^2$ , que tiende a $0$ : la tangente en el origen es el eje horizontal, aunque cruce la curva. Cuando $f$ es continua en $a$ y el cociente incremental tiende a $\infty$ o a $-\infty$ , las secantes se acercan a la vertical; se dice entonces que el gráfico tiene en $(a, f(a))$ una tangente vertical, la recta $x = a$ , aunque $f$ no sea derivable en $a$ .

Del mismo modo, si $s(t)$ es la posición de un punto que se mueve sobre una recta, su velocidad en el instante $t_0$ es $s'(t_0)$ , si existe. Su signo indica el sentido del movimiento, y su valor absoluto, la rapidez. La clase sobre las razones de cambio desarrollará esta lectura.

La función derivada y la notación de Leibniz

Cada punto en que $f$ es derivable aporta un número, su derivada en él. Con todos ellos se forma una nueva función.

DefiniciónFunción derivada

Sea $f$ una función definida en $A$ . La función derivada de $f$ es la función $f'$ que asigna a cada punto $x$ de $A$ en que $f$ es derivable el número $f'(x)$ ; su dominio es el conjunto de esos puntos. Si $f$ es derivable en todos los puntos de un conjunto $S$ contenido en $A$ , se dice que es derivable en $S$ ; y si lo es en todo su dominio, simplemente que es derivable.

Por ejemplo, la derivada de $x^2$ es la función $2x$ , definida en todo $\mathbb{R}$ ; la del valor absoluto vale $1$ en $\ioo{0}{\infty}$ y $-1$ en $\ioo{-\infty}{0}$ , y su dominio no contiene el $0$ . La notación $f'$ , con la prima, se debe a Lagrange. La otra notación habitual se debe a Leibniz: si $y = f(x)$ , la derivada se escribe $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ , o $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ , y la operación de derivar respecto de $x$ se escribe $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ delante de la expresión que se deriva:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^2\right) = 2x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(mx + b\right) = m

La notación recuerda de dónde viene la derivada. Si $\Delta x$ es el incremento de la variable y $\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)$ el incremento correspondiente de la función, el cociente incremental es $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , y la derivada es su límite:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}

Conviene insistir en que, por ahora, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ es un solo signo y no un cociente: $\mathrm{d}y$ y $\mathrm{d}x$ no tienen todavía sentido por separado; lo tendrán en la clase sobre las derivadas sucesivas y la diferencial. La notación hace explícita la variable respecto de la cual se deriva: si la posición depende del tiempo, la velocidad se escribe $s'(t)$ o $\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ .

Tres caracterizaciones de la derivada

La definición dice que el cociente incremental tiende a $f'(a)$ . Hay otras dos maneras de decir lo mismo, cada una útil para un fin distinto: la segunda compara la función con su recta tangente; la tercera evita dividir.

TeoremaCaracterizaciones de la derivada

Sean $f$ una función definida en $A$ , $a$ un elemento de $A$ que es punto de acumulación de $A$ , y $L$ un número real. Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes:

Cociente incremental. $f$ es derivable en $a$ y $f'(a) = L$ .
Aproximación lineal. $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ cuando $h$ tiende a $0$ ; es decir, el resto $R(h) = f(a + h) - f(a) - Lh$ cumple $\lim_{h \to 0} \frac{R(h)}{h} = 0$ .
Carathéodory. Existe una función $\varphi \colon A \to \mathbb{R}$ , continua en $a$ , con $\varphi(a) = L$ , tal que $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ para todo $x$ de $A$ .

La $\operatorname{o}$ pequeña es la de la clase sobre infinitésimos e infinitos equivalentes, con $f(a + h)$ considerada solo donde está definida. La función $\varphi$ es la pendiente de la secante, completada en $a$ con la derivada. La figura muestra, con $f(x) = \frac{x^2 + 1}{2}$ y $a = 1$ , el resto entre la curva y la tangente, una secante y, al final, el gráfico de $\varphi$ , que en este caso es la recta $\varphi(x) = \frac{x + 1}{2}$ .

