Aplicaciones de las derivadas: síntesis y desafíos

Resumen

Esta clase cierra la unidad sobre las aplicaciones de las derivadas y, con ella, el curso. Reúne en una sola cadena deductiva lo que las nueve clases de la unidad demostraron: el teorema de Weierstrass, obtenido del axioma de completitud como el de Bolzano, y el teorema de Fermat, obtenido del signo de la derivada en un punto, dan el teorema de Rolle; de este salen los teoremas del valor medio de Lagrange y de Cauchy, y de ellos la regla de L'Hôpital, la monotonía por el signo de la derivada, los criterios para los extremos, la convexidad, la optimización y la cota del error del método de Newton-Raphson. Explica cómo la unidad se apoya en las dos anteriores y en Álgebra y Geometría, y qué deja al curso siguiente: la integral, las sucesiones y las series, y el polinomio de Taylor. Termina con una evaluación de salida, paralela a la de entrada, y con diez desafíos, más difíciles que los problemas de las clases, cada uno de los cuales combina resultados de varias de ellas y de las unidades anteriores.

Objetivos de aprendizaje

Exponer en orden lógico los teoremas principales de la unidad, indicando de qué resultados anteriores depende cada uno y en qué demostraciones se reutilizan el teorema de Weierstrass, el teorema del valor medio y la monotonía por el signo de la derivada.
Distinguir lo que la unidad admite de lo que demuestra, reconocer las hipótesis de cada resultado y señalar dónde interviene el axioma de completitud.
Relacionar los resultados de la unidad con las unidades sobre los límites y las derivadas, con Álgebra y Geometría y con lo que estudia Cálculo II.
Resolver problemas no rutinarios que combinan la existencia de extremos, el valor medio, la regla de L'Hôpital, la monotonía, la convexidad, la curvatura, la optimización y el método de Newton-Raphson.

Lo logrado en la unidad

Las dos unidades anteriores trabajaron en un punto: el límite en un punto, la continuidad en un punto, la derivada en un punto. Esta unidad pasó de lo puntual a lo global, y el puente fue el axioma de completitud. El teorema de Weierstrass, demostrado con el supremo como el de Bolzano, asegura que una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza su máximo y su mínimo; el teorema de Fermat, que sale del signo de la derivada en un punto, dice dónde pueden estar los extremos interiores; y juntos dan el teorema de Rolle, del que se siguen los dos teoremas del valor medio. El de Lagrange se escribe así:

f(b) - f(a) = f'(c)(b - a), \qquad c \in \ioo{a}{b}

Esa igualdad convierte una información sobre la derivada en todos los puntos de un intervalo en una información sobre los valores de la función, y casi todo lo demás de la unidad es una lectura de ella: la monotonía, los criterios para los extremos, la convexidad, la regla de L'Hôpital, por la versión de Cauchy, y la cota del error del método de Newton-Raphson. Las demostraciones citan estos teoremas en lugar de rehacer el argumento.

La existencia y el valor medio

La clase sobre el teorema de Weierstrass demostró primero el teorema de acotación, tomando el supremo de los puntos hasta los cuales la función está acotada y avanzando más allá de él con la acotación local que da la continuidad; después, que el supremo de los valores se alcanza, porque si no se alcanzara, el recíproco de la distancia de los valores a él sería continuo y no acotado. Mostró con contraejemplos que ninguna hipótesis sobra (un intervalo abierto, uno no acotado, una función discontinua y los racionales, donde falta la completitud), dedujo con el teorema del valor intermedio que la imagen de un intervalo cerrado y acotado es otro intervalo del mismo tipo, y que una función con valores iguales en los extremos de un intervalo alcanza un extremo en su interior. La clase sobre los teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy definió los extremos locales como enunciados cuantificados, demostró con el signo de la derivada en un punto que la derivada se anula en un extremo local interior, y encadenó los teoremas de Rolle, del valor medio de Lagrange y del valor medio de Cauchy, mostrando la necesidad de sus hipótesis. Sus corolarios fueron las primeras conclusiones globales: una función con derivada nula en un intervalo es constante, dos funciones con la misma derivada difieren en una constante, una cota de la derivada acota los incrementos, entre dos raíces de una función hay una raíz de su derivada, y el límite de la derivada, si existe, es la derivada. La clase sobre la regla de L'Hôpital la demostró con el teorema de Cauchy, para la forma $\frac{0}{0}$ y, con más cuidado, para la forma $\frac{\infty}{\infty}$ , por un lado de un punto, en el punto y en el infinito; redujo a ellas las formas $0 \cdot \infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ e $\infty^0$ , mostró que la regla no decide cuando el cociente de las derivadas no tiene límite, advirtió que no sirve para los límites con que se calcularon las derivadas, y obtuvo de ella el corolario de las derivadas nulas en un punto, que compara el incremento de una función con una potencia de $x - a$ .

