Derivadas: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad sobre las derivadas. Reúne en una sola cadena deductiva lo que las diez clases de la unidad demostraron: la derivada como límite del cociente incremental, sus tres caracterizaciones equivalentes y las reglas de derivación, obtenidas todas de la factorización de Carathéodory sin dividir por cantidades que pueden anularse, junto con las derivadas de las funciones elementales y la regla de la cadena; el teorema del valor intermedio y la continuidad de la inversa, que sostienen la derivada de la función inversa, y la reducción a la exponencial natural de las potencias y exponenciales de cualquier base; y las derivadas sucesivas, la diferencial y las razones de cambio. Explica cómo la unidad se apoya en la unidad anterior y en Álgebra y Geometría I y II, y cómo prepara las aplicaciones de las derivadas. Termina con una evaluación de salida, paralela a la de entrada, y con diez desafíos, más difíciles que los problemas de las clases, cada uno de los cuales combina resultados de varias de ellas.

Objetivos de aprendizaje

Exponer en orden lógico las definiciones y los teoremas principales de la unidad, indicando de qué resultados anteriores depende cada uno y en qué demostraciones se reutiliza la factorización de Carathéodory.
Distinguir lo que la unidad admite de lo que demuestra, y reconocer las hipótesis de cada resultado, como la de la derivada de la inversa o la que exige la derivación implícita.
Relacionar los resultados de la unidad con la unidad sobre los límites y la continuidad, con Álgebra y Geometría I y II y con las aplicaciones de las derivadas.
Resolver problemas no rutinarios que combinan la definición de derivada, las reglas, la regla de la cadena, el valor intermedio, la derivada de la inversa, las potencias de exponente variable, las derivadas sucesivas, la diferencial y las razones de cambio.

Lo logrado en la unidad

La unidad entera descansa en una idea: la derivada es un límite, y la unidad anterior ya había entregado todo lo necesario para calcularlo y manejarlo. Pero el cociente incremental es una división, y dividir por un incremento que puede anularse es la fuente de las demostraciones defectuosas. La caracterización de Carathéodory reemplaza la división por un producto, con un factor $\varphi$ continuo en $a$ :

f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a), \qquad \varphi(a) = f'(a)

Con ella, demostrar que una función es derivable se reduce a factorizar su incremento con un factor continuo, y la continuidad del factor la deciden los teoremas de la unidad anterior. Así se obtuvieron las reglas de la combinación lineal, del producto y del recíproco, la regla de la cadena y la derivada de la función inversa, cada una citando las anteriores en lugar de rehacerlas.

La definición y las reglas

La clase sobre la derivada como límite llegó a la misma definición desde la tangente y desde la velocidad, y fijó dónde tiene sentido: en un punto del dominio que es punto de acumulación de él. Escribió la derivada como enunciado cuantificado, definió las derivadas laterales como límites laterales del cociente incremental, las rectas tangente y normal, la función derivada y la notación de Leibniz, y demostró que la derivada admite tres formulaciones equivalentes: el límite del cociente incremental, la aproximación $f(a + h) = f(a) + f'(a)h + \operatorname{o}(h)$ y la factorización de Carathéodory. De esta última salió en dos líneas que derivable implica continua; el valor absoluto y la raíz cúbica mostraron que no al revés. La clase sobre las reglas de derivación demostró primero que la derivada solo depende de lo que ocurre cerca del punto, y después, combinando factorizaciones, las reglas de la combinación lineal, del producto, del recíproco y del cociente; con ellas derivó las potencias de exponente entero, los polinomios y las funciones racionales, y decidió la derivabilidad en el punto de unión de dos tramos, donde las derivadas de las fórmulas no bastan. La clase sobre las derivadas de las funciones elementales obtuvo las del seno y del coseno del límite fundamental trigonométrico y de las fórmulas de suma, las de la exponencial natural y de $\ln \abs{x}$ de los límites notables, sin la regla de la cadena ni la de la inversa, y las de las demás trigonométricas y las hiperbólicas con las reglas. La clase sobre la regla de la cadena encadenó dos factorizaciones, explicó por qué la demostración que divide por $g(x) - g(a)$ falla cuando la función interior repite su valor, cuidó el dominio de la composición y escribió la regla en la notación de Leibniz, donde parece una simplificación de fracciones sin serlo.

