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Topos Uranos
Español

Máximos y mínimos de una función

Resumen

Esta clase reúne los resultados de las anteriores en un método para hallar los extremos de una función. Llama absolutos al máximo y al mínimo de una función en su dominio, para distinguirlos de los locales, y define los extremos estrictos. Demuestra después dos criterios que deciden si un punto con derivada nula es un extremo local sin estudiar el signo de la derivada a su alrededor: el de la segunda derivada, que sale del criterio de la primera derivada, y el de las derivadas superiores, que sale de la regla de L'Hôpital: si la primera derivada que no se anula en el punto es de orden par, hay un extremo, y si es de orden impar, no lo hay. La segunda parte trata los extremos absolutos. En un intervalo cerrado y acotado existen, por el teorema de Weierstrass, y el teorema de Fermat los confina a una lista de candidatos, los extremos del intervalo y los puntos críticos, entre los que basta comparar valores. En un intervalo abierto o no acotado pueden no existir, y se deciden con la monotonía o con los límites en los extremos del intervalo; en particular, si una función continua en un intervalo tiene un único punto crítico y alcanza en él un extremo local, ese extremo es absoluto.

Objetivos de aprendizaje

  1. Distinguir con cuantificadores los extremos absolutos de los locales, y los estrictos de los que no lo son, y reconocer cada caso en ejemplos.
  2. Demostrar los criterios de la segunda derivada y de las derivadas superiores, y decidir con ellos si un punto con derivada nula es un máximo local, un mínimo local o ninguna de las dos cosas, incluso cuando la segunda derivada se anula.
  3. Hallar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado y acotado comparando sus valores en los extremos del intervalo y en los puntos críticos.
  4. Decidir si una función alcanza sus extremos absolutos en un intervalo abierto o no acotado, con la monotonía, con un único punto crítico o con los límites en los extremos del intervalo.

Extremos absolutos, locales y estrictos

La clase sobre el teorema de Weierstrass definió el máximo y el mínimo de una función en un conjunto, y la clase sobre los teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy, los extremos locales, que solo comparan el valor en un punto con los valores cercanos. Conviene ahora dar a los primeros un nombre que los distinga de los segundos, y precisar cuándo el valor en el punto es mayor que todos los demás con que se compara, y no solo mayor o igual.

DefiniciónExtremos absolutos y extremos estrictos

Sean ff una función definida en un conjunto AA y x0x_0 un elemento de AA. Se dice que ff alcanza en x0x_0 un máximo absoluto si alcanza en x0x_0 su máximo en AA, y un mínimo absoluto si alcanza en x0x_0 su mínimo en AA, en el sentido de la clase sobre el teorema de Weierstrass; un extremo absoluto es un máximo o un mínimo absoluto. Un máximo absoluto o local es estricto si f(x0)f(x_0) es mayor que cada uno de los otros valores con que se compara:

(∀x∈A)(x≠x0→f(x)<f(x0)),(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−x0∣<δ→f(x)<f(x0))(\forall x \in A)\left(x \neq x_0 \rightarrow f(x) < f(x_0)\right), \qquad (\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - x_0} < \delta \rightarrow f(x) < f(x_0)\right)

La primera fórmula define el máximo absoluto estricto, y la segunda, el máximo local estricto; los mínimos estrictos se definen del mismo modo, con f(x)>f(x0)f(x) > f(x_0).

Los extremos absolutos se llaman también globales, y los locales, relativos. Todo extremo absoluto es local, con cualquier δ\delta, y todo extremo estricto es un extremo; los recíprocos son falsos. La función x3−3xx^3 - 3x alcanza en −1-1 un máximo local que no es absoluto, como se vio en la clase sobre los teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy. El coseno alcanza su máximo absoluto en R\mathbb{R} en cada múltiplo de 2π2\pi; ninguno de esos máximos es absoluto estricto, porque el valor 11 se repite, y cada uno es local estricto, porque cos⁡x<1\cos x < 1 si 0<∣x−2kπ∣<2π0 < \abs{x - 2k\pi} < 2\pi. Una función constante alcanza en cada punto un máximo y un mínimo absolutos, y ninguno es estricto. En general, si ff alcanza en x0x_0 a la vez un máximo y un mínimo local, es constante cerca de x0x_0. El valor máximo absoluto, si existe, es único; un máximo absoluto estricto, además, se alcanza en un solo punto.

Los extremos dependen del dominio. Si ff alcanza un extremo en x0x_0 y BB es un subconjunto de AA que contiene a x0x_0, la restricción de ff a BB también lo alcanza, porque se compara con menos valores; el recíproco es falso: x2x^2 alcanza en [1,2]\icc{1}{2} su mínimo absoluto en 11, y en R\mathbb{R} no tiene en 11 ningún extremo.