Demostración

$\frac{R(h)}{h} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h} - L \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \to L}$
Primera y segunda: el cociente del resto por $h$ es el cociente incremental menos $L$ . Por el lema del límite como distancia que tiende a cero, de la clase sobre el álgebra de límites, tiende a $0$ si y solo si el cociente incremental tiende a $L$ , y por la forma incremental, eso equivale a $f'(a) = L$ .
$\varphi(x) = \begin{cases} \frac{f(x) - f(a)}{x - a} & x \neq a \\ L & x = a \end{cases}, \qquad \lim_{x \to a} \varphi(x) = L = \resaltar{\varphi(a)}$
De la primera a la tercera: se define $\varphi$ como el cociente incremental fuera de $a$ y como $L$ en $a$ . La igualdad se cumple en todo $x \neq a$ por la definición, y en $x = a$ porque sus dos miembros valen $0$ . Como $a$ es punto de acumulación de $A$ y el límite de $\varphi$ en $a$ es $L = \varphi(a)$ , la proposición de continuidad y límite de la clase sobre límite y continuidad da la continuidad de $\varphi$ en $a$ .
$x \neq a \rightarrow \frac{f(x) - f(a)}{x - a} = \varphi(x) \to \varphi(a) = \resaltar{L}$
De la tercera a la primera: si $x \neq a$ , se divide por $x - a$ , y el cociente incremental es la restricción de $\varphi$ a $A \setminus \{a\}$ . Como $\varphi$ es continua en $a$ , por la misma proposición tiende a $\varphi(a) = L$ , y por el lema de la restricción, de la clase sobre el álgebra de límites, también el cociente.

La función $\varphi$ de la tercera caracterización, cuando existe, es única: fuera de $a$ es el cociente incremental, y en $a$ su valor es el límite de ese cociente. La segunda caracterización explica en qué sentido la tangente es la recta que mejor acompaña a la curva. Si se reemplaza $f(a + h)$ por $f(a) + mh$ , con una pendiente $m$ distinta de $f'(a)$ , el error es $(f'(a) - m)h + \operatorname{o}(h)$ , cuyo cociente por $h$ tiende a $f'(a) - m \neq 0$ : es del mismo orden que $h$ . Solo con la pendiente $f'(a)$ el error es despreciable frente a $h$ . La tercera caracterización tiene una ventaja técnica: es una igualdad entre productos, sin divisiones. Las clases sobre las reglas de derivación y sobre la regla de la cadena la usarán para no dividir por cantidades que pueden anularse. La primera consecuencia es inmediata.

TeoremaDerivable implica continua

Si $f$ es derivable en $a$ , entonces $f$ es continua en $a$ . La factorización de Carathéodory escribe $f$ con operaciones entre funciones continuas en $a$ .

Demostración

$f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$
Por el teorema de las caracterizaciones, existe $\varphi$ , continua en $a$ , tal que $f(x) = f(a) + \varphi(x)(x - a)$ para todo $x$ de $A$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) + \varphi(a) \cdot 0 = \resaltar{f(a)}$
La constante $f(a)$ y el polinomio $x - a$ son continuos en $a$ , y $\varphi$ también. Por el teorema de las operaciones con funciones continuas, de la clase sobre límite y continuidad, la suma de la constante y el producto es continua en $a$ .

El recíproco es falso. La continuidad pide que $f(x) - f(a)$ tienda a $0$ ; la derivabilidad pide más: que su cociente por $x - a$ tenga límite, es decir, que tienda a $0$ al menos tan deprisa como $x - a$ y sin oscilar entre pendientes distintas.

ProposiciónContinuidad sin derivada

El valor absoluto y la raíz cúbica son continuos en $0$ y no son derivables en $0$ : el primero tiene derivadas laterales distintas, y el cociente incremental del segundo tiende a $\infty$ , de modo que su gráfico tiene en el origen una tangente vertical. Los dos son continuos por el corolario de las funciones continuas conocidas, de la clase sobre límite y continuidad. La figura muestra, en el valor absoluto, las dos pendientes laterales y, en la raíz cúbica, secantes cada vez más empinadas.