La continuidad, las inversas y los exponentes

La clase sobre el teorema del valor intermedio demostró el teorema de Bolzano con el supremo de los puntos donde la función es negativa y la conservación del signo, y de él obtuvo el teorema del valor intermedio, que la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo y que la inversa de una función continua y estrictamente monótona en un intervalo es continua; el método de bisección convirtió la demostración en un procedimiento. La clase sobre la derivada de la función inversa leyó al revés la factorización de Carathéodory: si $f'(a) \neq 0$ , el factor no se anula, y su recíproco, compuesto con la inversa continua, factoriza el incremento de la inversa; si $f'(a) = 0$ , la regla de la cadena impide que la inversa sea derivable. Con ese teorema derivó las trigonométricas inversas, las inversas hiperbólicas, las raíces y las potencias de exponente racional, y derivó funciones definidas implícitamente, suponiendo en cada caso que existen y son derivables. La clase sobre la variable en el exponente redujo todo a la exponencial natural, con $a^x = e^{x \ln a}$ y $\left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ : derivó la exponencial y el logaritmo de cualquier base, las potencias de exponente real y las de base y exponente variables, justificó la derivación logarítmica probando la derivabilidad antes de tomar logaritmos, y decidió que $\pi^e < e^\pi$ con la tangente al logaritmo que pasa por el origen.

Las derivadas sucesivas y las razones de cambio

La clase sobre las derivadas sucesivas y la diferencial definió por recursión las derivadas de orden superior, con su dominio, y demostró por inducción las fórmulas de orden $n$ de las potencias, la exponencial, el seno y el coseno, y la regla de Leibniz, que tiene los coeficientes del binomio de Newton. Dio sentido por separado a $\mathrm{d}y$ y $\mathrm{d}x$ : la diferencial $\mathrm{d}y = f'(x) \, \mathrm{d}x$ es la única parte lineal del incremento que difiere de él en una cantidad despreciable frente a $\Delta x$ ; la usó para aproximar valores y para estimar la propagación de los errores, sin acotar el error de la aproximación, que exige instrumentos posteriores. La clase sobre las razones de cambio leyó la derivada como la rapidez con que cambia una magnitud: distinguió la razón media, la instantánea y la relativa, caracterizó el crecimiento con razón relativa constante, describió el movimiento sobre una recta con la velocidad, la rapidez y la aceleración, demostró qué dice el signo de la derivada en un punto sobre los valores cercanos, y no más, y fundó en la regla de la cadena un método explícito para las tasas relacionadas.

Lo que se admite, lo que se demuestra y lo que queda

El balance de la unidad puede resumirse así:

Se admiten el axioma de completitud, que en esta unidad solo usa directamente el teorema de Bolzano, los teoremas de la unidad sobre los límites y la continuidad y resultados demostrados en Álgebra y Geometría: las fórmulas de suma, las identidades fundamentales, las leyes de los exponentes y de los logaritmos, la desigualdad $e^x \geq 1 + x$ , la monotonía de las funciones que definen las inversas, la inducción y el binomio de Newton. Se supone, además, en cada caso, que una ecuación define una función derivable cuando se la deriva implícitamente.
Se demuestran hechos que Álgebra y Geometría había admitido o anunciado: el teorema del valor intermedio, que la tangente al gráfico de $e^x$ en $(0, 1)$ tiene pendiente $1$ y que $e$ es la única base cuya exponencial la tiene; y la tangente, que para las cónicas se definía como la recta que toca la curva sin cortarla, pasa a definirse para cualquier gráfico.
Se reutilizan cuatro instrumentos en lugar de repetir argumentos: la factorización de Carathéodory, el teorema de que derivable implica continua, el carácter local de la derivada y la conservación del signo.
Queda para después lo que exige más que la derivada en un punto: el teorema del valor medio y lo que se sigue de él, la monotonía por el signo de la derivada, los extremos, la regla de L'Hôpital y las cotas del error de la diferencial, en la unidad siguiente; el polinomio de Taylor y la integral, en Cálculo II; y el teorema que garantiza las funciones definidas implícitamente, en el cálculo en varias variables.

