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Topos Uranos
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Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy

Resumen

Esta clase pasa de lo que la derivada dice en un punto a lo que dice en un intervalo. Define los extremos locales y demuestra el teorema de Fermat: si una función alcanza un extremo local en un punto interior de su dominio y es derivable allí, su derivada se anula; la demostración sale de la proposición sobre el signo de la derivada en un punto, de la clase sobre las razones de cambio. Junto con el teorema de Weierstrass, de la clase anterior, Fermat da el teorema de Rolle; Rolle, aplicado a la diferencia entre la función y su cuerda, da el teorema del valor medio de Lagrange, según el cual alguna tangente es paralela a la cuerda; y aplicado a una combinación de dos funciones, el teorema del valor medio de Cauchy, con el que la clase siguiente demostrará la regla de L'Hôpital. Del valor medio salen las primeras consecuencias globales: una función con derivada nula en un intervalo es constante, dos funciones con la misma derivada difieren en una constante, una cota de la derivada acota los incrementos, entre dos raíces de una función hay una raíz de su derivada, y el límite de la derivada, si existe, es la derivada. Ejemplos sencillos muestran que ninguna hipótesis de los teoremas puede suprimirse.

Objetivos de aprendizaje

  1. Expresar con cuantificadores qué es un extremo local, y demostrar el teorema de Fermat distinguiendo la condición necesaria que da de una condición suficiente.
  2. Demostrar los teoremas de Rolle, del valor medio de Lagrange y del valor medio de Cauchy, leerlos en el gráfico y mostrar con contraejemplos que sus hipótesis no pueden suprimirse.
  3. Deducir del valor medio que una función con derivada nula en un intervalo es constante, y obtener desigualdades y cotas de error a partir de una cota de la derivada.
  4. Contar las raíces de una ecuación, acotándolas por arriba con el teorema de Rolle y por abajo con el de Bolzano.

Extremos locales y el teorema de Fermat

La clase sobre el teorema de Weierstrass garantiza que una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza su máximo y su mínimo, pero no dice dónde. Para localizarlos conviene una noción que solo mire cerca del punto: un valor puede ser el mayor entre los cercanos sin ser el mayor de todos.

DefiniciónExtremo local y punto interior

Sean ff una función definida en un conjunto AA y x0x_0 un elemento de AA. Se dice que ff alcanza un máximo local en x0x_0 si existe un δ>0\delta > 0 tal que ningún valor de ff en los puntos de AA que distan de x0x_0 menos que δ\delta supera a f(x0)f(x_0), y que alcanza un mínimo local en x0x_0 si ninguno de esos valores es menor que f(x0)f(x_0):

(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x)≤f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−x0∣<δ→f(x0)≤f(x))(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) \leq f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x_0) \leq f(x)\right)

Un extremo local es un máximo local o un mínimo local. El punto x0x_0 es un punto interior de AA si existe un r>0r > 0 tal que (x0−r,x0+r)⊆A\ioo{x_0 - r}{x_0 + r} \subseteq A.

Si ff alcanza su máximo en AA en el punto x0x_0, en el sentido de la clase anterior, alcanza allí un máximo local, con cualquier δ\delta; el recíproco es falso. Consideremos f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x. Como 2−f(x)=(x+1)2(2−x)2 - f(x) = (x + 1)^2 (2 - x), se cumple f(x)≤2=f(−1)f(x) \leq 2 = f(-1) para todo x≤2x \leq 2: la función alcanza en −1-1 un máximo local, con δ=3\delta = 3, que no es su máximo en R\mathbb{R}, porque f(3)=18f(3) = 18. Los puntos interiores de un intervalo son todos sus puntos salvo los extremos que le pertenecen; los de [a,b]\icc{a}{b} son los de (a,b)\ioo{a}{b}. Un extremo local puede estar en el borde: la función xx, en [0,1]\icc{0}{1}, alcanza su mínimo en 00 y su máximo en 11.

TeoremaTeorema de Fermat

Sean ff una función definida en un conjunto AA y aa un punto interior de AA. Si ff alcanza en aa un extremo local y es derivable en aa, entonces f′(a)=0f'(a) = 0. Si la derivada fuera positiva, la proposición del signo de la derivada pondría a la derecha de aa, muy cerca, valores mayores que f(a)f(a); si fuera negativa, los pondría a la izquierda. La figura muestra, con f(x)=x3−3xf(x) = x^3 - 3x y su máximo local en a=−1a = -1, por qué ninguna de las dos pendientes es posible.

