Saltar al contenido
Topos Uranos
Español

Derivada de la función inversa y derivación implícita

Resumen

Esta clase demuestra que la inversa de una función continua y estrictamente monótona en un intervalo es derivable en cada punto en que la función tiene derivada no nula, y que su derivada es el recíproco de la derivada de la función, evaluada en el punto que le corresponde: al reflejar el gráfico respecto de la recta y=xy = x, una tangente de pendiente mm se convierte en una de pendiente 1m\frac{1}{m}. La demostración usa la continuidad de la inversa, de la clase sobre el teorema del valor intermedio, y la caracterización de Carathéodory; donde la derivada de la función se anula, la inversa no es derivable. Con el teorema se derivan el arcoseno, el arcocoseno, la arcotangente, las inversas de las funciones hiperbólicas, las raíces y las potencias de exponente racional. La segunda parte de la clase deriva funciones definidas por una ecuación, como las ramas de una circunferencia o de la hoja de Descartes, suponiendo que la función existe y es derivable, y muestra qué ocurre cuando esa suposición falla.

Objetivos de aprendizaje

  1. Demostrar el teorema de la derivada de la función inversa, y explicar por qué la inversa no es derivable donde la derivada de la función se anula.
  2. Derivar las funciones trigonométricas inversas, las inversas de las hiperbólicas, las raíces y las potencias de exponente racional, con el conjunto en que cada derivada existe.
  3. Derivar implícitamente una función definida por una ecuación, suponiendo que existe y es derivable, y hallar así las tangentes a curvas que no son gráficos de funciones.
  4. Reconocer cuándo la derivación implícita no decide nada: ecuaciones que no definen ninguna función derivable y puntos en que el coeficiente de la derivada se anula.

La derivada de la función inversa

El gráfico de la inversa de una función inyectiva es el reflejo del gráfico de la función respecto de la recta y=xy = x: el punto (a,b)(a, b) del primero se convierte en el punto (b,a)(b, a) del segundo. La reflexión intercambia el incremento horizontal y el vertical, de modo que una secante de pendiente mm se convierte en una secante de pendiente 1m\frac{1}{m}, y cabe esperar lo mismo de las tangentes. La clase sobre las derivadas de las funciones elementales lo observó en un caso: las tangentes a los gráficos de exe^x y de ln⁡x\ln x en puntos simétricos respecto de la recta y=xy = x tienen pendientes recíprocas, eae^a y 1ea\frac{1}{e^a}.

Un cálculo rápido sugiere la fórmula general. Si f−1f^{-1} fuera derivable, al derivar la igualdad f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y con la regla de la cadena se obtendría f′(f−1(y))(f−1)′(y)=1f'\left(f^{-1}(y)\right) \left(f^{-1}\right)'(y) = 1, y bastaría dividir. Pero ese cálculo supone lo que hay que demostrar, que la inversa es derivable, y no dice qué ocurre si f′(f−1(y))=0f'\left(f^{-1}(y)\right) = 0. El caso existe: x3x^3 es derivable en 00, con derivada nula, y su inversa, la raíz cúbica, no es derivable en 00, por la proposición de la continuidad sin derivada, de la clase sobre la derivada como límite. El teorema siguiente demuestra la derivabilidad sin suponerla, con la caracterización de Carathéodory, que permite despejar el incremento de la inversa sin dividir por ningún incremento.

TeoremaDerivada de la función inversa

Sea ff una función continua y estrictamente monótona en un intervalo II con más de un punto, y sea J=f(I)J = f(I). Si ff es derivable en un punto aa de II y f′(a)≠0f'(a) \neq 0, entonces la inversa f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I es derivable en b=f(a)b = f(a), y

(f−1)′(b)=1f′(a)=1f′(f−1(b))\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)} = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(b)\right)}

La factorización de Carathéodory de ff en aa se lee al revés: la función φ\varphi no se anula, y su recíproco, evaluado en f−1(y)f^{-1}(y), factoriza el incremento de la inversa. La figura muestra, con f(x)=x3f(x) = x^3 y a=0,8a = 0{,}8, una secante y la tangente de ff, y después sus reflejos, que son una secante y la tangente de la raíz cúbica.

Demostración

  1. f(x)−f(a)=φ(x)(x−a),x∈If(x) - f(a) = \dato{fi}{\varphi(x)(x - a)}, \qquad x \in I

    Como II es un intervalo con más de un punto, todos sus puntos son de acumulación de II. Por el teorema de las caracterizaciones de la derivada, de la clase sobre la derivada como límite, existe φ ⁣:I→R\varphi \colon I \to \mathbb{R}, continua en aa, con φ(a)=f′(a)\varphi(a) = f'(a), tal que:

  2. x≠a→φ(x)=f(x)−f(a)x−a≠0,φ(a)=f′(a)≠0x \neq a \rightarrow \varphi(x) = \frac{f(x) - f(a)}{x - a} \neq 0, \qquad \resaltar{\varphi(a) = f'(a) \neq 0}

    La función φ\varphi no se anula en ningún punto de II. En aa vale f′(a)f'(a), que no es cero; si x≠ax \neq a, la monotonía estricta da f(x)≠f(a)f(x) \neq f(a), y φ(x)\varphi(x) es el cociente incremental, que tampoco es cero.