La figura siguiente reúne los tres tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que proceden de la unidad anterior o de Álgebra y Geometría, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

AAxioma de completitud. Se admite, desde Álgebra y Geometría I, que los reales forman un cuerpo ordenado completo: todo conjunto no vacío de reales acotado superiormente tiene supremo. Se admite sin demostración en esta unidad.
BHerencia de la unidad 1. Resultados demostrados en la unidad sobre los límites y la continuidad: el álgebra de límites, con el límite de una restricción y el de una composición; los límites laterales; la continuidad, la de las operaciones y la de la composición; la continuidad de las funciones elementales y de la inversa de una función monótona cuya imagen es un intervalo; los límites de $\frac{\sin h}{h}$ , $\frac{1 - \cos h}{h}$ , $\frac{e^h - 1}{h}$ y $\frac{\ln(1 + h)}{h}$ en $0$ ; y la $\operatorname{o}$ pequeña y la equivalencia. Se admite sin demostración en esta unidad.
CConservación del signo. Demostrada en la unidad sobre los límites y la continuidad: si $f$ tiende en $a$ a un límite $L \neq 0$ , cerca de $a$ la función tiene el signo de $L$ ; y si $f$ es continua en $a$ con $f(a) \neq 0$ , cerca de $a$ tiene el signo de $f(a)$ y no se anula. Se admite sin demostración en esta unidad.
DHerencia de Álgebra y Geometría. Resultados demostrados en Álgebra y Geometría I y II: la inducción, el binomio de Newton y la regla de Pascal; las fórmulas de suma y las identidades fundamentales trigonométricas e hiperbólicas; las leyes de los exponentes y de los logaritmos, el cambio de base y la desigualdad $e^x \geq 1 + x$ ; y la monotonía de las restricciones que definen las trigonométricas inversas y de las funciones hiperbólicas. Se admite sin demostración en esta unidad.
EFactorización de Carathéodory. $f$ es derivable en $a$ , con $f'(a) = L$ , si y solo si existe $\varphi$ , continua en $a$ , con $\varphi(a) = L$ y $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ en todo el dominio: para derivar basta factorizar el incremento, sin dividir. Se establece en: 3. Tres caracterizaciones.
FDerivable implica continua. Toda función derivable en un punto es continua en él; las reglas lo usan para que el factor de Carathéodory resulte continuo. Se establece en: 4. Derivable implica continua.
GCarácter local. La derivada en $a$ no cambia al restringir la función a un conjunto del que $a$ sigue siendo punto de acumulación, y solo depende de los valores cercanos a $a$ ; por eso se trabaja en la intersección de los dominios o en un intervalo abierto. Se establece en: 5. Carácter local de la derivada.

