Razones de cambio y tasas relacionadas

Resumen

Esta clase lee la derivada como lo que mide en las aplicaciones: la rapidez con que una magnitud cambia cuando cambia otra. Distingue la razón de cambio media, la instantánea y la relativa, con sus unidades, y caracteriza el crecimiento con razón relativa constante. Estudia el movimiento sobre una recta, con la posición, la velocidad, la rapidez y la aceleración, y demuestra qué dice el signo de la derivada en un instante, y qué no dice. Por último, cuando varias magnitudes que dependen del tiempo están ligadas por una relación, la regla de la cadena liga también sus rapideces de cambio: son las tasas relacionadas, que se resuelven con un método explícito.

Objetivos de aprendizaje

Interpretar la derivada como razón de cambio instantánea, con sus unidades, y distinguirla de la razón de cambio media y de la relativa.
Describir un movimiento rectilíneo con la posición, la velocidad, la rapidez y la aceleración, y demostrar qué dice el signo de la derivada en un instante sobre los valores cercanos.
Resolver problemas de tasas relacionadas con un método explícito, justificando que las magnitudes que se derivan son derivables.
Relacionar las razones relativas de cambio de productos y potencias con la derivada logarítmica, y las aceleraciones con la segunda derivada de una relación.

La derivada como razón de cambio

La clase sobre la derivada como límite llegó a la misma definición desde dos preguntas: la pendiente de la tangente y la velocidad instantánea. Las dos son casos de una pregunta más general. Siempre que una magnitud depende de otra, el área de un círculo de su radio, la posición de un móvil del tiempo o la masa de un trozo de varilla de su longitud, conviene saber con qué rapidez cambia la primera cuando cambia la segunda.

DefiniciónRazón de cambio

Sea $f$ una función definida en un intervalo abierto $I$ , que expresa una magnitud $y = f(x)$ en función de otra magnitud $x$ , y sean $a$ y $a + h$ puntos de $I$ , con $h \neq 0$ . La razón de cambio media de $y$ respecto de $x$ entre $a$ y $a + h$ es el cociente

\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Si $f$ es derivable en $a$ , la razón de cambio instantánea (o tasa de cambio) de $y$ respecto de $x$ en $a$ es $f'(a)$ ; si además $f(a) \neq 0$ , la razón de cambio relativa en $a$ es el cociente $\frac{f'(a)}{f(a)}$ .

La razón media es la pendiente de una secante, y la instantánea, su límite: la pendiente de la tangente. Las dos se miden en unidades de $y$ por unidad de $x$ : metros por segundo, si $y$ es una longitud y $x$ un tiempo; kilogramos por metro, si $y$ es la masa de un trozo de varilla y $x$ su longitud. En este último caso, si $M(x)$ es la masa del trozo comprendido entre un extremo y el punto a distancia $x$ , la razón de cambio $M'(x)$ es la densidad lineal de la varilla en ese punto: la masa por unidad de longitud que tendría un trozo muy corto alrededor de él. La razón relativa, en cambio, se mide solo en unidades inversas de $x$ (por segundo, por día): no depende de la unidad en que se mida $y$ , y por eso permite comparar el cambio de magnitudes de distinta naturaleza o de distinto tamaño. Es la derivada logarítmica de la clase sobre la variable en el exponente, y se expresa a menudo como porcentaje: una razón relativa de $0{,}03$ por día es de un 3 por ciento por día.

Un ejemplo geométrico muestra cómo se lee una razón de cambio. El área del círculo de radio $r$ es $A = \pi r^2$ , y su razón de cambio respecto del radio es $\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}r} = 2\pi r$ , el perímetro, como pide comprobar el problema propuesto 1 de la clase sobre la derivada como límite. La razón es clara: al aumentar el radio en $h$ , el área aumenta en un anillo de ancho $h$ , cuya área es casi la del perímetro por $h$ .

ProposiciónCrecimiento con razón relativa constante

Sean $y_0 > 0$ y $k \neq 0$ números reales, y sea $y(t) = y_0 e^{kt}$ para todo real $t$ . Entonces la razón de cambio relativa de $y$ vale $k$ en todo instante, y para todo $t$ y todo $T$ :

y(t + T) = e^{kT} \, y(t)

En particular, si $k > 0$ , la magnitud se duplica en cada intervalo de tiempo de duración $\frac{\ln 2}{k}$ , sea cual sea el instante en que comienza; y si $k < 0$ , se reduce a la mitad en cada intervalo de duración $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .

Demostración

$y'(t) = y_0 e^{kt} \cdot k = k \, y(t), \qquad \frac{y'(t)}{y(t)} = \resaltar{k}$
Por el corolario de las composiciones con la exponencial y el logaritmo, de la clase sobre la variable en el exponente, con $u(t) = kt$ , la función $y$ es derivable en todo $\mathbb{R}$ y su derivada es $k$ veces la propia función, que no se anula.
$\frac{y(t + T)}{y(t)} = \frac{y_0 e^{kt} e^{kT}}{y_0 e^{kt}} = \resaltar{e^{kT}}$
Por la ley de los exponentes, el cociente entre los valores separados por un intervalo de duración $T$ no depende de $t$ .
$e^{kT} = 2 \Leftrightarrow T = \frac{\ln 2}{k}, \qquad e^{kT} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow T = \resaltar{\frac{\ln 2}{-k}}$
Como la exponencial es inyectiva, el cociente vale $2$ si y solo si $kT = \ln 2$ , y vale $\frac{1}{2}$ si y solo si $kT = -\ln 2$ .

Una población de bacterias en un medio sin restricciones o una masa de material radiactivo cambian, con buena aproximación, con razón relativa constante, y la proposición explica por qué tienen un tiempo de duplicación o de semidesintegración fijo. Que las funciones $y_0 e^{kt}$ sean las únicas con razón relativa constante $k$ es cierto, pero su demostración exige saber que una función con derivada nula en un intervalo es constante, consecuencia del teorema del valor medio de la unidad siguiente.