  3. f−1(y)−f−1(b)=1φ(f−1(y))(y−b),y∈Jf^{-1}(y) - f^{-1}(b) = \dato{psi}{\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}}(y - b), \qquad y \in J

    Sea yy de JJ, y sea x=f−1(y)x = f^{-1}(y), de modo que f(x)=yf(x) = y y x−a=f−1(y)−f−1(b)x - a = f^{-1}(y) - f^{-1}(b). Se divide la factorización por φ(x)\varphi(x), que no es cero: el incremento de la inversa queda factorizado, y no se ha dividido por ningún incremento.

  4. ψ(b)=1φ(a)=1f′(a)\psi(b) = \frac{1}{\varphi(a)} = \resaltar{\frac{1}{f'(a)}}

    Por los corolarios de la imagen de un intervalo y de la continuidad de la inversa, de la clase sobre el teorema del valor intermedio, JJ es un intervalo, con más de un punto porque ff es inyectiva, y f−1f^{-1} es continua en bb. Como φ\varphi es continua en a=f−1(b)a = f^{-1}(b), por los teoremas de la composición de funciones continuas y de las operaciones con funciones continuas, de la clase sobre límite y continuidad, el factor ψ=1φ∘f−1\psi = \frac{1}{\varphi \circ f^{-1}} es continuo en bb. Como bb es punto de acumulación de JJ, la caracterización de Carathéodory da la derivada.

La continuidad de ff en todo II se pide para que la inversa sea continua en bb, que es lo que permite pasar al límite en el último paso. Si ff es derivable en todo II y su derivada no se anula, la inversa es derivable en todo JJ, y la igualdad se escribe entre funciones: (f−1)′=1f′∘f−1\left(f^{-1}\right)' = \frac{1}{f' \circ f^{-1}}. La derivada de ff se evalúa en f−1(y)f^{-1}(y), no en yy. En la notación de Leibniz, si y=f(x)y = f(x) y x=f−1(y)x = f^{-1}(y), el teorema dice que dxdy=1dydx\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}, con la derivada del denominador evaluada en x=f−1(y)x = f^{-1}(y). Como en la regla de la cadena, la fórmula parece una regla de las fracciones y no lo es. Una vez demostrada la derivabilidad, el cálculo rápido del comienzo, que deriva f(f−1(y))=yf\left(f^{-1}(y)\right) = y con la regla de la cadena, es una manera legítima de recordar la fórmula.

ProposiciónLa inversa donde la derivada se anula

Sea ff una función continua y estrictamente monótona en un intervalo II con más de un punto. Si ff es derivable en un punto aa de II y f′(a)=0f'(a) = 0, entonces f−1f^{-1} no es derivable en b=f(a)b = f(a). Si lo fuera, la regla de la cadena, aplicada a la identidad f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x)) = x, daría 1=01 = 0.

Demostración

  1. (f−1∘f)′(a)=(f−1)′(b) f′(a)=0\left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \left(f^{-1}\right)'(b) \, f'(a) = \resaltar{0}

    Supongamos que f−1f^{-1} es derivable en bb. La función ff está definida en II y es derivable en aa, que es punto de acumulación de II, y sus valores están en J=f(I)J = f(I), donde está definida f−1f^{-1}. Por la regla de la cadena, de la clase sobre la regla de la cadena:

  2. f−1(f(x))=x→(f−1∘f)′(a)=1≠0f^{-1}(f(x)) = x \rightarrow \left(f^{-1} \circ f\right)'(a) = \resaltar{1 \neq 0}

    Pero f−1∘ff^{-1} \circ f es la identidad de II, cuya derivada en todo punto es 11, como se vio en la clase sobre la derivada como límite. La contradicción muestra que f−1f^{-1} no es derivable en bb.

Se puede decir más. Si y≠by \neq b, el tercer paso de la demostración del teorema solo usa que φ\varphi no se anula fuera de aa, y vale aunque f′(a)=0f'(a) = 0: el cociente incremental de la inversa es 1φ(f−1(y))\frac{1}{\varphi\left(f^{-1}(y)\right)}, y el denominador tiende a φ(a)=0\varphi(a) = 0, por la continuidad de la composición. Si ff es creciente, el denominador es positivo, y el cociente tiende a ∞\infty; si es decreciente, tiende a −∞-\infty. El gráfico de la inversa tiene en (b,a)(b, a) una tangente vertical, reflejo de la tangente horizontal de ff en (a,b)(a, b), como la raíz cúbica en el origen.