La monotonía, los extremos y la forma del gráfico

La clase sobre la monotonía demostró, con el teorema del valor medio, que una derivada no negativa en un intervalo da una función creciente, y una positiva, estrictamente creciente, y caracterizó la monotonía estricta con derivada no negativa: la derivada no debe anularse en todo un intervalo. Así se cumplieron las promesas de la unidad sobre las derivadas, como la de que una derivada positiva en un intervalo basta para que la inversa exista y sea derivable. Definió los puntos críticos, demostró el criterio de la primera derivada y el teorema de Darboux, según el cual una derivada toma todos los valores intermedios aunque no sea continua, de modo que no tiene discontinuidades de salto, y dedujo que una derivada sin ceros en un intervalo no cambia de signo. La clase sobre los máximos y mínimos definió los extremos absolutos y estrictos; demostró el criterio de la segunda derivada y, con la regla de L'Hôpital y sin el polinomio de Taylor, el de las derivadas superiores, que decide por la paridad del primer orden con derivada no nula; y buscó los extremos absolutos en un intervalo cerrado y acotado entre los extremos del intervalo y los puntos críticos, y en un intervalo abierto o no acotado con los límites en los extremos y con la monotonía, que da también que un extremo local en el único punto crítico es absoluto. La clase sobre la concavidad y la convexidad definió la convexidad por la posición del gráfico respecto de sus cuerdas, con la convención de la unidad (convexa, bajo sus cuerdas), y demostró que, para una función derivable, ser convexa equivale a tener derivada creciente y a que el gráfico quede sobre sus tangentes, y para una dos veces derivable, a que la segunda derivada no sea negativa; definió los puntos de inflexión, los decidió por el cambio de signo de la segunda derivada o por la tercera derivada, mostró con $x^4$ que una segunda derivada nula no basta, y obtuvo la desigualdad de Jensen y la de las medias geométrica y aritmética. La clase sobre la curvatura definió la circunferencia osculatriz como la que tiene en el punto el mismo valor, la misma derivada y la misma segunda derivada que la función; demostró con la derivación implícita que existe y es única cuando la segunda derivada no se anula, con radio $\rho = \frac{\left(1 + f'(a)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{f''(a)}}$ y centro en la normal, del lado hacia el que se curva el gráfico, y mostró que ese centro es el límite de los cortes de normales cercanas.

La optimización y la aproximación

La clase sobre los problemas de optimización fijó un método en cinco pasos (la variable, la función, el dominio, los extremos absolutos con su justificación y la respuesta), cuyo punto decisivo es justificar que el extremo hallado es absoluto: con el teorema de Weierstrass si el dominio es cerrado y acotado, y si no, con el signo de la derivada, la convexidad o los límites en los extremos. Demostró que una función y su composición con una función estrictamente creciente alcanzan sus extremos en los mismos puntos, que el punto de un gráfico más cercano a un punto dado existe y está en una normal, y dedujo del tiempo mínimo las leyes de la refracción y de la reflexión. La clase sobre el método de Newton-Raphson reemplazó el gráfico por su tangente para aproximar una raíz; trató las iteraciones como una función definida en los naturales, con la definición del límite en el infinito y sin la teoría de las sucesiones; demostró con la convexidad y el ínfimo de las iteraciones que, desde el lado adecuado, se acercan a la raíz sin pasarla y convergen a ella, y que desde el lado equivocado el primer paso salta al lado adecuado; acotó el error con el teorema del valor medio, mostró las fallas del método (una derivada nula, un ciclo, iteraciones que escapan) y lo comparó con la bisección, que gana una cifra binaria por paso, mientras que el método de Newton-Raphson, cerca de una raíz simple, duplica en los ejemplos el número de cifras correctas.