Tramo 1 La definición y las reglas
- Definir la derivada en un punto de acumulación del dominio como el límite del cociente incremental, con sus derivadas laterales, y escribirla como enunciado cuantificado.
- Demostrar la equivalencia del cociente incremental, la aproximación lineal y la factorización de Carathéodory, y deducir que derivable implica continua, pero no al revés.
- Obtener con factorizaciones, sin dividir por incrementos, las reglas de la combinación lineal, del producto, del recíproco y del cociente, y derivar polinomios, funciones racionales y funciones por tramos.
- Derivar las funciones trigonométricas, la exponencial, el logaritmo y las hiperbólicas con los límites de la unidad anterior, y sus composiciones con la regla de la cadena.
1. Definición de derivada. Si $a$ es un elemento del dominio $A$ de $f$ que es punto de acumulación de $A$ , $f'(a) = L$ cuando $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{\frac{f(x) - f(a)}{x - a} - L} < \varepsilon\right)$ ; equivalentemente, $\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h} = L$ .
  Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: La derivada como el límite de una función.
2. Derivadas laterales. Las derivadas laterales $f'_+(a)$ y $f'_-(a)$ son los límites laterales del cociente incremental; si $a$ es punto de acumulación del dominio por ambos lados, $f$ es derivable en $a$ si y solo si las dos existen y son iguales, y si lo es por un solo lado, la derivada es la de ese lado.
  Usa: 1. Definición de derivada. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: La derivada como el límite de una función.
3. Tres caracterizaciones. Son equivalentes: $f'(a) = L$ ; $f(a + h) = f(a) + Lh + \operatorname{o}(h)$ cuando $h$ tiende a $0$ ; y la existencia de una función $\varphi$ , continua en $a$ , con $\varphi(a) = L$ , tal que $f(x) - f(a) = \varphi(x)(x - a)$ para todo $x$ del dominio.
  Usa: 1. Definición de derivada. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: La derivada como el límite de una función.
4. Derivable implica continua. Si $f$ es derivable en $a$ , es continua en $a$ ; el recíproco es falso: $\abs{x}$ y $\sqrt[3]{x}$ son continuas en $0$ y no son derivables en $0$ .
  Usa: 2. Derivadas laterales, 3. Tres caracterizaciones. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), E (Factorización de Carathéodory). Se demuestra en: La derivada como el límite de una función.
5. Carácter local de la derivada. Si $F$ es la restricción de $f$ a un conjunto $B$ que contiene a $a$ y del que $a$ es punto de acumulación, y $f$ es derivable en $a$ , entonces $F'(a) = f'(a)$ ; y si $B$ contiene todos los puntos del dominio cercanos a $a$ , $f$ es derivable en $a$ si y solo si $F$ lo es.
  Usa: 1. Definición de derivada. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Reglas de derivación.
6. Combinación lineal y producto. Si $f$ y $g$ son derivables en $a$ , también lo son $\alpha f + g$ y $fg$ , con $(\alpha f + g)'(a) = \alpha f'(a) + g'(a)$ y $(fg)'(a) = f'(a) \, g(a) + f(a) \, g'(a)$ .
  Usa: 3. Tres caracterizaciones, 4. Derivable implica continua. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), E (Factorización de Carathéodory), F (Derivable implica continua). Se demuestra en: Reglas de derivación.
7. Recíproco y cociente. Si $f$ y $g$ son derivables en $a$ y $g(a) \neq 0$ , entonces $a$ es punto de acumulación del dominio de $\frac{f}{g}$ , y se cumplen $\left(\frac{1}{g}\right)'(a) = -\frac{g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ y $\left(\frac{f}{g}\right)'(a) = \frac{f'(a) \, g(a) - f(a) \, g'(a)}{\left(g(a)\right)^2}$ .
  Usa: 3. Tres caracterizaciones, 4. Derivable implica continua, 5. Carácter local de la derivada, 6. Combinación lineal y producto. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), C (Conservación del signo), E (Factorización de Carathéodory), F (Derivable implica continua), G (Carácter local). Se demuestra en: Reglas de derivación.
8. Potencias, polinomios y funciones racionales. Para todo entero $m \neq 0$ , la derivada de $x^m$ es $m x^{m - 1}$ en todo su dominio; todo polinomio es derivable en $\mathbb{R}$ , con la derivada término a término, y toda función racional es derivable en su dominio.
  Usa: 1. Definición de derivada, 6. Combinación lineal y producto, 7. Recíproco y cociente. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Reglas de derivación.
