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Topos Uranos
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Derivadas sucesivas y diferencial

Resumen

Esta clase deriva la derivada. La derivada de una función es otra función, que puede derivarse a su vez: así se obtienen la segunda derivada, la tercera y, en general, la derivada de orden nn, que para las potencias, la exponencial, el seno y el coseno tiene una fórmula cerrada, demostrada por inducción. La derivada de orden nn de un producto sigue la misma ley que la potencia de un binomio: es la regla de Leibniz. La segunda parte de la clase da sentido, por separado, a los signos dy\mathrm{d}y y dx\mathrm{d}x de la notación de Leibniz: la diferencial dy=f′(x) dx\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x es la parte lineal del incremento de la función, la única que difiere de él en una cantidad despreciable frente al incremento de la variable. Con ella se aproximan valores y se estima cómo se propaga el error de una medición, sin pretender todavía acotar el error de la aproximación.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir las derivadas sucesivas, con su dominio, y obtener por inducción la derivada de orden nn de las potencias, de la exponencial, del seno, del coseno y de los polinomios.
  2. Demostrar la regla de Leibniz para la derivada de orden nn de un producto y aplicarla cuando uno de los factores es un polinomio.
  3. Definir la diferencial y demostrar que es la parte principal del incremento, distinguiendo Δy\Delta y de dy\mathrm{d}y.
  4. Aproximar valores y estimar errores relativos con la diferencial, sabiendo qué afirma la aproximación y qué no afirma.

Derivadas de orden superior

La derivada de una función es otra función, y nada impide derivarla de nuevo. La derivada de x3x^3 es 3x23x^2, y la de 3x23x^2 es 6x6x; la de 6x6x es 66, y la de 66 es 00. Si s(t)s(t) es la posición de un móvil en el instante tt, su derivada s′(t)s'(t) es la velocidad, y la derivada de la velocidad, que mide con qué rapidez cambia la propia velocidad, es la aceleración; la clase sobre las razones de cambio estudiará esa lectura. Como en la clase sobre la derivada como límite, conviene fijar con precisión dónde está definida cada derivada.

DefiniciónDerivadas sucesivas

Sea ff una función definida en AA. Las derivadas sucesivas de ff se definen por recursión: la derivada de orden 00 es la propia función, y la derivada de orden n+1n + 1 es la función derivada de la de orden nn:

f(0)=f,f(n+1)=(f(n))′(n≥0)f^{(0)} = f, \qquad f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)' \quad (n \geq 0)

Por la definición de función derivada, el dominio de la derivada de orden n+1n + 1 es el conjunto de los puntos del dominio de f(n)f^{(n)} en que f(n)f^{(n)} es derivable. Se dice que ff es nn veces derivable en un punto aa si aa pertenece al dominio de f(n)f^{(n)}; en un conjunto SS, si lo es en cada punto de SS; e indefinidamente derivable en SS, si lo es para todo nn. Las primeras se escriben con primas, f′′=f(2)f'' = f^{(2)} (la segunda derivada) y f′′′=f(3)f''' = f^{(3)}; desde el orden cuatro, con el orden entre paréntesis, como f(4)f^{(4)}, para no confundirlo con una potencia. Si y=f(x)y = f(x), en la notación de Leibniz se escribe d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} y dnydxn\frac{\mathrm{d}^n y}{\mathrm{d}x^n}, y la operación de derivar nn veces, dndxn\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}.

En la notación de Leibniz, el exponente del numerador indica cuántas veces se aplica la operación ddx\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}, y el del denominador afecta a todo el símbolo dx\mathrm{d}x, no a la variable xx; el signo completo d2ydx2\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} se lee como un todo. Si ff es nn veces derivable en un punto, cada derivada de orden menor que nn es derivable en él y, por el teorema de la clase sobre la derivada como límite según el cual derivable implica continua, es continua en él. La segunda derivada puede faltar aunque exista la primera: la clase sobre las reglas de derivación mostró que x∣x∣x \abs{x} es derivable en todo R\mathbb{R}, con derivada 2∣x∣2\abs{x}, y el valor absoluto no es derivable en 00, por la proposición de la continuidad sin derivada. De donde x∣x∣x \abs{x} es derivable una vez en R\mathbb{R} y dos veces solo en R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}, donde su segunda derivada vale 22 a la derecha de 00 y −2-2 a la izquierda.

Para no repetir hipótesis sobre el dominio, las funciones de los enunciados generales se consideran definidas en un intervalo abierto II, cuyos puntos son todos puntos de acumulación de II. No se pierde nada: por la segunda parte del lema del carácter local de la derivada, de la clase sobre las reglas de derivación, en un punto de un intervalo abierto contenido en el dominio la derivada de una función es la de su restricción al intervalo, y, por inducción, lo mismo ocurre con las derivadas sucesivas. Así, 1x\frac{1}{x} se estudia en (−∞,0)\ioo{-\infty}{0} y en (0,∞)\ioo{0}{\infty}.

LemaLinealidad de las derivadas sucesivas

Sean ff y gg funciones definidas en un intervalo abierto II y nn veces derivables en II, y sea α\alpha un número real. Entonces h=αf+gh = \alpha f + g es nn veces derivable en II, y h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} en II. Se aplica nn veces el teorema de la derivada de una combinación lineal, de la clase sobre las reglas de derivación.

Demostración

  1. h′(x)=αf′(x)+g′(x)h'(x) = \alpha f'(x) + g'(x)

    Para n=1n = 1 es el teorema de la derivada de una combinación lineal, en cada punto de II.

  2. h(n+1)(x)=αf(n+1)(x)+g(n+1)(x)h^{(n + 1)}(x) = \alpha f^{(n + 1)}(x) + \resaltar{g^{(n + 1)}(x)}

    Si la igualdad vale para nn, y ff y gg son n+1n + 1 veces derivables en II, la función h(n)=αf(n)+g(n)h^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)} es combinación lineal de dos funciones derivables en II; por el mismo teorema, es derivable en II. Por el principio de inducción, la igualdad vale para todo nn.