Monotonía y criterio de la primera derivada

El signo de la derivada y la monotonía

La proposición del signo de la derivada en un punto, de la clase sobre las razones de cambio, compara cada valor cercano a $a$ con $f(a)$, y nada más: la función $x + 2x^2 \sin \frac{1}{x}$, completada con $0$ en $0$, tiene derivada $1$ en $0$ y no es creciente en ningún intervalo que contenga a $0$. Para obtener información sobre un intervalo entero hay que conocer el signo de la derivada en todos sus puntos, y el teorema del valor medio, de la clase sobre los teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy, traduce ese conocimiento en una comparación de valores. Recordemos que, según la clase sobre las operaciones con funciones, de Álgebra y Geometría I, una función $f$ es creciente en un conjunto $I$ si $x < y$ implica $f(x) \leq f(y)$ para todos sus puntos, y estrictamente creciente si implica $f(x) < f(y)$:

y decreciente o estrictamente decreciente si implica $f(x) \geq f(y)$ o $f(x) > f(y)$.

La derivada solo se pide en los puntos interiores; en los extremos que pertenecen al intervalo basta la continuidad. Así, $\sqrt{x}$ es estrictamente creciente en $\ico{0}{\infty}$, aunque no es derivable en $0$. El teorema cumple tres anuncios de la unidad sobre las derivadas. La clase sobre las derivadas de las funciones elementales observó que la derivada de la tangente, $1 + \tan^2 x$, es positiva, aunque la tangente no es creciente en su dominio, que no es un intervalo; en cada intervalo $\ioo{-\frac{\pi}{2} + k\pi}{\frac{\pi}{2} + k\pi}$, con $k$ entero, el teorema la hace estrictamente creciente. La clase sobre la variable en el exponente calculó la derivada $x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \ln x}{x^2}$, que es positiva en $\ioo{0}{e}$ y negativa en $\ioo{e}{\infty}$; como la función es continua en $\ioo{0}{\infty}$, es estrictamente creciente en $\ioc{0}{e}$ y estrictamente decreciente en $\ico{e}{\infty}$. Esto recupera la proposición del máximo de $x$ elevado a $\frac{1}{x}$, de aquella clase, y además compara dos números del mismo lado de $e$: como $e < 3 < 4$, se tiene $3^{\frac{1}{3}} > 4^{\frac{1}{4}}$, es decir, $3^4 > 4^3$. La misma clase demostró que la derivada de $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ es positiva en todo $x > 0$: la función es estrictamente creciente en $\ioo{0}{\infty}$.

Para una función derivable en todos los puntos de un intervalo abierto, ser creciente equivale, por tanto, a tener derivada no negativa. El recíproco no se extiende a la monotonía estricta: $x^3$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$, y su derivada se anula en $0$. La proposición explica también el ejemplo del comienzo: la clase sobre las razones de cambio halló, arbitrariamente cerca de $0$, puntos en que la derivada de $x + 2x^2 \sin \frac{1}{x}$ es negativa, y en ningún intervalo que los contenga la función puede ser creciente. El defecto está en que esa derivada no es continua en $0$; si lo es, el signo en un punto se extiende a un intervalo.

¿Cuándo es estrictamente creciente una función de derivada no negativa? El ejemplo de $x^3$ muestra que la derivada puede anularse en algún punto; lo que no puede es anularse en todo un intervalo.

La función $x + \sin x$, del problema resuelto 1 de la clase sobre la derivada de la función inversa, tiene derivada $1 + \cos x \geq 0$, que se anula en los infinitos puntos $\pi + 2k\pi$; entre dos de ellos consecutivos la derivada es positiva, y ningún intervalo está formado por ceros. La proposición la hace estrictamente creciente en $\mathbb{R}$, lo que aquella clase obtuvo con la fórmula de la diferencia de dos senos y allí parecía sorprendente. El mismo razonamiento admite un número finito de puntos sin derivada: si $f$ es continua en $I$ y tiene derivada positiva en todos sus puntos interiores salvo en $x_1 < \dots < x_k$, el teorema la hace estrictamente creciente en cada intervalo entre dos de esos puntos consecutivos (y en los tramos de los extremos), y las desigualdades se encadenan. Así, $\sqrt[3]{x}$ es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$, aunque no es derivable en $0$. La continuidad no puede suprimirse (problema propuesto 1).

Las evaluaciones de la unidad sobre las derivadas daban por sabido que $x^5 + x$ y $x^3 + 2x + 1$ son estrictamente crecientes en $\mathbb{R}$; ahora basta observar que sus derivadas, $5x^4 + 1$ y $3x^2 + 2$, son positivas. Y el desafío de la inversa de $x e^x$, en la síntesis de aquella unidad, que pedía demostrar sin el signo de la derivada que esa función es estrictamente creciente en $\ico{-1}{\infty}$, se resuelve ahora en una línea: es continua allí y su derivada, $(1 + x) e^x$, es positiva en $\ioo{-1}{\infty}$.