9. Derivada en un punto de unión. Si $f$ coincide con $g$ a la izquierda de $c$ y con $h$ a la derecha, con $g$ y $h$ derivables en $c$ , entonces $f$ es derivable en $c$ si y solo si $g(c) = f(c) = h(c)$ y $g'(c) = h'(c)$ ; comparar las derivadas de las fórmulas no basta.
  Usa: 2. Derivadas laterales, 4. Derivable implica continua. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), F (Derivable implica continua). Se demuestra en: Reglas de derivación.
10. Funciones trigonométricas. Para todo real $x$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin x\right) = \cos x$ y $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\cos x\right) = -\sin x$ ; donde $\cos x \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\tan x\right) = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$ ; y la cotangente, la secante y la cosecante se derivan con el cociente y el recíproco.
  Usa: 1. Definición de derivada, 6. Combinación lineal y producto, 7. Recíproco y cociente. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Derivadas de las funciones elementales.
11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(e^x\right) = e^x$ en $\mathbb{R}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\ln \abs{x}\right) = \frac{1}{x}$ en $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ , y las derivadas de $\sinh x$ , $\cosh x$ y $\tanh x$ son $\cosh x$ , $\sinh x$ y $\frac{1}{\cosh^2 x}$ .
  Usa: 1. Definición de derivada, 6. Combinación lineal y producto, 7. Recíproco y cociente. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Derivadas de las funciones elementales.
12. Regla de la cadena. Si $g$ es derivable en $a$ y $f$ , definida en un conjunto que contiene los valores de $g$ , es derivable en $g(a)$ , entonces $(f \circ g)'(a) = f'(g(a)) \, g'(a)$ ; la demostración que divide por $g(x) - g(a)$ solo vale cuando $g'(a) \neq 0$ .
  Usa: 3. Tres caracterizaciones, 4. Derivable implica continua. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), C (Conservación del signo), E (Factorización de Carathéodory), F (Derivable implica continua). Se demuestra en: Regla de la cadena para la derivada de la composición de funciones.
13. Composiciones usuales. La regla vale en el dominio de $f \circ g$ cuando $a$ es punto de acumulación de él, lo que ocurre si el dominio de $f$ contiene un intervalo de centro $g(a)$ ; con ella, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\left(g(x)\right)^m\right) = m \left(g(x)\right)^{m - 1} g'(x)$ para todo entero $m \neq 0$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{g(x)}\right) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ si $g(a) > 0$ , y $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sin g(x)\right) = \cos g(x) \cdot g'(x)$ .
  Usa: 1. Definición de derivada, 5. Carácter local de la derivada, 8. Potencias, polinomios y funciones racionales, 10. Funciones trigonométricas, 12. Regla de la cadena. Se apoya en: C (Conservación del signo), F (Derivable implica continua), G (Carácter local). Se demuestra en: Regla de la cadena para la derivada de la composición de funciones.
Tramo 2 La continuidad, las inversas y los exponentes
- Demostrar con el supremo el teorema de Bolzano y, con él, el del valor intermedio, que la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo y que la inversa de una función continua y estrictamente monótona es continua.
- Demostrar la derivada de la función inversa leyendo al revés la factorización de Carathéodory, y derivar las trigonométricas inversas, las inversas hiperbólicas, las raíces y las potencias de exponente racional.
- Derivar funciones definidas implícitamente, distinguiendo el cálculo de la derivada de la prueba de que existe.
- Reducir a la exponencial natural las exponenciales y los logaritmos de cualquier base y las potencias de exponente real o de base y exponente variables, y justificar la derivación logarítmica.
1. Teorema de Bolzano. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ y $f(a) < 0 < f(b)$ , o $f(a) > 0 > f(b)$ , existe $c$ en $\ioo{a}{b}$ tal que $f(c) = 0$ .
  Se apoya en: A (Axioma de completitud), C (Conservación del signo). Se demuestra en: Teorema del valor intermedio.
2. Teorema del valor intermedio. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ , toma todo valor comprendido entre $f(a)$ y $f(b)$ ; por tanto, la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo.
  Usa: 14. Teorema de Bolzano. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Teorema del valor intermedio.
