Teorema del valor intermedio

Resumen

Esta clase demuestra el primer gran teorema sobre las funciones continuas en un intervalo: una función continua no puede pasar de un valor a otro sin tomar todos los valores intermedios. Se demuestra primero el teorema de Bolzano, que asegura un cero cuando la función cambia de signo, con el axioma de completitud; de él se siguen el teorema del valor intermedio, que la imagen de un intervalo es un intervalo y que la inversa de una función continua y estrictamente monótona es continua, resultado que la derivada de la inversa necesita. El teorema no dice dónde está el cero, pero el método de bisección lo localiza con la precisión que se quiera. La clase lo aplica a la existencia de raíces de ecuaciones, a los polinomios de grado impar y a los puntos fijos.

Objetivos de aprendizaje

Demostrar el teorema de Bolzano con el axioma de completitud y deducir de él el teorema del valor intermedio.
Demostrar que la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo, y deducir la continuidad de la inversa de una función continua y estrictamente monótona.
Usar el teorema para probar la existencia de soluciones de ecuaciones, y localizarlas con el método de bisección.

El teorema de Bolzano

El gráfico de una función continua en un intervalo se dibuja, en la imagen intuitiva, sin levantar el lápiz; si empieza por debajo del eje y termina por encima, tiene que cruzarlo. Esa intuición necesita una demostración, porque depende de los números reales: la función $x^2 - 2$ es negativa en $0$ y positiva en $2$ , pero si solo se consideraran los números racionales no se anularía nunca, porque $\sqrt{2}$ no es racional. La demostración usa, por tanto, el axioma de completitud, a través del supremo.

TeoremaTeorema de Bolzano

Sea $f$ continua en $\icc{a}{b}$ , con $f(a) < 0 < f(b)$ . Entonces existe $c$ en $\ioo{a}{b}$ tal que $f(c) = 0$ . Lo mismo vale si $f(a) > 0 > f(b)$ . Se toma el supremo de los puntos donde la función es negativa; la conservación del signo de la clase sobre límite y continuidad impide que la función sea negativa o positiva en él. La figura muestra el conjunto de esos puntos y su supremo, y después los dos casos imposibles.

Demostración

$S = \left\{ x \in \icc{a}{b} : f(x) < 0 \right\}, \qquad c = \resaltar{\sup S}$
Sea $S$ el conjunto de los $x$ de $\icc{a}{b}$ en que $f(x) < 0$ . No es vacío, porque contiene a $a$ , y $b$ es cota superior; por el axioma de completitud tiene un supremo $c$ , con $a \leq c \leq b$ .
$f(c) < 0 \rightarrow c + \frac{\delta}{2} \in S, \qquad c + \frac{\delta}{2} > c$
Si $f(c) < 0$ , entonces $c \neq b$ , porque $f(b) > 0$ . Por la conservación del signo, $f$ es negativa en $\ico{c}{c + \delta}$ para algún $\delta > 0$ , que puede tomarse con $c + \delta \leq b$ ; entonces $S$ contiene puntos mayores que $c$ , y $c$ no sería cota superior.
$f(c) > 0 \rightarrow \sup S \leq c - \delta < c, \qquad \resaltar{f(c) = 0}$
Si $f(c) > 0$ , entonces $c \neq a$ . Por la conservación del signo, $f$ es positiva en $\ioc{c - \delta}{c}$ para algún $\delta > 0$ , que puede tomarse con $c - \delta \geq a$ , de modo que ningún punto de ese intervalo está en $S$ ; como tampoco los hay mayores que $c$ , el número $c - \delta$ sería una cota superior menor que el supremo. Por tanto, $f(c) = 0$ , y $c$ no es $a$ ni $b$ . El segundo caso se reduce al primero con $-f$ .