Lo que se admite, lo que se demuestra y lo que queda

El balance de la unidad puede resumirse así:

Se admiten el axioma de completitud, que la unidad usa directamente en el teorema de acotación, en el de Weierstrass y en la convergencia de las iteraciones de Newton-Raphson; los teoremas de las unidades sobre los límites y sobre las derivadas, en particular el teorema de Bolzano, la conservación del signo, el carácter local de la derivada y el signo de la derivada en un punto; y resultados de Álgebra y Geometría, como las fórmulas trigonométricas, la desigualdad $\sin x < x < \tan x$ y las leyes de los exponentes y de los logaritmos.
Se demuestran hechos que la unidad sobre las derivadas había anunciado sin poder demostrarlos: que una derivada positiva en un intervalo da una función creciente, que una función con derivada nula en un intervalo es constante y que el error de la aproximación por la diferencial puede acotarse; y la tangente pasa a ser un instrumento para aproximar raíces, para comparar el gráfico consigo mismo y para medir cuánto se curva.
Se reutilizan tres instrumentos en lugar de repetir argumentos: el teorema de Weierstrass, que da los extremos; el teorema del valor medio, que traduce el signo de la derivada en información sobre los valores; y la monotonía por el signo de la derivada, que sostiene los criterios para los extremos y la convexidad.
Queda para Cálculo II lo que exige más que la derivada: la integral, la longitud de arco, con la que la curvatura se lee como la rapidez con que gira la tangente, la continuidad uniforme, las sucesiones y las series, y el polinomio de Taylor; y para Cálculo III, los extremos de las funciones de varias variables y la curvatura de las curvas paramétricas.

La figura siguiente reúne los tres tramos en una sola cadena. Cada nudo de la columna es una definición o un teorema, numerado según el orden lógico y unido por un arco a los eslabones anteriores que su demostración usa; alrededor flotan los apoyos, es decir, los principios y los instrumentos a los que la cadena recurre una y otra vez, cada uno unido con un trazo firme a los eslabones que se apoyan en él y con uno punteado al eslabón donde se establece, salvo los que proceden de las unidades anteriores o de Álgebra y Geometría, que se dibujan como anillos. Al pulsar un apoyo se destacan todos los eslabones que lo usan, y cada eslabón remite a la clase en que se demuestra.

Apoyos de la cadena

AAxioma de completitud. Se admite, desde Álgebra y Geometría I, que los reales forman un cuerpo ordenado completo: todo conjunto no vacío de reales acotado superiormente tiene supremo, y todo conjunto no vacío acotado inferiormente tiene ínfimo. Se admite sin demostración en esta unidad.
BHerencia de la unidad 1. Resultados demostrados en la unidad sobre los límites y la continuidad: el álgebra de límites; los límites laterales, en el infinito e infinitos; la conservación de las desigualdades; la continuidad de las operaciones y de la composición; la acotación local y la conservación del signo, para los límites y para las funciones continuas; y los límites notables. Se admite sin demostración en esta unidad.
CHerencia de la unidad 2. Resultados demostrados en la unidad sobre las derivadas: la definición de derivada y las derivadas laterales, que derivable implica continua, el carácter local de la derivada, las reglas de derivación y la regla de la cadena, las derivadas de las funciones elementales, la derivada de la función inversa y la derivación implícita, y las derivadas sucesivas. Se admite sin demostración en esta unidad.
DValor intermedio. Demostrado con el supremo en la unidad sobre las derivadas: si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ y $f(a)$ y $f(b)$ tienen signos opuestos, $f$ se anula en algún punto de $\ioo{a}{b}$ , que es el teorema de Bolzano; y la imagen de un intervalo por una función continua es un intervalo. Se admite sin demostración en esta unidad.
ESigno de la derivada en un punto. Demostrado en la unidad sobre las derivadas: si $f$ está definida en un intervalo abierto y $f'(a) > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $f(x) < f(a)$ si $a - \delta < x < a$ , y $f(x) > f(a)$ si $a < x < a + \delta$ ; no se sigue que $f$ sea creciente cerca de $a$ . Se admite sin demostración en esta unidad.
FExtremos alcanzados. Una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza en él su máximo y su mínimo: el instrumento que da existencia a los extremos y a los puntos intermedios de los teoremas siguientes. Se establece en: 2. Teorema de Weierstrass.
GValor medio. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ y derivable en cada punto de $\ioo{a}{b}$ , existe $c$ en $\ioo{a}{b}$ con $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : una información sobre la derivada en todos los puntos se convierte en una información sobre los valores. Se establece en: 7. Teorema del valor medio de Lagrange.
HMonotonía por la derivada. En un intervalo, una derivada no negativa da una función creciente, y una positiva, estrictamente creciente: el instrumento con que se deciden los extremos y la convexidad. Se establece en: 12. Monotonía por el signo de la derivada.

