La variable en el exponente y la derivación logarítmica

Resumen

Esta clase deriva las funciones que tienen la variable en el exponente. Todas se reducen a la exponencial natural: $a^x = e^{x \ln a}$ , $x^r = e^{r \ln x}$ y $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ , de modo que bastan la derivada de $e^x$ , la del logaritmo y la regla de la cadena. Se obtienen así las derivadas de la exponencial y del logaritmo de cualquier base, de las potencias de exponente real y de las potencias cuya base y cuyo exponente varían, como $x^x$ o $x^{\sin x}$ . La derivada de $\ln \abs{f(x)}$ , que es $\frac{f'(x)}{f(x)}$ , convierte los productos, los cocientes y las potencias en sumas: es la derivación logarítmica, que la clase justifica sin suponer lo que quiere demostrar. Al final, la tangente al logaritmo que pasa por el origen decide cuál es mayor, $\pi^e$ o $e^\pi$ , y explica por qué la respuesta depende del número $e$ .

Objetivos de aprendizaje

Derivar la exponencial y el logaritmo de cualquier base, y sus composiciones, a partir de la igualdad $a^x = e^{x \ln a}$ .
Derivar las potencias de exponente real y las potencias de base y exponente variables, escribiéndolas como exponenciales de base $e$ , con el dominio en que la base es positiva.
Aplicar la derivación logarítmica a productos, cocientes y potencias, comprobando antes que la función es derivable y que no se anula en el punto.
Comparar potencias como $\pi^e$ y $e^\pi$ con la tangente al logaritmo y la desigualdad fundamental de la exponencial.

La exponencial y el logaritmo de cualquier base

La clase sobre las derivadas de las funciones elementales demostró que $e^x$ es su propia derivada y que la derivada de $\ln x$ es $\frac{1}{x}$ , y anunció que la derivada de $a^x$ es $a^x \ln a$ . No hace falta repetir el cálculo con el cociente incremental: toda base positiva es una potencia de $e$ . Por la definición del logaritmo natural, de la clase sobre la función logaritmo, $e^{\ln y} = y$ para todo $y > 0$ ; y por la ley del logaritmo de una potencia, de la misma clase, $\ln\left(a^x\right) = x \ln a$ . Con la regla de la cadena, el resto es inmediato.

TeoremaDerivadas de la exponencial y del logaritmo de base a

Sea $a > 0$ , con $a \neq 1$ . La exponencial $a^x$ es derivable en $\mathbb{R}$ , el logaritmo $\log_a x$ es derivable en $\ioo{0}{\infty}$ , y la función $\log_a \abs{x}$ es derivable en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ :

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a x\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x > 0), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a} \quad (x \neq 0)

Se escribe la exponencial de base $a$ con la exponencial natural y se aplica la regla de la cadena; el logaritmo de base $a$ es un múltiplo constante del logaritmo natural. La figura muestra $2^x$ , $e^x$ y $4^x$ con sus tangentes en el punto $(0, 1)$ , de pendientes $\ln 2$ , $1$ y $\ln 4$ , y al final la tangente a $\log_2 x$ en $(1, 0)$ , reflejo de la de $2^x$ .

Demostración

$a^x = e^{\ln\left(a^x\right)} = \dato{base}{e^{x \ln a}}$
Sea $x$ un número real. El número $a^x$ es positivo; por la definición del logaritmo natural y la ley del logaritmo de una potencia, de la clase sobre la función logaritmo:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{x \ln a}\right) = e^{x \ln a} \cdot \ln a = \resaltar{a^x \ln a}$
La función interior $x \ln a$ es lineal, de derivada $\ln a$ , y la exterior $e^t$ es derivable en todo $\mathbb{R}$ , por el teorema de la derivada de la exponencial natural. Por la regla de la cadena, de la clase sobre la regla de la cadena:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \resaltar{\frac{1}{x \ln a}}$
Por el teorema del cambio de base, de la clase sobre la función logaritmo, $\log_a y = \frac{\ln y}{\ln a}$ para todo $y > 0$ , con $\ln a \neq 0$ porque $a \neq 1$ . Por el teorema de la derivada del logaritmo natural, que vale para $\ln x$ y para $\ln \abs{x}$ , y el de la derivada de una combinación lineal, de la clase sobre las reglas de derivación:

