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LatineResumen
Esta clase abre la unidad sobre las derivadas. Presenta el recorrido de la unidad, que define la derivada como el límite del cociente incremental, la escribe como una factorización con un factor continuo, la de Carathéodory, y obtiene de ella, sin dividir nunca por cantidades que pueden anularse, las reglas de derivación, la regla de la cadena y la derivada de la función inversa, hasta llegar a las derivadas sucesivas, la diferencial y las razones de cambio. Reconstruye la historia de la derivada, desde el método de Fermat para las tangentes hasta la definición de Cauchy, pasando por las fluxiones de Newton, la notación de Leibniz, la crítica de Berkeley y el programa de Lagrange, que dio nombre y notación a la derivada; formula el problema que le dio origen, la tangente a una curva cualquiera y la velocidad en un instante, y muestra con un ejemplo cómo la factorización reemplaza la división por un incremento nulo. Termina señalando dónde se emplean las derivadas en la unidad siguiente, en otros cursos del sitio y en la ciencia y la técnica.
Objetivos de aprendizaje
- Describir el recorrido de la unidad y explicar qué demuestra cada clase y de qué resultados anteriores se sirve.
- Explicar por qué la tangente a una curva cualquiera y la velocidad instantánea exigen definir la derivada como un límite, y por qué la factorización de Carathéodory permite demostrar las reglas sin dividir por cantidades que pueden anularse.
- Situar en su contexto histórico las etapas de la noción de derivada, desde el método de Fermat hasta la definición de Cauchy, e identificar el problema o la crítica que impulsó cada una.
- Señalar dónde intervienen las derivadas en la unidad siguiente, en otros cursos y en aplicaciones científicas y técnicas.
Evaluación de entrada
Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida. Esta autoevaluación no califica: sirve para saber dónde detenerse. Las nueve primeras preguntas tocan, en orden, las nueve clases de contenido de la unidad, una cada una, y miden una destreza de cálculo o de razonamiento, no un enunciado que se recuerde; las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis, con otros datos. Las cinco últimas comprueban lo que esta unidad da por sabido de la unidad anterior y de Álgebra y Geometría I y II: un límite trigonométrico, un límite notable de la exponencial, la pequeña, la función inversa y el coseno del arcoseno.
Antes de comenzar la unidad, mide tu punto de partida. Es una autoevaluación breve: no se califica y su resultado se guarda solo en tu navegador.
Pregunta 1La función está definida en . A partir de la definición de derivada, ¿cuál es la recta tangente a su gráfico en el punto ?
Es la recta normal, no la tangente: su pendiente, , la hace perpendicular a la tangente.La pendiente es correcta, pero la recta no pasa por el punto: la tangente es , y se ha omitido .Se ha perdido el signo al restar: , que es negativo para pequeño. La función decrece cerca de , y la pendiente es negativa.Para cercano a , el cociente incremental es , que tiende a ; por tanto, , y la tangente es la recta que pasa por con esa pendiente.Pregunta 2Calcular la derivada de en .
Se han derivado el numerador y el denominador por separado, , como si la derivada de un cociente fuera el cociente de las derivadas. No lo es: la regla del cociente tiene dos términos y el cuadrado del denominador.Se ha invertido el orden de la resta del numerador. La regla es : primero la derivada del numerador por el denominador.Falta elevar al cuadrado el denominador: en vale , y su cuadrado es .Por la regla del cociente, .Repasar: Reglas de derivación
Pregunta 3Calcular la derivada de en .
Se ha tomado como derivada del coseno. La derivada del coseno es , y los dos términos se cancelan en .Se han multiplicado las derivadas de los dos factores, . La derivada de un producto no es el producto de las derivadas: falta el término .Se ha derivado solo la exponencial, como si el coseno fuera constante. Es el primer término de la regla del producto; falta el segundo, .Por la regla del producto y las derivadas de la exponencial y del coseno, , y en el seno y el coseno son iguales. La tangente al gráfico en ese punto es horizontal.Pregunta 4Calcular la derivada de en .
Falta la derivada de la función más interior, , que aporta el factor : cada función de la composición contribuye con su derivada, evaluada en el punto que le corresponde.Se ha tomado como derivada del coseno: el signo menos de se ha perdido.Se ha derivado solo el cuadrado, , como si el coseno fuera la variable. Faltan las derivadas del coseno y de .Por la regla de la cadena aplicada dos veces, , y en el argumento es .Repasar: Regla de la cadena para la derivada de la composición de funciones
Pregunta 5¿En cuál de estos intervalos asegura el teorema de Bolzano que la ecuación tiene una solución?