Tramo 1 La existencia y el valor medio
- Demostrar con el supremo que una función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza su máximo y su mínimo, y mostrar que ninguna hipótesis sobra.
- Localizar los extremos locales interiores con el teorema de Fermat y deducir de él y del teorema de Weierstrass los teoremas de Rolle, de Lagrange y de Cauchy.
- Obtener del valor medio que una derivada nula da una función constante, acotar incrementos y contar raíces.
- Demostrar con el teorema de Cauchy la regla de L'Hôpital, reducir a ella las demás formas indeterminadas y no usarla para los límites con que se calcularon las derivadas.
1. Teorema de acotación. Si $f$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $\icc{a}{b}$ , existe un número $K$ tal que $\abs{f(x)} \leq K$ para todo $x$ de $\icc{a}{b}$ .
  Se apoya en: A (Axioma de completitud), B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Teorema de Weierstrass de los valores extremos.
2. Teorema de Weierstrass. Si $f$ es continua en un intervalo cerrado y acotado $\icc{a}{b}$ , existen $x_1$ y $x_2$ en $\icc{a}{b}$ tales que $f(x_1) \leq f(x) \leq f(x_2)$ para todo $x$ de $\icc{a}{b}$ ; ninguna de las hipótesis puede omitirse.
  Usa: 1. Teorema de acotación. Se apoya en: A (Axioma de completitud), B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Teorema de Weierstrass de los valores extremos.
3. La imagen de un intervalo cerrado y acotado. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ , y $m$ y $M$ son sus valores mínimo y máximo en él, la imagen de $\icc{a}{b}$ es el intervalo $\icc{m}{M}$ .
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass. Se apoya en: F (Extremos alcanzados), D (Valor intermedio). Se demuestra en: Teorema de Weierstrass de los valores extremos.
4. Un extremo en el interior. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ y $f(a) = f(b)$ , alcanza su máximo o su mínimo en algún punto de $\ioo{a}{b}$ .
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass. Se apoya en: F (Extremos alcanzados). Se demuestra en: Teorema de Weierstrass de los valores extremos.
5. Teorema de Fermat. Si $f$ , definida en $A$ , alcanza un extremo local en un punto interior $a$ de $A$ , es decir, si existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \leq f(a)$ para todos los $x$ de $A$ con $\abs{x - a} < \delta$ , o $f(a) \leq f(x)$ para todos ellos, y $f$ es derivable en $a$ , entonces $f'(a) = 0$ .
  Se apoya en: E (Signo de la derivada en un punto), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy.
6. Teorema de Rolle. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ , derivable en cada punto de $\ioo{a}{b}$ y $f(a) = f(b)$ , existe $c$ en $\ioo{a}{b}$ con $f'(c) = 0$ .
  Usa: 4. Un extremo en el interior, 5. Teorema de Fermat. Se apoya en: F (Extremos alcanzados), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy.
7. Teorema del valor medio de Lagrange. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ , y derivable en cada punto de $\ioo{a}{b}$ , existe $c$ en $\ioo{a}{b}$ con $f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)$ : alguna tangente es paralela a la cuerda.
  Usa: 6. Teorema de Rolle. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy.
8. Teorema del valor medio de Cauchy. Si $f$ y $g$ son continuas en $\icc{a}{b}$ , con $a < b$ , y derivables en cada punto de $\ioo{a}{b}$ , existe $c$ en $\ioo{a}{b}$ con $\left(f(b) - f(a)\right) g'(c) = \left(g(b) - g(a)\right) f'(c)$ ; si además $g'$ no se anula en $\ioo{a}{b}$ , entonces $g(b) \neq g(a)$ y $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .
