Aplicaciones de las derivadas: introducción

Resumen

Esta clase abre la última unidad del curso, que pasa de lo que la derivada dice en un punto a lo que dice en un intervalo. Presenta el recorrido de la unidad: el teorema de Weierstrass asegura que una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza su máximo y su mínimo; el de Fermat los localiza donde la derivada se anula; los de Rolle, Lagrange y Cauchy convierten el signo de la derivada en información sobre un intervalo entero, y de ellos salen la regla de L'Hôpital, la monotonía, los criterios de extremos, la concavidad, la curvatura, la optimización y el método de Newton-Raphson. Reconstruye la historia de esos resultados, desde el método de Fermat para los máximos hasta el teorema de Darboux, en un orden casi inverso al de la unidad; formula el problema que la recorre, el paso de lo local a lo global, y muestra con un ejemplo en los números racionales que ese paso depende de la completitud de los reales. Termina señalando dónde se emplean estas aplicaciones en otros cursos del sitio y en la ciencia y la técnica.

Objetivos de aprendizaje

Describir el recorrido de la unidad y explicar qué demuestra cada clase y de qué resultados anteriores se sirve.
Explicar por qué las conclusiones globales sobre una función, como la existencia de un máximo, la monotonía o la convergencia de un método, exigen, además de la derivada, la completitud de los números reales.
Situar en su contexto histórico los resultados de la unidad, desde el método de Fermat para los máximos hasta el teorema de Darboux, y distinguir el orden en que se descubrieron del orden en que se demuestran.
Señalar dónde intervienen las aplicaciones de las derivadas en otros cursos y en aplicaciones científicas y técnicas.

Evaluación de entrada

Antes de recorrer la unidad conviene medir el punto de partida. Esta autoevaluación no califica: sirve para saber dónde detenerse. Las nueve primeras preguntas tocan, en orden, las nueve clases de contenido de la unidad, una cada una, y miden la comprensión de su resultado central (qué asegura, bajo qué hipótesis, qué no asegura), no un enunciado que se recuerde; las mismas destrezas se vuelven a medir al final, en la clase de síntesis, con otros datos. Las cinco últimas comprueban lo que esta unidad da por sabido de las dos anteriores: el teorema de Bolzano, el signo de la derivada en un punto, la segunda derivada, la derivación implícita y los infinitésimos equivalentes.

Evaluación de entrada

Antes de comenzar la unidad, mide tu punto de partida. Es una autoevaluación breve: no se califica y su resultado se guarda solo en tu navegador.

