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Topos Uranos
Español

Derivadas de las funciones elementales

Resumen

Esta clase deriva las funciones elementales que la clase anterior no alcanzó: el seno y el coseno, a partir de los límites trigonométricos de la unidad 1; la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante, con las reglas del cociente y del recíproco; la exponencial natural y el logaritmo natural, a partir de sus límites notables; y las funciones hiperbólicas, a partir de la exponencial. Ninguna demostración usa la regla de la cadena ni la de la función inversa, que vienen después: en cada caso, una fórmula de suma o una ley de la exponencial o del logaritmo separa el cociente incremental en un factor que depende solo del punto y otro que es un límite ya conocido. Con estas derivadas y las reglas, la clase calcula tangentes y ángulos entre curvas trascendentes, y cumple lo anunciado en la clase anterior: la función x2sin⁡1xx^2 \sin \frac{1}{x}, derivable en 00, tiene una derivada sin límite en 00.

Objetivos de aprendizaje

  1. Demostrar que la derivada del seno es el coseno y la del coseno es el opuesto del seno, y explicar por qué la variable se mide en radianes.
  2. Derivar la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante con las reglas de la clase anterior, y precisar el dominio de cada derivada.
  3. Demostrar que la exponencial natural es su propia derivada y que la derivada de ln⁡∣x∣\ln \abs{x} es 1x\frac{1}{x}, y obtener de ello las derivadas de las funciones hiperbólicas.
  4. Combinar las derivadas elementales con las reglas para hallar tangentes y ángulos entre curvas, y reconocer que una derivada puede no tener límite en un punto donde la función es derivable.

El seno y el coseno

La clase sobre las reglas de derivación derivó todas las funciones que se obtienen de la identidad y las constantes con las cuatro operaciones: los polinomios y las funciones racionales. El seno no es una de ellas, y su derivada debe salir de su cociente incremental. En 00 ese cociente es sin⁡hh\frac{\sin h}{h}, y el límite fundamental de la trigonometría, de la clase sobre el teorema del sándwich, da la derivada 11. Para un punto aa cualquiera, la fórmula del seno de una suma separa sin⁡(a+h)\sin(a + h) en una parte que depende solo de aa y otra que depende solo de hh; los cocientes que quedan son dos límites del corolario de los límites trigonométricos derivados, de la misma clase: sin⁡hh\frac{\sin h}{h} tiende a 11, y 1−cos⁡hh\frac{1 - \cos h}{h} tiende a 00.

TeoremaDerivadas del seno y del coseno

El seno y el coseno son derivables en todo R\mathbb{R}, y para todo real xx:

ddx(sin⁡x)=cos⁡x,ddx(cos⁡x)=−sin⁡x\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x, \qquad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x

Se usa la forma incremental de la derivada, de la clase sobre la derivada como límite, y las fórmulas de suma de la clase sobre las fórmulas de suma y diferencia. La figura sigue la tangente al gráfico del seno: su pendiente en cada punto es la ordenada del coseno en el mismo punto; al final, la tangente al gráfico del coseno tiene por pendiente el opuesto del seno.

Demostración

  1. sin⁡(a+h)−sin⁡a=sin⁡acos⁡h+cos⁡asin⁡h−sin⁡a=sin⁡a(cos⁡h−1)+cos⁡asin⁡h\sin(a + h) - \sin a = \sin a \cos h + \cos a \sin h - \sin a = \dato{s}{\sin a \left(\cos h - 1\right) + \cos a \sin h}

    Sean aa un número real y h≠0h \neq 0. Por la fórmula del seno de una suma, el incremento del seno se separa en dos términos: uno con el factor cos⁡h−1\cos h - 1 y otro con el factor sin⁡h\sin h; los factores sin⁡a\sin a y cos⁡a\cos a no dependen de hh.

  2. sin⁡(a+h)−sin⁡ah=−sin⁡a⋅1−cos⁡hh+cos⁡a⋅sin⁡hh→−sin⁡a⋅0+cos⁡a⋅1=cos⁡a\frac{\sin(a + h) - \sin a}{h} = -\sin a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} + \cos a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\sin a \cdot 0 + \cos a \cdot 1 = \resaltar{\cos a}

    Se divide por hh. Por el corolario de los límites trigonométricos derivados, los dos cocientes tienden a 00 y a 11; por el teorema del límite de una combinación lineal, del álgebra de límites, el cociente incremental tiene límite, y la forma incremental da la derivada del seno en aa.

  3. cos⁡(a+h)−cos⁡ah=−cos⁡a⋅1−cos⁡hh−sin⁡a⋅sin⁡hh→−cos⁡a⋅0−sin⁡a⋅1=−sin⁡a\frac{\cos(a + h) - \cos a}{h} = -\cos a \cdot \frac{1 - \cos h}{h} - \sin a \cdot \frac{\sin h}{h} \to -\cos a \cdot 0 - \sin a \cdot 1 = \resaltar{-\sin a}

    Con la fórmula del coseno de una suma, cos⁡(a+h)=cos⁡acos⁡h−sin⁡asin⁡h\cos(a + h) = \cos a \cos h - \sin a \sin h, el mismo razonamiento da la derivada del coseno.

La demostración usa que la variable se mide en radianes: el límite fundamental compara el seno con la longitud del arco. Si el ángulo se midiera en grados, el seno de xx grados sería sin⁡πx180\sin \frac{\pi x}{180}, y su derivada llevaría el factor π180\frac{\pi}{180} (problema propuesto 1). Los radianes son, por tanto, la unidad en la que el seno tiene por derivada el coseno, sin factores. La lectura geométrica del teorema es la de la figura: el seno crece donde el coseno es positivo y tiene tangente horizontal donde el coseno se anula; la tangente al seno en el origen es la recta y=xy = x, y por eso, cerca de 00, sin⁡x\sin x se parece a xx, como ya decía la equivalencia sin⁡x∼x\sin x \sim x de la clase sobre los infinitésimos equivalentes.