El método de Newton-Raphson

Resumen

El teorema de Bolzano asegura que una función continua que cambia de signo tiene una raíz, y la bisección la localiza ganando una cifra binaria por paso. Esta clase estudia un procedimiento mucho más rápido cuando funciona: el método de Newton-Raphson, que reemplaza el gráfico por su recta tangente y toma como nueva aproximación el punto en que la tangente corta al eje. Las aproximaciones así obtenidas se definen una tras otra para los enteros $n \geq 0$ , y su límite se entiende con la definición del límite cuando la variable tiende a infinito, sin la teoría de las sucesiones. La clase demuestra, con la convexidad, que si la derivada no se anula y la función es convexa o cóncava, las iteraciones que parten del lado adecuado se acercan a la raíz sin pasarla y convergen a ella; y, con el teorema del valor medio, que el valor de la función, que se calcula, acota la distancia a la raíz, que no se conoce. Muestra después, con ejemplos numéricos, que el número de cifras correctas se duplica en cada paso, y los modos en que el método falla: una derivada nula, un ciclo, una divergencia. Los problemas calculan raíces cúbicas y recíprocos sin dividir, rompen un ciclo, estudian una raíz doble y hallan el límite exacto entre la convergencia y la divergencia para la arcotangente.

Objetivos de aprendizaje

Calcular las iteraciones de Newton-Raphson de una función derivable y reconocer en ellas el corte de la recta tangente con el eje.
Demostrar la convergencia monótona de las iteraciones cuando la derivada no se anula y la función es convexa o cóncava, y elegir un punto de partida del lado adecuado.
Acotar la distancia de una aproximación a la raíz con el valor de la función y una cota inferior de su derivada.
Reconocer los modos en que el método falla y compararlo con la bisección, en rapidez y en seguridad.

La iteración

Sea $f$ una función derivable cuya raíz $r$ se busca, y sea $x_0$ una primera aproximación. Cerca de $x_0$ , el gráfico de $f$ se parece a su recta tangente, $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$ , según la definición de recta tangente de la clase sobre la derivada como límite; dicho con la diferencial de la clase sobre las derivadas sucesivas y la diferencial, el incremento $f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ se parece a $f'(x_0) \Delta x$ . La tangente corta al eje en un solo punto si $f'(x_0) \neq 0$ , y es natural tomarlo como nueva aproximación: se obtiene igualando a cero la ecuación de la tangente. Repetir el procedimiento desde el punto obtenido es el método de Newton-Raphson.

DefiniciónIteraciones de Newton-Raphson

Sean $f$ una función derivable en un intervalo $I$ y $x_0$ un punto de $I$ . Las iteraciones de Newton-Raphson a partir de $x_0$ son los números definidos, uno tras otro, por

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}

mientras $x_n$ esté en $I$ y $f'(x_n) \neq 0$ . Si estas condiciones se cumplen para todo entero $n \geq 0$ , las iteraciones forman una función $n \mapsto x_n$ definida en el conjunto de los enteros no negativos, que no está acotado superiormente, y la definición del límite cuando la variable tiende a infinito, de la clase sobre el límite al infinito, se aplica a ella. Se dice que las iteraciones convergen a $r$ si $\lim_{n \to \infty} x_n = r$ , es decir, si

(\forall \varepsilon > 0)(\exists M)(\forall n \geq 0)\left(n > M \rightarrow \abs{x_n - r} < \varepsilon\right)

Cada iteración es el corte con el eje de la tangente en $(x_n, f(x_n))$ : al poner $y = 0$ y $x = x_{n+1}$ en la ecuación $y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)$ y despejar, se obtiene la fórmula de la definición. El método no pide que la función cambie de signo en un intervalo dado, como la bisección, sino que sea derivable y que su derivada no se anule en los puntos por los que pasa; a cambio, nada asegura de antemano que las iteraciones se acerquen a una raíz. La sección siguiente da condiciones que lo aseguran.

EjemploLa raíz cuadrada de 2

Aplicar el método de Newton-Raphson a $f(x) = x^2 - 2$ desde $x_0 = 2$ . Los pasos muestran las tres primeras tangentes y sus cortes con el eje.

Demostración

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 2}{2x_n} = \frac{1}{2}\left(x_n + \frac{2}{x_n}\right), \qquad \resaltar{x_1 = \frac{3}{2}}$
La derivada es $f'(x) = 2x$ , que no se anula si $x > 0$ . La iteración toma la forma siguiente: cada aproximación es el promedio de la anterior y de $2$ dividido por ella. Desde $x_0 = 2$ , la tangente $y = 2 + 4(x - 2)$ corta al eje en $\frac{3}{2}$ .
$x_2 = \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2} + \frac{4}{3}\right) = \resaltar{\frac{17}{12}} \approx 1{,}416667$
La tangente en $\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)$ corta al eje mucho más cerca de la raíz.
$x_3 = \frac{1}{2}\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \resaltar{\frac{577}{408}} \approx 1{,}4142157, \qquad \sqrt{2} \approx 1{,}4142136$
La tercera iteración tiene ya cinco cifras decimales correctas. Los errores, $x_n - \sqrt{2}$ , son cerca de $0{,}59$ , $0{,}086$ , $0{,}0025$ y $0{,}0000021$ : cada uno es del orden del cuadrado del anterior.

El error de este ejemplo se eleva al cuadrado en forma exacta. De la fórmula de la iteración se obtiene, para todo $x_n > 0$ , la identidad siguiente:

x_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{x_n^2 - 2\sqrt{2}\,x_n + 2}{2x_n} = \frac{\left(x_n - \sqrt{2}\right)^2}{2x_n}

Por tanto, todas las iteraciones desde la primera son mayores o iguales que $\sqrt{2}$ , y si $x_n \geq 1$ , el error siguiente es a lo sumo la mitad del cuadrado del error actual: la cuarta iteración, $x_4 = \frac{665\,857}{470\,832}$ , tiene once cifras decimales correctas. Con $2$ reemplazado por un número positivo cualquiera, el mismo procedimiento calcula raíces cuadradas; aparece ya en la Métrica de Herón de Alejandría, en el siglo I, y por eso se lo llama también método de Herón.

Isaac Newton describió su método para ecuaciones polinómicas en 1669, en un escrito que circuló manuscrito y se publicó en 1711; Joseph Raphson publicó en 1690 una exposición más sencilla, y Thomas Simpson lo presentó en 1740 como un método iterativo para ecuaciones generales.