Regla de la cadena para la derivada de la composición de funciones

Resumen

Esta clase demuestra la regla de la cadena: si $g$ es derivable en $a$ y $f$ lo es en $g(a)$ , la composición $f \circ g$ es derivable en $a$ , y su derivada es el producto $f'(g(a)) \, g'(a)$ . La demostración usa la caracterización de Carathéodory, que no divide por nada; la clase explica por qué el argumento que divide por $g(x) - g(a)$ no basta y en qué caso sí funciona. Con la regla se derivan en pocas líneas las composiciones de potencias, raíces, funciones racionales y trigonométricas, que con las reglas anteriores exigían desarrollos largos o no estaban al alcance. La clase cuida también el dominio de la composición, que la fórmula de la derivada no muestra, y presenta la regla en la notación de Leibniz, donde parece una simplificación de fracciones sin serlo.

Objetivos de aprendizaje

Demostrar la regla de la cadena con la caracterización de Carathéodory, y explicar por qué la demostración que divide por $g(x) - g(a)$ falla cuando $g'(a) = 0$ .
Derivar composiciones de dos o más funciones conocidas, evaluando cada derivada en el punto que le corresponde.
Determinar el dominio de una composición antes de derivarla, y reconocer que las hipótesis de la regla son suficientes, pero no necesarias.
Escribir y leer la regla de la cadena en la notación de Leibniz.

La derivada de una composición

Con las reglas de la clase sobre las reglas de derivación y las derivadas de la clase sobre las funciones elementales se puede derivar $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ , pero solo desarrollando la potencia en un polinomio de grado $24$ , o aplicando una y otra vez la regla del producto. Y no se puede derivar todavía $\sin(\cos x)$ ni $\sqrt{1 + x^2}$ : ninguna regla dice qué hacer con una función aplicada a otra. Ambas expresiones son composiciones: $\left(2x^2 + 1\right)^{12}$ es la potencia $t^{12}$ evaluada en $t = 2x^2 + 1$ , y $\sin(\cos x)$ es el seno evaluado en $t = \cos x$ .

Dos casos particulares ya se conocen. El problema resuelto 2 de la clase sobre las funciones elementales demostró que $f(cx + b)$ tiene en $a$ la derivada $c f'(ca + b)$ : la función interior es lineal, de pendiente $c$ , y la derivada de la exterior se evalúa en el punto $ca + b$ , no en $a$ . Y el problema propuesto 4 de la clase sobre las reglas de derivación obtuvo, por inducción, que $\left(f(x)\right)^n$ tiene en $a$ la derivada $n \left(f(a)\right)^{n - 1} f'(a)$ . En los dos casos la derivada es un producto: la derivada de la función exterior, evaluada en el valor de la interior, por la derivada de la interior. La idea es la de las razones de cambio: si $t = g(x)$ cambia $g'(a)$ veces más rápido que $x$ , y $f(t)$ cambia $f'(b)$ veces más rápido que $t$ , entonces $f(g(x))$ cambia $f'(b) \, g'(a)$ veces más rápido que $x$ .

TeoremaRegla de la cadena

Sean $g$ una función definida en $A$ , derivable en un punto $a$ de $A$ que es punto de acumulación de $A$ , y $f$ una función definida en un conjunto $B$ que contiene los valores de $g$ , derivable en $b = g(a)$ . Entonces $f \circ g$ es derivable en $a$ , y

(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)

Se factorizan los dos incrementos con la caracterización de Carathéodory y se encadenan: el incremento de $f$ se evalúa en $t = g(x)$ , y el de $g$ sustituye a $t - b$ . La figura muestra, con $g(x) = x^2$ , $f(t) = \sin t$ y $a = 1$ , la secante y la tangente de $g$ , las de $f$ en $b = 1$ y, al final, las de $\sin\left(x^2\right)$ , cuya pendiente en $1$ es el producto $\cos 1 \cdot 2$ .

Demostración

$g(x) - g(a) = \dato{psi}{\psi(x)(x - a)}, \quad x \in A, \qquad f(t) - f(b) = \dato{fi}{\varphi(t)(t - b)}, \quad t \in B$
Por el teorema de las caracterizaciones de la derivada, de la clase sobre la derivada como límite, existen $\psi \colon A \to \mathbb{R}$ , continua en $a$ con $\psi(a) = g'(a)$ , y $\varphi \colon B \to \mathbb{R}$ , continua en $b$ con $\varphi(b) = f'(b)$ , tales que:
$f(g(x)) - f(g(a)) = \varphi(g(x)) \left(g(x) - g(a)\right) = \resaltar{\varphi(g(x)) \, \psi(x)}(x - a)$
Sea $x$ de $A$ . El número $t = g(x)$ es de $B$ , y la segunda igualdad vale para él, sea o no igual a $b$ ; después, $t - b = g(x) - g(a)$ se reemplaza por la primera factorización.
$\gamma(a) = \varphi(g(a)) \, \psi(a) = \varphi(b) \, \psi(a) = \resaltar{f'(g(a)) \, g'(a)}$
Como $g$ es derivable en $a$ , es continua en $a$ , por el teorema de que derivable implica continua; y $\varphi$ es continua en $b = g(a)$ . Por el teorema de la composición de funciones continuas, de la clase sobre límite y continuidad, $\varphi \circ g$ es continua en $a$ , y el factor $\gamma = (\varphi \circ g) \, \psi$ lo es por la regla del producto de las operaciones con funciones continuas. Como $a$ es punto de acumulación de $A$ , que es el dominio de $f \circ g$ , la caracterización de Carathéodory da la derivada.

Si $g$ es derivable en todo $A$ y $f$ en todo $B$ , la regla vale en cada punto de acumulación de $A$ , y se escribe como una igualdad entre funciones: $(f \circ g)' = (f' \circ g) \, g'$ . La derivada de la función exterior se evalúa en $g(x)$ , no en $x$ ; es el error más frecuente al aplicar la regla. La ventaja de la demostración está en el segundo paso: la factorización de $f$ vale también en $t = b$ , donde sus dos miembros son nulos, de modo que no importa si $g$ repite su valor $g(a)$ cerca de $a$ .

En el resto de esta clase

El dominio de una composición
Por qué no basta dividir
Composiciones de funciones conocidas
La regla de la cadena en la notación de Leibniz
Problemas resueltos
Tangentes horizontales de una composición triple
Derivar con una tabla de valores
Hipótesis suficientes, no necesarias
Una función acotada con derivada no acotada
Una función compuesta consigo misma
Problemas propuestos
La derivada de una función par
Derivar una identidad
El valor absoluto fuera de los ceros
Un empalme con la regla de la cadena
Una función exterior que no es derivable