  Usa: 6. Teorema de Rolle. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy.
9. Consecuencias del valor medio. Sea $f$ continua en un intervalo $I$ y derivable en cada punto interior. Si $f'$ se anula en ellos, $f$ es constante; dos funciones con la misma derivada difieren en una constante; si $\abs{f'(x)} \leq K$ en ellos, $\abs{f(x) - f(y)} \leq K \abs{x - y}$ para todos los $x$ , $y$ de $I$ ; y si $f$ es derivable en $I$ y tiene $n \geq 2$ raíces distintas en él, $f'$ tiene al menos $n - 1$ .
  Usa: 6. Teorema de Rolle, 7. Teorema del valor medio de Lagrange. Se apoya en: G (Valor medio), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy.
10. Regla de L'Hôpital. Si $f$ y $g$ son derivables en $\ioo{a}{b}$ , con $g'(x) \neq 0$ en él, si $f(x)$ y $g(x)$ tienden a $0$ , o $g(x)$ tiende a $\infty$ o a $-\infty$ , cuando $x \to a^+$ , y si $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ tiende a $L$ , real, $\infty$ o $-\infty$ , entonces $\frac{f(x)}{g(x)}$ tiende a $L$ ; lo mismo vale por la izquierda, a los dos lados de un punto y en el infinito.
  Usa: 8. Teorema del valor medio de Cauchy. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Regla de L'Hôpital.
11. Derivadas nulas en un punto. Sean $n \geq 2$ un natural, $I$ un intervalo abierto, $a$ un punto de $I$ y $f$ una función $n - 1$ veces derivable en $I$ y $n$ veces derivable en $a$ , con $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ . Entonces $\frac{f(x) - f(a)}{(x - a)^n}$ tiende a $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ cuando $x \to a$ .
  Usa: 10. Regla de L'Hôpital. Se apoya en: C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Regla de L'Hôpital.
Tramo 2 La monotonía, los extremos y la forma del gráfico
- Decidir la monotonía por el signo de la derivada, caracterizar la monotonía estricta y demostrar el teorema de Darboux.
- Clasificar los puntos críticos con los criterios de la primera y de la segunda derivada y de las derivadas superiores, y hallar los extremos absolutos en intervalos cerrados, abiertos o no acotados.
- Caracterizar la convexidad por las cuerdas, la derivada creciente, las tangentes y la segunda derivada, y reconocer los puntos de inflexión.
- Medir la curvatura de un gráfico con la circunferencia osculatriz.
1. Monotonía por el signo de la derivada. Sea $f$ continua en un intervalo $I$ y derivable en cada punto interior. Si $f'(x) \geq 0$ en ellos, $f$ es creciente en $I$ , y si $f'(x) > 0$ , estrictamente creciente; con $f'(x) \leq 0$ o $f'(x) < 0$ , decreciente o estrictamente decreciente. Recíprocamente, si $f$ es creciente en $I$ y derivable en un punto interior $a$ , entonces $f'(a) \geq 0$ .
  Usa: 7. Teorema del valor medio de Lagrange. Se apoya en: E (Signo de la derivada en un punto), G (Valor medio), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Monotonía y criterio de la primera derivada.
2. Monotonía estricta con derivada no negativa. Si $f$ es continua en un intervalo $I$ y $f'(x) \geq 0$ en cada punto interior, $f$ es estrictamente creciente en $I$ si y solo si $f'$ no se anula en todos los puntos de ningún intervalo $\ioo{p}{q}$ contenido en $I$ ; en particular, si solo se anula en un número finito de puntos.
  Usa: 9. Consecuencias del valor medio, 12. Monotonía por el signo de la derivada. Se apoya en: H (Monotonía por la derivada), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Monotonía y criterio de la primera derivada.
