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Topos Uranos
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Teorema de Weierstrass de los valores extremos

Resumen

Esta clase abre el paso de lo puntual a lo global. La continuidad en un punto solo controla la función cerca de ese punto; el teorema de Weierstrass afirma que, si la función es continua en todos los puntos de un intervalo cerrado y acotado, está acotada en todo el intervalo y alcanza en él un valor máximo y un valor mínimo. Ambas afirmaciones se demuestran con el axioma de completitud, a través del supremo, como el teorema de Bolzano: la acotación, con el supremo de los puntos hasta los cuales la función está acotada y la acotación local de la clase sobre límite y continuidad; la existencia del máximo, con el supremo de los valores y una función auxiliar que sería continua y no acotada si ese supremo no se alcanzara. La clase muestra con contraejemplos que ninguna hipótesis puede suprimirse, deduce que la imagen de un intervalo cerrado y acotado es otro intervalo del mismo tipo y que, si la función vale lo mismo en los extremos, uno de sus extremos se alcanza en el interior, y aplica el teorema a funciones positivas, periódicas y definidas en toda la recta.

Objetivos de aprendizaje

  1. Distinguir el supremo de los valores de una función de su valor máximo, y expresar con cuantificadores que una función alcanza su máximo o su mínimo en un conjunto.
  2. Demostrar con el axioma de completitud que una función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza su máximo y su mínimo.
  3. Mostrar con contraejemplos que el teorema falla si el intervalo no es cerrado, si no es acotado o si la función no es continua, y reconocer que sus hipótesis son suficientes, no necesarias.
  4. Usar el teorema, junto con el del valor intermedio y los límites en el infinito, para hallar la imagen de un intervalo cerrado y acotado y para probar que una función alcanza sus extremos en dominios que no son intervalos cerrados y acotados.

Máximo, mínimo y supremo de una función

Las dos unidades anteriores estudiaron las funciones en un punto: el límite, la continuidad y la derivada describen lo que ocurre cerca de aa. Muchas preguntas, en cambio, se refieren a todo un conjunto: cuál es el mayor valor que toma una función en un intervalo, si existe alguno, o en qué punto se alcanza. La función xx en (0,1)\ioo{0}{1} no tiene un valor mayor que todos los demás: para cada xx del intervalo, el número x+12\frac{x + 1}{2} también está en él, y es mayor. Sus valores se acercan a 11 sin alcanzarlo. Conviene, por tanto, separar dos nociones: la cota más pequeña de los valores, que existe en cuanto los valores están acotados, y el valor máximo, que es un valor de la función.

DefiniciónFunción acotada; máximo y mínimo de una función en un conjunto

Sean ff una función definida en un conjunto AA y SS un subconjunto no vacío de AA. Se dice que ff está acotada superiormente en SS si existe un número KK tal que f(x)≤Kf(x) \leq K para todo xx de SS; acotada inferiormente, si existe KK tal que f(x)≥Kf(x) \geq K para todo xx de SS; y acotada, si lo está de ambos modos, es decir, si existe KK tal que ∣f(x)∣≤K\abs{f(x)} \leq K para todo xx de SS. Se dice que ff alcanza su máximo en SS en un punto x0x_0 de SS si el valor f(x0)f(x_0) no es superado por ningún otro valor de ff en SS, y que alcanza su mínimo en x0x_0 si no hay en SS un valor menor:

(∀x∈S)(f(x)≤f(x0)),(∀x∈S)(f(x0)≤f(x))(\forall x \in S)\left(f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\forall x \in S)\left(f(x_0) \leq f(x)\right)

El número f(x0)f(x_0) es el valor máximo (o el valor mínimo) de ff en SS, y se escribe max⁡x∈Sf(x)\max_{x \in S} f(x) (o min⁡x∈Sf(x)\min_{x \in S} f(x)); el punto x0x_0 es un punto de máximo (o de mínimo).

El valor máximo, si existe, es único, porque dos valores máximos serían cada uno mayor o igual que el otro; el punto de máximo puede no serlo: el coseno alcanza su máximo 11 en [0,4π]\icc{0}{4\pi} en tres puntos, 00, 2π2\pi y 4π4\pi. La clase sobre máximos y mínimos llamará absolutos a estos extremos, para distinguirlos de los locales, que solo comparan f(x0)f(x_0) con los valores cercanos.

Si ff está acotada superiormente en SS, el conjunto de sus valores, f(S)f(S), no es vacío y está acotado superiormente; por el axioma de completitud, recordado en la clase sobre la recta real, tiene un supremo, que se escribe sup⁡x∈Sf(x)\sup_{x \in S} f(x). La relación entre las dos nociones es simple: ff alcanza su máximo en SS si y solo si el supremo de sus valores es uno de ellos, y entonces ambos coinciden. En efecto, si f(x0)f(x_0) es el valor máximo, es una cota superior de f(S)f(S) que pertenece a f(S)f(S), y ninguna cota menor puede serlo; recíprocamente, si el supremo es un valor f(x0)f(x_0), ningún valor lo supera. La función xx en (0,1)\ioo{0}{1} está acotada, su supremo es 11 y no lo alcanza; su ínfimo es 00 y tampoco lo alcanza. El teorema de Weierstrass da condiciones bajo las cuales esto no ocurre.