Pregunta 1¿En cuál de estos casos asegura el teorema de Weierstrass que la función alcanza su valor máximo en el conjunto indicado?
$f(x) = \abs{x^2 - 1}$ en $\icc{0}{2}$
$f(x) = \arctan x$ en $\mathbb{R}$
$f(x) = x^2$ en $\ico{0}{1}$
La función que vale $x$ en $\ico{0}{1}$ y $0$ en $1$ , en el intervalo $\icc{0}{1}$
Pregunta 2Una función $f$ es derivable en $\mathbb{R}$ , con $f(0) = 1$ y $\abs{f'(x)} \leq 2$ para todo $x$ . ¿Qué se puede asegurar sobre $f(3)$ ?
$-5 \leq f(3) \leq 7$
$f(3) = 7$
$\abs{f(3)} \leq 6$
Nada, porque no se conoce la derivada en ningún punto.
Pregunta 3Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\frac{1}{x}}{\sin x}$ .
$0$
No existe, porque el cociente de las derivadas no tiene límite.
No existe, porque $\sin\frac{1}{x}$ no tiene límite cuando $x \to 0$ .
$1$
Pregunta 4¿Es estrictamente creciente en $\mathbb{R}$ la función $f(x) = x + \cos x$ ?
Sí: su derivada, $1 - \sin x$ , no es negativa y no se anula en todos los puntos de ningún intervalo abierto.
No: su derivada se anula en infinitos puntos.
Es creciente, pero no estrictamente, porque su derivada no es positiva en todo punto.
No es monótona, porque el coseno sube y baja.
Pregunta 5Una función $f$ es continua en $\icc{0}{4}$ y derivable en cada punto de $\ioo{0}{4}$ salvo en $1$ , y su derivada solo se anula en $3$ . Si $f(0) = 2$ , $f(1) = -1$ , $f(2) = 3$ , $f(3) = 5$ y $f(4) = 4$ , ¿cuáles son sus valores máximo y mínimo absolutos en $\icc{0}{4}$ ?
El máximo es $5$ y el mínimo, $-1$ .
El máximo es $5$ y el mínimo, $2$ .
El máximo es $4$ y el mínimo, $2$ .
No se puede saber sin la fórmula de $f$ .
Pregunta 6¿Cuáles son los puntos de inflexión de $f(x) = x^5 - 5x^4$ ?
Solo $3$ .
$0$ y $3$ , porque en ellos se anula la segunda derivada.
$0$ y $4$ , porque en ellos se anula la derivada.
Ninguno, porque la tercera derivada se anula en $0$ .
Pregunta 7¿Cuál es la circunferencia osculatriz al gráfico de $f(x) = \frac{1}{x}$ en el punto $(1, 1)$ ?
La de centro $(2, 2)$ y radio $\sqrt{2}$ .
La de centro $(0, 0)$ y radio $\sqrt{2}$ .
La de centro $\left(\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ y radio $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .
La de centro $\left(1, \frac{3}{2}\right)$ y radio $\frac{1}{2}$ .
Pregunta 8¿Cuáles son los puntos de la parábola $y = x^2$ más cercanos al punto $(0, 2)$ ?
$\left(-\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ y $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$
El vértice $(0, 0)$ .
Solo $\left(\sqrt{\frac{3}{2}}, \frac{3}{2}\right)$ .
Ninguno: como la parábola no está acotada, la distancia puede no alcanzar un mínimo.
Pregunta 9La función $f(x) = e^x - 3$ es creciente y convexa en $\mathbb{R}$ , y su raíz es $\ln 3$ , cercana a $1{,}0986$ . ¿Qué hacen las iteraciones de Newton-Raphson a partir de $x_0 = 0$ ?
La primera salta al otro lado de la raíz, a $x_1 = 2$ , y desde allí decrecen hacia $\ln 3$ sin pasarla.
Crecen hacia $\ln 3$ sin pasarla, porque parten a su izquierda.
No convergen, porque $f(x_0) < 0$ no cumple la hipótesis del teorema.
Se alternan a uno y otro lado de la raíz, cada vez más cerca.
Pregunta 10De unidades anterioresUna función $f$ es continua en $\icc{0}{1}$ , con $f(0) = 1$ y $f(1) = -1$ . ¿Qué se puede asegurar?
Que se anula en algún punto de $\ioo{0}{1}$ .
Que se anula en exactamente un punto de $\ioo{0}{1}$ .
Que es decreciente en $\icc{0}{1}$ .
Que se anula en $\frac{1}{2}$ .
Pregunta 11De unidades anterioresUna función $f$ está definida en un intervalo abierto que contiene a $a$ , y $f'(a) > 0$ . ¿Qué se puede asegurar?
Que existe un $\delta > 0$ tal que $f(x) < f(a)$ si $a - \delta < x < a$ , y $f(x) > f(a)$ si $a < x < a + \delta$ .
Que $f$ es creciente en algún intervalo abierto que contiene a $a$ .
Que $f(x) > f(a)$ para todo $x > a$ del intervalo.
Que $f'(x) > 0$ para todo $x$ cercano a $a$ .
Pregunta 12De unidades anterioresCalcular $f''(1)$ para $f(x) = x^2 \ln x$ .
$3$
$1$
$2$
$-2$
Pregunta 13De unidades anterioresLa ecuación $x^2 + xy + y^2 = 3$ define cerca del punto $(1, 1)$ una función derivable $y(x)$ , con $y(1) = 1$ . ¿Cuánto vale $y'(1)$ ?
$-1$
$-\frac{3}{2}$
$-5$
$1$
Pregunta 14De unidades anterioresCalcular $\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1 + x^2\right)}{1 - \cos x}$ .
$2$
$1$
$\frac{1}{2}$
No existe, porque el cociente es de la forma $\frac{0}{0}$ .