Demostración

$f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\abs{x}}{x} = 1 \neq -1 = \lim_{x \to 0^-} \frac{\abs{x}}{x} = \resaltar{f'_-(0)}$
El cociente incremental del valor absoluto en $0$ vale $1$ a la derecha y $-1$ a la izquierda. Las derivadas laterales son distintas y, por la proposición de la derivada y las derivadas laterales, $\abs{x}$ no es derivable en $0$ .
$\frac{\sqrt[3]{x} - 0}{x - 0} = \frac{1}{\left(\sqrt[3]{x}\right)^2} \to \resaltar{\infty}$
El cociente incremental de la raíz cúbica en $0$ es el recíproco de $\left(\sqrt[3]{x}\right)^2$ , que es positivo si $x \neq 0$ y tiende a $0$ por la continuidad de la raíz. Por el lema del recíproco, de la clase sobre los límites infinitos, el cociente tiende a $\infty$ , y no tiene límite real.

Las dos funciones fallan en un solo punto, pero hay funciones continuas en toda la recta que no son derivables en ningún punto; Weierstrass presentó en 1872 el ejemplo más célebre, cuya construcción excede este curso.

Problemas resueltos

Los problemas avanzan en dificultad: el primero calcula una derivada que deja de existir en el borde del dominio; el segundo usa la tangente para descubrir una propiedad de la hipérbola; el tercero muestra que las derivadas laterales pueden no existir; el cuarto, que una función puede ser derivable en un solo punto; y el último combina la factorización de Carathéodory con las derivadas laterales.

Problema resuelto 1La raíz cuadrada en el borde de su dominio

Estudiar la derivabilidad de $f(x) = \sqrt{x}$ , definida en $\ico{0}{\infty}$ , y hallar la recta tangente en el punto de abscisa $4$ .

Solución

$\frac{\sqrt{a + h} - \sqrt{a}}{h} = \frac{(a + h) - a}{\left(\sqrt{a + h} + \sqrt{a}\right) h} = \frac{1}{\sqrt{a + h} + \sqrt{a}}$
Si $a > 0$ , el cociente incremental es una forma $\frac{0}{0}$ ; se multiplica y divide por la expresión conjugada.
$f'(a) = \resaltar{\frac{1}{2\sqrt{a}}}, \qquad y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1$
Por la continuidad de la raíz, el denominador tiende a $2\sqrt{a} \neq 0$ , y por el teorema del límite del recíproco, de la clase sobre el álgebra de límites, el cociente tiende a $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ . En $a = 4$ , la derivada es $\frac{1}{4}$ y la tangente pasa por $(4, 2)$ .
$\lim_{h \to 0^+} \frac{\sqrt{h} - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{h}} = \resaltar{\infty}$
En $a = 0$ solo hay puntos del dominio a la derecha, y por la proposición de la derivada y las derivadas laterales, la derivada es la derivada por la derecha. El cociente es $\frac{1}{\sqrt{h}}$ , y como $\sqrt{h}$ es positivo y tiende a $0$ , el lema del recíproco da $\infty$ .
$f \colon \ico{0}{\infty} \to \mathbb{R}, \qquad f' \colon \resaltar{\ioo{0}{\infty}} \to \mathbb{R}$
Por tanto, $\sqrt{x}$ es derivable en $\ioo{0}{\infty}$ y no lo es en $0$ , donde es continua y su gráfico tiene la tangente vertical $x = 0$ . La función derivada tiene un dominio menor que el de la función.

Problema resuelto 2La tangente a la hipérbola

Demostrar que la recta tangente a $y = \frac{1}{x}$ en un punto $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ , con $a > 0$ , forma con los ejes un triángulo de área $2$ , cualquiera que sea $a$ , y que el punto de tangencia es el punto medio del segmento que los ejes cortan en ella.