3. Criterio de la primera derivada. Si $f$ es continua en $\ioo{a - r}{a + r}$ y derivable en cada punto distinto de $a$ , con $f'(x) \geq 0$ a la izquierda de $a$ y $f'(x) \leq 0$ a la derecha, alcanza en $a$ un máximo local, estricto si las desigualdades lo son; con las desigualdades invertidas, un mínimo local; y si $f'(x)$ es positiva a los dos lados, o negativa a los dos lados, no hay extremo en $a$ .
  Usa: 12. Monotonía por el signo de la derivada. Se apoya en: H (Monotonía por la derivada). Se demuestra en: Monotonía y criterio de la primera derivada.
4. Teorema de Darboux. Si $f$ es derivable en un intervalo abierto $I$ y $a < b$ son puntos de $I$ , $f'$ toma en $\ioo{a}{b}$ todo valor comprendido estrictamente entre $f'(a)$ y $f'(b)$ ; en consecuencia, $f'$ no tiene en $I$ discontinuidades evitables ni de salto.
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass, 5. Teorema de Fermat. Se apoya en: E (Signo de la derivada en un punto), F (Extremos alcanzados), B (Herencia de la unidad 1), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Monotonía y criterio de la primera derivada.
5. Derivada sin ceros. Si $f$ es continua en un intervalo $I$ con más de un punto y derivable en cada punto interior, con $f'(x) \neq 0$ en cada uno, $f'$ tiene el mismo signo en todos ellos y $f$ es estrictamente monótona en $I$ .
  Usa: 12. Monotonía por el signo de la derivada, 15. Teorema de Darboux. Se apoya en: H (Monotonía por la derivada). Se demuestra en: Monotonía y criterio de la primera derivada.
6. Criterio de la segunda derivada. Si $f$ es derivable en un intervalo abierto $I$ y dos veces derivable en un punto $a$ de $I$ , con $f'(a) = 0$ , alcanza en $a$ un mínimo local estricto si $f''(a) > 0$ , y un máximo local estricto si $f''(a) < 0$ .
  Usa: 14. Criterio de la primera derivada. Se apoya en: E (Signo de la derivada en un punto), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Máximos y mínimos de una función.
7. Criterio de las derivadas superiores. Si $f$ es $n - 1$ veces derivable en un intervalo abierto $I$ y $n$ veces derivable en un punto $a$ de $I$ , con $n \geq 2$ , $f'(a) = \dots = f^{(n - 1)}(a) = 0$ y $f^{(n)}(a) \neq 0$ , entonces, si $n$ es par, $f$ alcanza en $a$ un mínimo local estricto si $f^{(n)}(a) > 0$ , y un máximo local estricto si $f^{(n)}(a) < 0$ ; y si $n$ es impar, no alcanza en $a$ ningún extremo local.
  Usa: 11. Derivadas nulas en un punto. Se apoya en: B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Máximos y mínimos de una función.
8. Extremos absolutos en un intervalo. Si $f$ es continua en $\icc{a}{b}$ , alcanza su máximo y su mínimo absolutos, y cada punto en que los alcanza es $a$ , $b$ o un punto crítico de $\ioo{a}{b}$ ; si es continua en un intervalo abierto, acotado o no, y algún valor supera a sus límites en los dos extremos, alcanza su máximo absoluto, en puntos críticos.
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass, 5. Teorema de Fermat. Se apoya en: F (Extremos alcanzados), B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Máximos y mínimos de una función.
9. Extremos absolutos por la monotonía. Si $f$ es continua en un intervalo $I$ , $c$ es un punto interior, $f'(x) \geq 0$ en los puntos interiores menores que $c$ y $f'(x) \leq 0$ en los mayores, $f$ alcanza en $c$ su máximo absoluto en $I$ ; y si $c$ es el único punto crítico de $f$ en $I$ y $f$ alcanza en él un extremo local, ese extremo es absoluto y estricto en $I$ .