En ese intervalo no cambia de signo: y . El teorema no asegura nada, y de hecho no hay solución allí, porque es creciente y vale en .y tienen el mismo signo, de modo que el teorema no se aplica; además, vale al menos en ese intervalo.Toda ecuación se escribe en esa forma pasando todo a un miembro: equivale a .La función es un polinomio, continuo, con y ; por el teorema de Bolzano se anula en algún punto de , que es una solución de la ecuación.Repasar: Teorema del valor intermedio
Pregunta 6La función es continua y estrictamente creciente en . ¿Cuánto vale ?
Se ha evaluado la derivada de en , que es un valor de , no un punto de su dominio que le corresponda. La fórmula es , y .Es la derivada de en el punto que corresponde a ; la de la inversa es su recíproco: al reflejar el gráfico, una pendiente se convierte en .Se ha calculado , que no es la derivada de la inversa ni está evaluada en el punto correcto.Como , se tiene , y , que no es cero. Por el teorema de la derivada de la inversa, .Repasar: Derivada de la función inversa y derivación implícita
Pregunta 7Calcular la derivada de en .
Se ha usado la regla de la potencia, , como si el exponente fuera constante. Cuando varían la base y el exponente, hay que escribir la potencia con la exponencial natural.Se ha usado la regla de la exponencial, , como si la base fuera constante. Es solo uno de los dos términos.Es la derivada de , es decir, la derivada logarítmica ; falta multiplicar por .Para todo , , y . En , y el paréntesis vale .Repasar: La variable en el exponente y la derivación logarítmica
Pregunta 8Calcular la derivada de orden de en .
Falta el coeficiente binomial : la regla de Leibniz tiene los mismos coeficientes que el binomio de Newton.Se han multiplicado las derivadas de orden de los dos factores, y la de es nula. La derivada de orden de un producto es una suma con todos los repartos de las cinco derivaciones entre los factores.En el término que deriva una vez el factor , la exponencial se deriva cuatro veces, no cinco: su derivada de orden es .Por la regla de Leibniz, como las derivadas de de orden mayor que son nulas, solo quedan dos términos: . En , el primero se anula y el segundo vale .Repasar: Derivadas sucesivas y diferencial
Pregunta 9Un rectángulo conserva su área de centímetros cuadrados mientras su base crece a razón de centímetros por segundo. ¿Con qué rapidez cambia su altura en el instante en que la base mide centímetros?
Se ha sustituido antes de derivar. La altura vale solo en ese instante; la relación que se deriva es la que vale en todo instante.Se ha perdido el signo: si el área es constante y la base crece, la altura tiene que disminuir.Es la derivada de la altura respecto de la base, . La rapidez respecto del tiempo se obtiene multiplicándola por .Si es la base e la altura, en todo instante; al derivar respecto del tiempo, . Cuando la base mide , la altura mide , y da .Pregunta 10De unidades anterioresCalcular .
Es el límite de , no el de este cociente: el coseno se aparta de mucho más despacio que el seno de .Es el límite de , con en el denominador. Con , el cociente tiene un factor más, que tiende a .solo indica que la regla del cociente no se aplica; el límite puede existir, y aquí existe.Para , el cociente es , producto de una función que tiende a por otra que tiende a .Repasar: El teorema del sándwich y los límites trigonométricos
Pregunta 11De unidades anterioresCalcular .
Se ha aplicado el límite notable sin cambiar de variable: el exponente es , no .Se ha perdido el signo del exponente: es menor que para , de modo que el cociente es negativo.Que el numerador tienda a no basta: el denominador también tiende a .Con el cambio de variable , que no se anula si , el cociente es , y el límite notable da .Repasar: Continuidad de las funciones elementales y límites notables
Pregunta 12De unidades anteriores¿Cuál de estas funciones es cuando ?
Es equivalente a , no despreciable: su cociente por tiende a .Tiende a , pero más despacio que : su cociente por no está acotado.El sumando es despreciable frente a , pero no lo es: el cociente por tiende a , y la función es del mismo orden que .Su cociente por es , que tiende a : es despreciable frente a .Pregunta 13De unidades anterioresSi , ¿cuánto vale ?
Se ha despejado , pero falta extraer la raíz cúbica.Se ha leído como el recíproco : el exponente denota aquí la función inversa, no el inverso multiplicativo.Es , la imagen de ; la inversa recorre el camino contrario y busca la preimagen.es el número cuya imagen es : da , y .Repasar: Operaciones con funciones, función inversa y transformaciones de gráficas
Pregunta 14De unidades anteriores¿Cuánto vale ?
El signo del seno no pasa al coseno: el ángulo está en , donde el coseno es positivo o nulo.Es el cuadrado del coseno, ; falta extraer la raíz.Se ha tratado el coseno como si deshiciera el arcoseno; es el seno el que lo deshace: .El arcoseno toma valores en , donde el coseno no es negativo; por la identidad pitagórica, el coseno es .
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