Solución

$\frac{\frac{1}{a + h} - \frac{1}{a}}{h} = \frac{-h}{a(a + h) \, h} = -\frac{1}{a(a + h)} \to \resaltar{-\frac{1}{a^2}}$
El cociente incremental se simplifica al restar las fracciones; por el teorema del límite del recíproco, su límite es $-\frac{1}{a^2}$ .
$y = \frac{1}{a} - \frac{1}{a^2}(x - a) = \resaltar{\frac{2}{a} - \frac{x}{a^2}}$
La tangente pasa por $\left(a, \frac{1}{a}\right)$ con esa pendiente.
$\dato{c}{(2a, 0), \quad \left(0, \frac{2}{a}\right)}, \qquad \left(\frac{2a + 0}{2}, \frac{0 + \frac{2}{a}}{2}\right) = \resaltar{\left(a, \frac{1}{a}\right)}$
Con $y = 0$ se obtiene el corte con el eje horizontal, y con $x = 0$ , el corte con el vertical. El punto medio entre ambos es el punto de tangencia.
$\frac{1}{2} \cdot 2a \cdot \frac{2}{a} = \resaltar{2}$
El triángulo tiene catetos $2a$ y $\frac{2}{a}$ sobre los ejes. Su área no depende de $a$ : la figura muestra dos de esos triángulos, de formas distintas y la misma área.

Problema resuelto 3Continua y sin derivadas laterales

Sean $f(x) = x \sin \frac{1}{x}$ y $g(x) = x^2 \sin \frac{1}{x}$ para $x \neq 0$ , y $f(0) = g(0) = 0$ . Demostrar que $f$ es continua en $0$ y no tiene en $0$ ni derivada ni derivadas laterales, y que $g$ es derivable en $0$ , con $g'(0) = 0$ .

Solución

$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \sin \frac{1}{x}}{x} = \resaltar{\sin \frac{1}{x}}$
Por el problema resuelto 3 de la clase sobre límite y continuidad, $f$ es continua en $0$ . Su cociente incremental en $0$ es $\sin \frac{1}{x}$ .
$\sin \frac{1}{x_n} = 1, \quad \sin \frac{1}{y_n} = -1, \qquad x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi}, \quad y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi}$
El problema propuesto 3 de la clase sobre el límite demostró que $\sin \frac{1}{x}$ no tiene límite en $0$ con dos familias de puntos positivos, en que vale $1$ y $-1$ . El mismo argumento niega el límite por la derecha; con los puntos opuestos, en que vale $-1$ y $1$ , se niega el de la izquierda.
$\frac{g(x) - g(0)}{x - 0} = x \sin \frac{1}{x} \to 0, \qquad g'(0) = \resaltar{0}$
En cambio, el cociente incremental de $g$ es $x \sin \frac{1}{x}$ , producto de una función acotada por otra que tiende a $0$ ; por el teorema de la clase sobre el teorema del sándwich, tiende a $0$ .
$\abs{g(x)} \leq x^2 = \resaltar{\operatorname{o}(x)}$
Las dos funciones oscilan infinitas veces cerca de $0$ . La oscilación de $f$ está acotada por $\abs{x}$ , que es del mismo orden que el denominador $x - 0$ , y el cociente sigue oscilando; la de $g$ está acotada por $x^2$ , que es despreciable frente a $x$ , y el cociente se apaga.

Problema resuelto 4Derivable en un solo punto

Sea $f$ la función que vale $x^2$ si $x$ es racional y $0$ si $x$ es irracional. Demostrar que $f$ es derivable en $0$ , con $f'(0) = 0$ , y que no es derivable en ningún otro punto.

Solución

$x \in \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = x^2, \qquad x \notin \mathbb{Q} \rightarrow x \, g(x) = 0$
Sea $g$ la función del problema resuelto 5 de la clase sobre límite y continuidad, que vale $x$ en los racionales y $0$ en los irracionales. Entonces $f(x) = x \, g(x)$ para todo $x$ , en los dos casos.
$\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x \, g(x)}{x} = g(x) \to g(0) = 0, \qquad f'(0) = \resaltar{0}$
En $0$ , el cociente incremental es $g(x)$ , que tiende a $g(0) = 0$ porque ese problema demostró que $g$ es continua en $0$ .
$\lim_{x \to a} f(x) = f(a) \rightarrow \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{x} = \frac{f(a)}{a} = \resaltar{g(a)}$
Sea $a \neq 0$ . Si $f$ fuera continua en $a$ , también lo sería $g(x) = \frac{f(x)}{x}$ , por la regla del cociente de las operaciones con funciones continuas, con denominador no nulo en $a$ ; pero el mismo problema demostró que $g$ es discontinua en $a$ . Por tanto, $f$ es discontinua en $a$ , y por el teorema de que derivable implica continua, no es derivable en $a$ .