  Usa: 12. Monotonía por el signo de la derivada, 16. Derivada sin ceros. Se apoya en: H (Monotonía por la derivada). Se demuestra en: Máximos y mínimos de una función.
10. Convexidad y derivada creciente. Una función $f$ es convexa en un intervalo $I$ si $f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)$ para todos los $x$ , $y$ de $I$ y todo $t$ de $\icc{0}{1}$ . Si $f$ es continua en $I$ y derivable en cada punto interior, es convexa si y solo si $f'$ es creciente en los puntos interiores, y estrictamente convexa si y solo si $f'$ es estrictamente creciente en ellos.
  Usa: 7. Teorema del valor medio de Lagrange. Se apoya en: G (Valor medio), B (Herencia de la unidad 1), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
11. El gráfico sobre sus tangentes. Si $f$ es continua en un intervalo $I$ con más de un punto y derivable en cada punto interior, es convexa si y solo si $f(x) \geq f(a) + f'(a)(x - a)$ para todo punto interior $a$ y todo $x$ de $I$ ; en particular, si es convexa y $f'(a) = 0$ , alcanza en $a$ su mínimo absoluto en $I$ .
  Usa: 21. Convexidad y derivada creciente. Se demuestra en: Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
12. Convexidad y segunda derivada. Si $f$ es continua en un intervalo $I$ con más de un punto y dos veces derivable en cada punto interior, es convexa si y solo si $f''(x) \geq 0$ en ellos, y es estrictamente convexa si además $f''$ no se anula en todos los puntos de ningún intervalo abierto contenido en $I$ .
  Usa: 12. Monotonía por el signo de la derivada, 13. Monotonía estricta con derivada no negativa, 21. Convexidad y derivada creciente. Se apoya en: H (Monotonía por la derivada), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
13. Puntos de inflexión. Si $f$ es continua cerca de $a$ , derivable en $a$ y $f''$ cambia de signo en $a$ , el punto $a$ es de inflexión; en un punto de inflexión en que $f$ es dos veces derivable, $f''(a) = 0$ , pero eso no basta, como muestra $x^4$ en $0$ ; y si $f''(a) = 0$ y $f'''(a) \neq 0$ , $a$ es un punto de inflexión y el gráfico atraviesa su tangente.
  Usa: 5. Teorema de Fermat, 18. Criterio de las derivadas superiores, 21. Convexidad y derivada creciente, 23. Convexidad y segunda derivada. Se apoya en: E (Signo de la derivada en un punto), B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
14. Desigualdad de Jensen. Si $f$ es continua y convexa en un intervalo $I$ y derivable en cada punto interior, entonces $f\left(t_1 x_1 + \dots + t_n x_n\right) \leq t_1 f(x_1) + \dots + t_n f(x_n)$ para puntos $x_i$ de $I$ y pesos $t_i \geq 0$ de suma $1$ ; con el logaritmo, cóncavo, la media geométrica de números positivos no supera a la aritmética.
  Usa: 22. El gráfico sobre sus tangentes, 23. Convexidad y segunda derivada. Se apoya en: C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Concavidad, convexidad y puntos de inflexión.
15. Circunferencia osculatriz. Si $f$ es derivable en un intervalo abierto y dos veces derivable en un punto $a$ , con $m = f'(a)$ y $q = f''(a) \neq 0$ , hay exactamente una circunferencia que tiene en $a$ el mismo valor, la misma derivada y la misma segunda derivada que $f$ ; su radio es $\rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}$ , el recíproco de la curvatura $\kappa$ , y su centro está en la normal, sobre el punto si $q > 0$ y bajo él si $q < 0$ .
  Se apoya en: C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Curvatura y radio de curvatura.
Tramo 3 La optimización y la aproximación
