Regla de L'Hôpital

La forma cero sobre cero

El corolario del límite de un cociente, de la clase sobre el álgebra de límites, exige que el denominador tenga límite distinto de cero. Si el numerador y el denominador tienden ambos a $0$, el cociente puede tender a cualquier número, o a infinito, o no tener límite: $\frac{3x}{x}$ tiende a $3$, $\frac{x^2}{x}$ tiende a $0$, y $\frac{x \sin \frac{1}{x}}{x}$ no tiene límite en $0$. Por eso se dice que $\frac{0}{0}$ es una forma indeterminada: el límite de cada término no determina el del cociente. La clase sobre los infinitésimos equivalentes resolvió muchos de estos límites, sustituyendo cada factor por uno equivalente de su tabla; pero una diferencia como $x - \sin x$ no es un producto de factores de la tabla, y sus términos no pueden sustituirse.

La derivada sugiere otro camino. Si $f(a) = g(a) = 0$, si $f$ y $g$ son derivables en $a$ y si $g'(a) \neq 0$, al dividir el numerador y el denominador por $x - a$ el cociente se convierte en un cociente de cocientes incrementales, y el corolario del límite de un cociente da:

Pero a menudo $g'(a)$ también es cero, o $f$ y $g$ no están definidas en $a$. La regla de L'Hôpital reemplaza los valores de las derivadas en $a$ por el límite de su cociente cerca de $a$. La herramienta es el teorema del valor medio de Cauchy, de la clase sobre los teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy: si $f$ y $g$ son continuas en $\icc{a}{b}$, con $a < b$, y derivables en cada punto de $\ioo{a}{b}$, y si $g'(x) \neq 0$ para todo $x$ de $\ioo{a}{b}$, entonces $g(b) \neq g(a)$ y existe un $c$ en $\ioo{a}{b}$ tal que $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$. A diferencia de dos aplicaciones del teorema de Lagrange, que darían dos puntos distintos, Cauchy da un mismo punto para el numerador y para el denominador.

No hace falta saber cómo depende $c$ de $x$, ni que sea único: basta que esté entre $a$ y $x$. La hipótesis $g' \neq 0$ se pide en todo el intervalo $\ioo{a}{b}$, porque el teorema de Cauchy la usa en cada $\icc{a}{x}$; como el límite solo depende de los valores cercanos, basta encontrar un intervalo $\ioo{a}{b}$ donde se cumpla, por pequeño que sea. No basta, en cambio, que la derivada del denominador se anule solo en puntos aislados que se acumulan en el punto, o que no están acotados si la variable tiende a infinito, como muestra el problema resuelto 5. Si $f$ y $g$ están definidas en un conjunto mayor, el teorema se aplica a sus restricciones a $\ioo{a}{b}$, que tienen el mismo límite por la derecha en $a$.

Lo mismo vale por la izquierda, con un intervalo $\ioo{b}{a}$, $b < a$, y $x \to a^-$: basta aplicar el teorema a $f(-t)$ y $g(-t)$ cerca de $-a$ por la derecha, por la proposición de la traslación y la reflexión, de la clase sobre los límites laterales; la regla de la cadena cambia el signo de las dos derivadas y no altera su cociente. Si las hipótesis se cumplen a los dos lados de $a$, en $\ioo{a - r}{a}$ y en $\ioo{a}{a + r}$, el teorema del límite y los límites laterales, de aquella clase, da el límite cuando $x \to a$ (si $L$ es infinito, con el mismo argumento del menor de los dos radios). La función puede estar definida en $a$ o no; su valor allí no interviene.