Problema resuelto 5El valor absoluto de una función derivable

Sea $f$ una función definida en un intervalo abierto que contiene a $a$ , derivable en $a$ y con $f(a) = 0$ . Demostrar que $F = \abs{f}$ tiene en $a$ las derivadas laterales $\abs{f'(a)}$ y $-\abs{f'(a)}$ , de modo que es derivable en $a$ si y solo si $f'(a) = 0$ . Aplicarlo a $\abs{\sin x}$ y a $\abs{x^3}$ en $0$ .

Solución

$\frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \frac{\abs{f(x)} - \abs{f(a)}}{x - a} = \frac{\abs{\varphi(x)}\abs{x - a}}{x - a} = \begin{cases} \abs{\varphi(x)} & x > a \\ -\abs{\varphi(x)} & x < a \end{cases}$
Por la caracterización de Carathéodory, $f(x) = \varphi(x)(x - a)$ , con $\varphi$ continua en $a$ y $\varphi(a) = f'(a)$ . Al tomar valores absolutos, el factor $\abs{x - a}$ es $x - a$ a la derecha y $a - x$ a la izquierda.
$F'_+(a) = \abs{f'(a)}, \qquad F'_-(a) = -\abs{f'(a)}, \qquad \abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)} \Leftrightarrow \resaltar{f'(a) = 0}$
La función $\abs{\varphi}$ es continua en $a$ , por la composición de funciones continuas, y tiende a $\abs{f'(a)}$ . Por la proposición de la derivada y las derivadas laterales, $F$ es derivable en $a$ si y solo si las dos derivadas laterales coinciden, es decir, si $\abs{f'(a)} = -\abs{f'(a)}$ .
$\frac{\sin x}{x} \to 1 \neq 0, \qquad \frac{x^3}{x} = x^2 \to \resaltar{0}$
El seno cumple $\sin 0 = 0$ , y su cociente incremental en $0$ es $\frac{\sin x}{x}$ , que tiende a $1$ por el límite fundamental de la trigonometría: $\abs{\sin x}$ tiene en $0$ derivadas laterales $1$ y $-1$ , y no es derivable. El cubo tiene en $0$ el cociente $x^2$ , que tiende a $0$ : $\abs{x^3}$ es derivable en $0$ , con derivada $0$ .

Problemas propuestos

Los problemas avanzan en dificultad: el primero lee una derivada en la geometría del círculo y de la esfera; el segundo busca rectas normales que pasan por un punto dado; el tercero muestra que una derivada lateral puede existir donde la función salta; el cuarto compara la tangente de la derivada con la de la circunferencia; y el último estudia un cociente que se parece a la derivada sin serlo. Cada uno tiene una pista, que conviene abrir solo después de haberlo intentado.

Problema propuesto 1El área del círculo y el volumen de la esfera

Sean $A(r) = \pi r^2$ el área del círculo de radio $r$ y $V(r) = \frac{4}{3}\pi r^3$ el volumen de la esfera de radio $r$ . Calcular, con la definición, $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r}$ y $\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$ , y reconocer cada resultado.

Pista

Desarrolla $(r + h)^2$ y $(r + h)^3$ y simplifica el cociente incremental antes de tomar el límite. El incremento del área es el área de un anillo de ancho $h$ .

Respuesta

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r, \qquad \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r} = 4\pi r^2

Son el perímetro de la circunferencia y el área de la superficie esférica.

Problema propuesto 2Normales que pasan por un punto

Hallar todos los puntos de la parábola $y = x^2$ cuya recta normal pasa por el punto $(0, 1)$ , y escribir esas normales.

Pista

La normal en $(a, a^2)$ tiene pendiente $-\frac{1}{2a}$ si $a \neq 0$ ; impón que pase por $(0, 1)$ . No olvides el caso $a = 0$ , en que la derivada se anula y la normal es vertical.

Respuesta

Tres puntos: $(0, 0)$ , con normal $x = 0$ , y $\left(\pm\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}\right)$ , con normales $y = 1 \mp \frac{x}{\sqrt{2}}$ .

