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Topos Uranos
Español

Reglas de derivación

Resumen

Esta clase deduce de la caracterización de Carathéodory las reglas que permiten derivar sin volver cada vez al cociente incremental: la derivada de una combinación lineal, de un producto, de un recíproco y de un cociente. Cada regla se obtiene del mismo modo: el incremento de la nueva función se escribe como un producto por x−ax - a, con un factor continuo en aa, y el valor de ese factor en aa es la derivada. Con las reglas se derivan las potencias de exponente entero, los polinomios y las funciones racionales. La clase termina con las funciones definidas por tramos: dentro de cada tramo manda la fórmula del tramo, y en los puntos de unión deciden las derivadas laterales, que no siempre son las derivadas de las fórmulas.

Objetivos de aprendizaje

  1. Demostrar con la caracterización de Carathéodory las reglas de la combinación lineal, del producto, del recíproco y del cociente.
  2. Derivar las potencias de exponente entero, los polinomios y las funciones racionales, y precisar el dominio de cada derivada.
  3. Decidir si una función definida por tramos es derivable en un punto de unión, con las derivadas laterales.
  4. Distinguir las hipótesis suficientes de las necesarias en las reglas, y reconocer cuándo las derivadas de las fórmulas de los tramos no dan la derivada de la función.

La derivada depende solo de lo que ocurre cerca del punto

La clase sobre la derivada como límite calculó cada derivada con su cociente incremental. Para una función como x3−2xx2+1\frac{x^3 - 2x}{x^2 + 1}, ese cálculo es largo; conviene, en cambio, saber cómo se comporta la derivada con las operaciones. Todas las reglas de esta clase se apoyan en la caracterización de Carathéodory, de la misma clase: ff es derivable en aa, con f′(a)=Lf'(a) = L, si y solo si existe una función φ\varphi, continua en aa, con φ(a)=L\varphi(a) = L, tal que f(x)−f(a)=φ(x)(x−a)f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a) para todo xx del dominio. Por tanto, para demostrar que una función es derivable en aa basta escribir su incremento como un producto por x−ax - a con un factor continuo en aa; el valor de ese factor en aa es la derivada. El teorema de las operaciones con funciones continuas, de la clase sobre límite y continuidad, se encarga de la continuidad del factor.

Antes conviene resolver una cuestión de dominios. Dos funciones pueden tener dominios distintos, y el cociente fg\frac{f}{g} solo está definido donde gg no se anula. El lema siguiente dice que la derivada no cambia al reducir el dominio, siempre que quede un punto de acumulación, y que solo depende de los valores cercanos al punto.

LemaCarácter local de la derivada

Sean ff una función definida en AA, aa un elemento de AA, BB un subconjunto de AA que contiene a aa, y FF la restricción de ff a BB.

  • Si aa es punto de acumulación de BB y ff es derivable en aa, entonces FF es derivable en aa, y F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).
  • Si aa es punto de acumulación de AA y existe un δ>0\delta > 0 tal que todo xx de AA con ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta pertenece a BB, entonces ff es derivable en aa si y solo si FF lo es, y en ese caso F′(a)=f′(a)F'(a) = f'(a).

La primera parte es el lema de la restricción del álgebra de límites; la segunda, que la definición del límite solo mira los puntos cercanos.

Demostración

  1. x∈B∖{a}→F(x)−F(a)x−a=f(x)−f(a)x−ax \in B \setminus \{a\} \rightarrow \frac{F(x) - F(a)}{x - a} = \resaltar{\frac{f(x) - f(a)}{x - a}}

    El cociente incremental de FF es la restricción a B∖{a}B \setminus \{a\} del de ff. Si aa es punto de acumulación de BB, el lema del límite de una restricción, de la clase sobre el álgebra de límites, da el mismo límite.

  2. x∈A∧0<∣x−a∣<min⁡{δ,δ′}→∣f(x)−f(a)x−a−L∣<εx \in A \wedge 0 < \abs{x - a} < \min\{\delta, \delta'\} \rightarrow \resaltar{\abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon}

    En el segundo caso, todo punto de AA distinto de aa y a distancia menor que δ\delta está en BB: como aa es punto de acumulación de AA, también lo es de BB, y la primera parte da una implicación. Para la otra, si F′(a)=LF'(a) = L, sean ε>0\varepsilon > 0 y δ′\delta' una respuesta para el cociente de FF; el menor de δ\delta y δ′\delta' es una respuesta para el cociente de ff, porque los dos cocientes coinciden en los xx que cubre.

De la segunda parte se sigue que dos funciones definidas en AA que coinciden en los puntos de AA cercanos a aa son ambas derivables en aa, con la misma derivada, o ninguna lo es: las dos tienen la misma restricción a esos puntos. Y de la primera, que si ff y gg tienen dominios distintos, ambos con el punto aa, se puede trabajar en la intersección de los dominios, siempre que aa sea punto de acumulación de ella. Por eso, en lo que sigue, ff y gg se suponen definidas en un mismo conjunto AA.