Demostración

  1. x∈A, ∣x−a∣<δ0→f(x)≤f(a),F′(a)=f′(a)x \in A, \ \abs{x - a} < \delta_0 \rightarrow \dato{max}{f(x) \leq f(a)}, \qquad \resaltar{F'(a) = f'(a)}

    Supongamos primero que ff alcanza en aa un máximo local, con un δ0>0\delta_0 > 0, y sea r>0r > 0 tal que el intervalo I=(a−r,a+r)I = \ioo{a - r}{a + r} esté contenido en AA. Sea FF la restricción de ff a II. Todo xx de AA con ∣x−a∣<r\abs{x - a} < r está en II; por el lema del carácter local de la derivada, de la clase sobre las reglas de derivación, FF es derivable en aa, con la misma derivada.

  2. f(a+ρ2)>f(a),f(a+ρ2)≤f(a)f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad \resaltar{f\left(a + \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a)}

    Si f′(a)>0f'(a) > 0, la proposición del signo de la derivada en un punto, de la clase sobre las razones de cambio, aplicada a FF en el intervalo abierto II, da un δ>0\delta > 0 tal que f(x)>f(a)f(x) > f(a) para todo xx de II con a<x<a+δa < x < a + \delta. Sea ρ\rho el menor de los números δ\delta, δ0\delta_0 y rr. El punto a+ρ2a + \frac{\rho}{2} está en II, cumple esa condición y dista de aa menos que δ0\delta_0: su valor sería a la vez mayor que f(a)f(a) y no mayor. Por tanto, f′(a)>0f'(a) > 0 es imposible.

  3. f(a−ρ2)>f(a),f(a−ρ2)≤f(a)→f′(a)=0f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) > f(a), \qquad f\left(a - \frac{\rho}{2}\right) \leq f(a) \qquad \rightarrow \qquad \resaltar{f'(a) = 0}

    Si f′(a)<0f'(a) < 0, la misma proposición, con las desigualdades entre los valores invertidas, da un δ>0\delta > 0 tal que f(x)>f(a)f(x) > f(a) para todo xx de II con a−δ<x<aa - \delta < x < a, y el punto a−ρ2a - \frac{\rho}{2} produce la misma contradicción. Como la derivada no es positiva ni negativa, es nula.

  4. (−f)′(a)=−f′(a)=0→f′(a)=0(-f)'(a) = -f'(a) = 0 \rightarrow \resaltar{f'(a) = 0}

    Si ff alcanza en aa un mínimo local, −f-f alcanza allí un máximo local, y es derivable en aa, con derivada −f′(a)-f'(a), por el teorema de la derivada de una combinación lineal, de la clase sobre las reglas de derivación. Por lo ya demostrado, esa derivada es nula.

El teorema da una condición necesaria, no suficiente: x3x^3 tiene derivada nula en 00 y no alcanza allí ningún extremo local, porque toma valores negativos a la izquierda de 00 y positivos a la derecha. Las otras dos hipótesis tampoco pueden suprimirse. Si aa no es interior, la derivada puede no anularse: la función xx, en [0,1]\icc{0}{1}, alcanza su máximo en 11, y su derivada allí, que es el límite del cociente incremental por la izquierda porque el dominio no tiene puntos a la derecha de 11, vale 11. Si ff no es derivable en aa, el teorema no dice nada: ∣x∣\abs{x} alcanza su mínimo en 00, donde no es derivable. Por tanto, los extremos locales de una función se buscan entre los puntos interiores en que la derivada se anula, los puntos en que no es derivable y los puntos que no son interiores; la clase sobre monotonía les dará nombre y un criterio para decidir cuáles son extremos. El problema resuelto 1 de la clase sobre las reglas de derivación observó que las tangentes horizontales de xx2+1\frac{x}{x^2 + 1} tocan el gráfico en sus valores mayor y menor, y anunció que no era una coincidencia: una función derivable en R\mathbb{R} que alcanza su máximo lo alcanza en un punto interior, donde el teorema de Fermat anula la derivada.