Problema propuesto 3Las derivadas laterales de la parte entera

Demostrar que la parte entera, $E(x) = \lfloor x \rfloor$ , es derivable en todo real no entero, con derivada $0$ , y que en cada entero $n$ tiene derivada por la derecha, $0$ , pero no derivada por la izquierda. ¿Contradice esto el teorema de que derivable implica continua?

Pista

En un entero $n$ , a la derecha la función vale $n$ , y a la izquierda, $n - 1$ : el cociente incremental es $0$ a la derecha y $\frac{-1}{x - n}$ a la izquierda. Para la última pregunta, compara la hipótesis del teorema con lo que ocurre en $n$ .

Respuesta

E'(x) = 0 \quad (x \notin \mathbb{Z}), \qquad E'_+(n) = 0, \qquad \lim_{x \to n^-} \frac{E(x) - E(n)}{x - n} = \infty

No hay contradicción: la función no es derivable en $n$ ; la derivada por la derecha solo da la continuidad por la derecha (el teorema, aplicado a la restricción de $E$ a $\ico{n}{\infty}$ ), que se cumple.

Problema propuesto 4La tangente a la circunferencia

Sea $f(x) = \sqrt{1 - x^2}$ , la semicircunferencia superior de centro $(0, 0)$ y radio $1$ . Calcular $f'(a)$ para $-1 < a < 1$ , demostrar que la tangente es perpendicular al radio que une el origen con $(a, f(a))$ , como en la clase sobre la circunferencia, y estudiar qué ocurre en $a = \pm 1$ .

Pista

Multiplica y divide el cociente incremental por $\sqrt{1 - (a + h)^2} + \sqrt{1 - a^2}$ . Si $a \neq 0$ , el radio tiene pendiente $\frac{f(a)}{a}$ ; si $a = 0$ , es vertical. En $a = 1$ solo hay puntos del dominio a la izquierda.

Respuesta

f'(a) = -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}}, \qquad -\frac{a}{\sqrt{1 - a^2}} \cdot \frac{\sqrt{1 - a^2}}{a} = -1 \quad (a \neq 0)

En $a = 0$ , la tangente es horizontal y el radio vertical. En $a = 1$ el cociente tiende a $-\infty$ , y en $a = -1$ , a $\infty$ : $f$ no es derivable en $\pm 1$ , y su gráfico tiene allí tangentes verticales.

Problema propuesto 5El cociente simétrico

Sea $f$ definida en un intervalo abierto que contiene a $a$ . Demostrar que, si $f$ es derivable en $a$ , entonces $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a)$ . Demostrar con $f(x) = \abs{x}$ en $a = 0$ que ese límite puede existir sin que $f$ sea derivable.

Pista

Escribe la aproximación lineal para $h$ y para $-h$ y réstalas: los restos dan $\operatorname{o}(h)$ . Para el valor absoluto, el numerador es $\abs{h} - \abs{-h}$ .

Respuesta

\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{R(h) - R(-h)}{2h} \to f'(a), \qquad \frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = 0

El valor absoluto tiene cociente simétrico $0$ en $0$ , y no es derivable allí.

Solución desarrollada

Solución

$f(a + h) = f(a) + f'(a)h + R(h), \qquad f(a - h) = f(a) - f'(a)h + R(-h)$
Por la aproximación lineal, con $L = f'(a)$ , el resto $R$ cumple $\frac{R(h)}{h} \to 0$ . Al cambiar $h$ por $-h$ , por el teorema de la composición, también $\frac{R(-h)}{-h} \to 0$ .
$\frac{f(a + h) - f(a - h)}{2h} = f'(a) + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(h)}{h} + \frac{1}{2} \cdot \frac{R(-h)}{-h} \to \resaltar{f'(a)}$
Se restan las dos igualdades y se divide por $2h$ ; por el teorema del límite de una combinación lineal, los dos cocientes de los restos dan $0$ .
$\frac{\abs{h} - \abs{-h}}{2h} = \resaltar{0}, \qquad f'_+(0) = 1 \neq -1 = f'_-(0)$
Para el valor absoluto en $0$ , el numerador es nulo para todo $h$ , y el cociente simétrico tiende a $0$ ; sin embargo, las derivadas laterales son $1$ y $-1$ . El cociente simétrico promedia las dos pendientes laterales y oculta la esquina.