- Traducir un problema geométrico o físico a la búsqueda del extremo absoluto de una función, en un dominio fijado con precisión, y justificar que el extremo hallado es absoluto.
- Hallar el punto de un gráfico más cercano a un punto dado y deducir del tiempo mínimo las leyes de la reflexión y de la refracción.
- Aproximar raíces con el método de Newton-Raphson, asegurar su convergencia con la convexidad y acotar el error con el valor medio.
1. La distancia de un punto a un gráfico. Si $f$ es continua en un intervalo con más de un punto que contiene sus extremos, si los tiene, algún punto de su gráfico está a distancia mínima de un punto $P = (x_1, y_1)$ ; si la abscisa $c$ de ese punto es interior y $f$ es derivable en ella, $P$ está en la normal: $(x_1 - c) + f'(c)\left(y_1 - f(c)\right) = 0$ .
  Usa: 2. Teorema de Weierstrass, 5. Teorema de Fermat. Se apoya en: F (Extremos alcanzados), B (Herencia de la unidad 1), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Problemas de optimización.
2. La ley de Snell. La duración $T(x) = \frac{\sqrt{a^2 + x^2}}{v_1} + \frac{\sqrt{b^2 + (d - x)^2}}{v_2}$ del camino que va de $(0, a)$ a $(x, 0)$ con rapidez $v_1$ y de allí a $(d, -b)$ con rapidez $v_2$ alcanza su mínimo absoluto estricto en un único punto, donde $\frac{\sin \theta_1}{v_1} = \frac{\sin \theta_2}{v_2}$ ; de ahí, el camino más corto entre dos puntos que toca una recta forma ángulos iguales con la perpendicular a ella, que es la ley de la reflexión.
  Usa: 22. El gráfico sobre sus tangentes, 23. Convexidad y segunda derivada. Se apoya en: D (Valor intermedio), C (Herencia de la unidad 2). Se demuestra en: Problemas de optimización.
3. Convergencia de Newton-Raphson. Si $f$ es derivable y convexa en un intervalo abierto $I$ , con $f'(x) \neq 0$ en todo $I$ , y $f(r) = 0$ , las iteraciones $x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$ desde un $x_0$ de $I$ con $f(x_0) \geq 0$ se acercan a $r$ en forma monótona, sin pasarla, y convergen a $r$ ; desde un $x_0$ con $f(x_0) < 0$ , si $x_1$ está en $I$ , el primer paso lleva al lado adecuado.
  Usa: 16. Derivada sin ceros, 21. Convexidad y derivada creciente, 22. El gráfico sobre sus tangentes. Se apoya en: A (Axioma de completitud), B (Herencia de la unidad 1). Se demuestra en: El método de Newton-Raphson.
4. Cota del error. Si $f$ es continua en un intervalo $J$ y derivable en cada punto interior, con $\abs{f'(x)} \geq m > 0$ en ellos, y $f(r) = 0$ para un $r$ de $J$ , entonces $\abs{x - r} \leq \frac{\abs{f(x)}}{m}$ para todo $x$ de $J$ .
  Usa: 7. Teorema del valor medio de Lagrange. Se apoya en: G (Valor medio). Se demuestra en: El método de Newton-Raphson.

Hacia Cálculo II. La cadena se detiene donde termina el curso. En Cálculo II, el corolario según el cual dos funciones con la misma derivada difieren en una constante funda las primitivas, y la integral se une a la derivada en el teorema fundamental del cálculo; con la longitud de arco, que es una integral, la curvatura se lee como la rapidez con que gira la tangente. Las sucesiones, de las que las iteraciones de Newton-Raphson fueron un primer ejemplo, y las series dan a las funciones definidas en los naturales una teoría propia. Y el polinomio de Taylor, cuyo resto se acota con los teoremas de Rolle y de Cauchy, prolonga la recta tangente con las derivadas sucesivas, generaliza el criterio de las derivadas superiores y demuestra, bajo hipótesis sobre la segunda derivada, la convergencia cuadrática del método de Newton-Raphson, que esta unidad solo observó en ejemplos.