La derivada de $a^x$ es proporcional a la función, con la constante $\ln a$ , que es positiva si $a > 1$ y negativa si $0 < a < 1$ ; por la inyectividad del logaritmo, vale $1$ solo si $a = e$ . Con $a = 1$ , la función $1^x$ es constante y la fórmula sigue valiendo, porque $\ln 1 = 0$ . En $x = 0$ , la definición de derivada da el límite $\frac{a^h - 1}{h} \to \ln a$ , que es el corolario de los límites notables del logaritmo y de las potencias, de la clase sobre la continuidad de las funciones elementales: la derivada de $a^x$ en $0$ ya era conocida, y la ley $a^{x + h} = a^x a^h$ la traslada a todos los puntos.

CorolarioComposiciones con la exponencial y el logaritmo

Sea $u$ una función definida en $A$ , derivable en un punto $a$ de $A$ que es punto de acumulación de $A$ , y sea $b > 0$ , con $b \neq 1$ . Entonces $e^{u(x)}$ y $b^{u(x)}$ son derivables en $a$ . Si $u(a) \neq 0$ , las funciones $\ln \abs{u(x)}$ y $\log_b \abs{u(x)}$ son derivables en $a$ , en su dominio; y si $u(a) > 0$ , también lo es $\ln u(x)$ , con la misma derivada que $\ln \abs{u(x)}$ . Las derivadas en $x = a$ son:

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x)}, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{u'(x)}{u(x) \ln b}

Las dos primeras son la regla de la cadena; las dos últimas, su versión en el dominio de la composición, porque el logaritmo no está definido en $0$ .

Demostración

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^{u(x)}\right) = e^{u(x)} u'(x), \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(b^{u(x)}\right) = \resaltar{b^{u(x)} \ln b \cdot u'(x)}$
Las funciones exteriores $e^t$ y $b^t$ son derivables en todo $\mathbb{R}$ , que contiene los valores de $u$ ; la regla de la cadena da las dos primeras derivadas, en $x = a$ .
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{u(x)} \cdot u'(x) = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x)}}$
La función $\ln \abs{t}$ está definida en $B = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ , que contiene el intervalo de centro $u(a)$ y radio $r = \abs{u(a)}$ , y es derivable en $u(a)$ , con derivada $\frac{1}{u(a)}$ . Por el corolario de la regla de la cadena en el dominio de la composición, $a$ es punto de acumulación del dominio de $\ln \abs{u(x)}$ , y la derivada en $x = a$ es:
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_b \abs{u(x)}\right) = \frac{1}{\ln b} \cdot \frac{u'(x)}{u(x)} = \resaltar{\frac{u'(x)}{u(x) \ln b}}$
Si $u(a) > 0$ , el mismo corolario, con $B = \ioo{0}{\infty}$ y $r = u(a)$ , da la derivada de $\ln u(x)$ , que es la misma. Para la base $b$ , se divide por la constante $\ln b$ , por el cambio de base.

Así, la derivada de $2^{\sin x}$ es $2^{\sin x} \ln 2 \cdot \cos x$ , y la de $\ln\left(x^2 + 1\right)$ es $\frac{2x}{x^2 + 1}$ en todo $\mathbb{R}$ . La clase sobre la regla de la cadena derivó $\ln(\cos x)$ en su dominio, donde $\cos x > 0$ , y obtuvo $-\tan x$ ; el valor absoluto extiende el resultado: $\ln \abs{\cos x}$ está definida donde $\cos x \neq 0$ , y su derivada es $-\tan x$ en todo ese conjunto, que es el dominio de la tangente.

En el resto de esta clase

Potencias de exponente real
Potencias de base y exponente variables
La derivación logarítmica
¿Qué es mayor, pi elevado a e o e elevado a pi?
Problemas resueltos
La derivada de x elevado a x
Derivación logarítmica donde la función es negativa
Una derivada positiva cerca del número e
Las dos reglas incompletas
La exponencial tangente a la recta y igual a x
Problemas propuestos
El logaritmo en base x
Dos torres de exponentes
Un producto en uno de sus ceros
Potencias racionales de bases negativas
Comparar a elevado a b con b elevado a a