3. Continuidad de la inversa. Si $f$ es continua y estrictamente monótona en un intervalo $I$ , su inversa es continua en el intervalo $f(I)$ .
  Usa: 15. Teorema del valor intermedio. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Teorema del valor intermedio.
4. Derivada de la función inversa. Si $f$ es continua y estrictamente monótona en un intervalo $I$ con más de un punto y derivable en $a$ , con $f'(a) \neq 0$ , entonces $f^{-1}$ es derivable en $b = f(a)$ , y $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$ ; si $f'(a) = 0$ , $f^{-1}$ no es derivable en $b$ .
  Usa: 1. Definición de derivada, 3. Tres caracterizaciones, 12. Regla de la cadena, 15. Teorema del valor intermedio, 16. Continuidad de la inversa. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), E (Factorización de Carathéodory). Se demuestra en: Derivada de la función inversa y derivación implícita.
5. Inversas elementales y raíces. En sus dominios de derivabilidad, $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arcsin x\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\arctan x\right) = \frac{1}{1 + x^2}$ y $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\operatorname{arcsinh} x\right) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$ ; $\sqrt[n]{x}$ es derivable en todo $x \neq 0$ de su dominio y no en $0$ ; y $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^{\frac{p}{q}}\right) = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}$ en $\ioo{0}{\infty}$ .
  Usa: 8. Potencias, polinomios y funciones racionales, 10. Funciones trigonométricas, 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas, 13. Composiciones usuales, 17. Derivada de la función inversa. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Derivada de la función inversa y derivación implícita.
6. Exponencial y logaritmo de base a. Si $a > 0$ y $a \neq 1$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(a^x\right) = a^x \ln a$ y $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\log_a \abs{x}\right) = \frac{1}{x \ln a}$ ; y si $u$ es derivable en un punto, $e^{u(x)}$ lo es, con derivada $e^{u(x)} u'(x)$ , y si además $u$ no se anula en él, $\ln \abs{u(x)}$ lo es, con derivada $\frac{u'(x)}{u(x)}$ .
  Usa: 6. Combinación lineal y producto, 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas, 12. Regla de la cadena, 13. Composiciones usuales. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: La variable en el exponente y la derivación logarítmica.
7. Potencias de exponente real y variable. Para todo real $r$ , $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(x^r\right) = r x^{r - 1}$ en $\ioo{0}{\infty}$ ; y si $f$ , de valores positivos, y $g$ son derivables en $a$ , entonces $F(x) = \left(f(x)\right)^{g(x)} = e^{g(x) \ln f(x)}$ es derivable en $a$ , con $F'(a) = \left(f(a)\right)^{g(a)} \left(g'(a) \ln f(a) + \frac{g(a) f'(a)}{f(a)}\right)$ .
  Usa: 6. Combinación lineal y producto, 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas, 12. Regla de la cadena, 19. Exponencial y logaritmo de base a. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: La variable en el exponente y la derivación logarítmica.
8. Derivación logarítmica. Si $f_1, \ldots, f_k$ son derivables en $a$ y no se anulan en $a$ , y $f_j$ es positiva cuando $r_j$ no es entero, entonces $F = f_1^{r_1} \cdots f_k^{r_k}$ es derivable en $a$ , y $\frac{F'(a)}{F(a)} = r_1 \frac{f_1'(a)}{f_1(a)} + \cdots + r_k \frac{f_k'(a)}{f_k(a)}$ ; la derivabilidad se prueba antes de tomar logaritmos.
  Usa: 4. Derivable implica continua, 5. Carácter local de la derivada, 6. Combinación lineal y producto, 13. Composiciones usuales, 19. Exponencial y logaritmo de base a, 20. Potencias de exponente real y variable. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría), F (Derivable implica continua), G (Carácter local). Se demuestra en: La variable en el exponente y la derivación logarítmica.
9. Pi elevado a e y e elevado a pi. Para todo $x > 0$ se cumple $x^{\frac{1}{x}} \leq e^{\frac{1}{e}}$ , con igualdad solo si $x = e$ , porque el logaritmo queda bajo su tangente $y = \frac{x}{e}$ ; en particular, $\pi^e < e^\pi$ .
  Usa: 11. Exponencial, logaritmo e hiperbólicas. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: La variable en el exponente y la derivación logarítmica.
Tramo 3 Las derivadas sucesivas y las razones de cambio
- Definir las derivadas sucesivas y demostrar por inducción las fórmulas de orden $n$ de las potencias, la exponencial, el seno y el coseno, y la regla de Leibniz.
- Dar sentido por separado a $\mathrm{d}y$ y $\mathrm{d}x$ , demostrar que la diferencial es la parte principal del incremento y usarla para aproximar y estimar errores, sin acotarlos.
- Leer la derivada como razón de cambio media, instantánea y relativa, y describir con ella el movimiento sobre una recta.
- Resolver tasas relacionadas con la regla de la cadena y un método explícito.
1. Derivadas sucesivas. $f^{(0)} = f$ y $f^{(n + 1)} = \left(f^{(n)}\right)'$ , con el dominio de cada una formado por los puntos en que la anterior es derivable; si $f$ y $g$ son $n$ veces derivables en un intervalo abierto, $\left(\alpha f + g\right)^{(n)} = \alpha f^{(n)} + g^{(n)}$ .
  Usa: 6. Combinación lineal y producto. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría), G (Carácter local). Se demuestra en: Derivadas sucesivas y diferencial.
2. Derivadas de orden n. En $\ioo{0}{\infty}$ , $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(x^r\right) = r(r - 1)\cdots(r - n + 1) \, x^{r - n}$ ; para todo real $x$ , $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(e^{cx}\right) = c^n e^{cx}$ y $\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n}\left(\sin x\right) = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$ ; y los coeficientes de un polinomio $f$ son los números $\frac{f^{(k)}(0)}{k!}$ .
  Usa: 8. Potencias, polinomios y funciones racionales, 13. Composiciones usuales, 19. Exponencial y logaritmo de base a, 20. Potencias de exponente real y variable, 23. Derivadas sucesivas. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Derivadas sucesivas y diferencial.
3. Regla de Leibniz. Si $f$ y $g$ son $n$ veces derivables en un intervalo abierto, también lo es $fg$ , y $(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n - k)}$ .
  Usa: 6. Combinación lineal y producto, 23. Derivadas sucesivas. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Derivadas sucesivas y diferencial.
4. La diferencial. Si $f$ es derivable en $a$ , el incremento $\Delta y = f(a + \Delta x) - f(a)$ cumple $\Delta y = \mathrm{d}y + \operatorname{o}(\Delta x)$ , con $\mathrm{d}y = f'(a) \, \Delta x$ , y ninguna otra función lineal de $\Delta x$ lo cumple; si $f'(a) \neq 0$ , $\Delta y \sim \mathrm{d}y$ ; y si $w = f(u)$ , entonces $\mathrm{d}w = f'(u) \, \mathrm{d}u$ .
  Usa: 3. Tres caracterizaciones, 6. Combinación lineal y producto, 7. Recíproco y cociente, 12. Regla de la cadena. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Derivadas sucesivas y diferencial.
5. Razón relativa constante. Si $y(t) = y_0 e^{kt}$ , con $y_0 > 0$ y $k \neq 0$ , la razón de cambio relativa $\frac{y'(t)}{y(t)}$ vale $k$ en todo instante, y $y(t + T) = e^{kT} y(t)$ : la magnitud se duplica, o se reduce a la mitad, en cada intervalo de duración $\frac{\ln 2}{\abs{k}}$ .
  Usa: 19. Exponencial y logaritmo de base a. Se apoya en: D (Herencia de Álgebra y Geometría). Se demuestra en: Razones de cambio y tasas relacionadas.
6. El signo de la derivada en un punto. Si $f$ está definida en un intervalo abierto $I$ , es derivable en un punto $a$ de $I$ y $f'(a) > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x$ de $I$ , $f(x) < f(a)$ si $a - \delta < x < a$ , y $f(x) > f(a)$ si $a < x < a + \delta$ ; no se sigue que $f$ sea creciente cerca de $a$ . De ahí que la rapidez aumente cuando la velocidad y la aceleración tienen el mismo signo.
  Usa: 1. Definición de derivada, 6. Combinación lineal y producto. Se apoya en: C (Conservación del signo). Se demuestra en: Razones de cambio y tasas relacionadas.
7. Tasas relacionadas. Si $u$ es derivable en $t_0$ e $y(t) = g(u(t))$ , con $g$ derivable en $u(t_0)$ , entonces $y'(t_0) = g'(u(t_0)) \, u'(t_0)$ ; y dos expresiones iguales en todo instante de un intervalo, derivables en $t_0$ , tienen la misma derivada en $t_0$ .
  Usa: 12. Regla de la cadena. Se demuestra en: Razones de cambio y tasas relacionadas.

Hacia las aplicaciones. La cadena se detiene donde la derivada deja de ser el objeto de estudio y pasa a ser un instrumento: la unidad siguiente comienza con el teorema de Weierstrass sobre los valores extremos; demuestra el teorema de Fermat con el signo de la derivada en un punto, y de él los de Rolle y del valor medio, que convierten el signo de la derivada en monotonía y dan la regla de L'Hôpital, los extremos, la concavidad y las cotas que la diferencial no tiene; y termina con el método de Newton y Raphson, que reemplaza la curva por su tangente.