Problemas de optimización

Resumen

Esta clase resuelve problemas en que hay que hallar la mejor de muchas configuraciones posibles: el rectángulo de mayor área, el cilindro de menor superficie, el camino más corto o el más rápido. Las clases anteriores dieron las herramientas para hallar los extremos absolutos de una función dada; aquí la función no está dada, y la mayor parte del trabajo, y de los errores, está en construirla. La clase fija un método en cinco pasos (la variable, la función, el dominio, los extremos absolutos con su justificación y la respuesta) y demuestra que una función y su composición con una función estrictamente creciente alcanzan sus extremos en los mismos puntos, lo que permite, por ejemplo, minimizar el cuadrado de una distancia en lugar de la distancia. Demuestra después que todo punto tiene un punto más cercano en el gráfico de una función continua en un intervalo cerrado, y que, si este no está en el borde, el punto dado está en la recta normal; y deduce del principio del tiempo mínimo las leyes de la refracción, la de Snell, y de la reflexión, la de Herón. Los problemas hallan la caja de mayor volumen, el cilindro de menor superficie, la barra más larga que dobla una esquina, el lugar desde el que un cuadro se ve bajo el mayor ángulo y el modo más rápido de cruzar un canal.

Objetivos de aprendizaje

Traducir un problema geométrico o físico a la búsqueda del extremo absoluto de una función de una variable, en un dominio fijado con precisión.
Justificar que el extremo hallado es absoluto: con el teorema de Weierstrass si el dominio es un intervalo cerrado y acotado, y si no lo es, con el signo de la derivada, la convexidad o los límites en los extremos del dominio.
Hallar el punto de un gráfico más cercano a un punto dado y reconocer que la recta que los une es normal al gráfico.
Deducir del principio del tiempo mínimo las leyes de la reflexión y de la refracción, y reconocer cuándo el óptimo está en el borde del dominio.

El método

Las clases sobre el teorema de Weierstrass y sobre los máximos y mínimos enseñaron a hallar los extremos absolutos de una función dada en un intervalo dado. En un problema de optimización, en cambio, se pide la mejor configuración de una figura o de un movimiento, y la función que hay que estudiar, con su dominio, debe construirse a partir del enunciado. El método tiene cinco pasos.

La variable. Elegir una cantidad que determine la configuración (una longitud, un ángulo, una posición) y expresar con ella, mediante las condiciones del problema, todas las demás.
La función. Escribir la cantidad que se quiere hacer máxima o mínima como función de esa sola variable.
El dominio. Fijar el conjunto de los valores que la variable puede tomar en el problema, que suele ser un intervalo. Si la función se extiende con continuidad a configuraciones degeneradas, como un rectángulo de altura nula o una caja sin volumen, conviene admitirlas para obtener un intervalo cerrado, siempre que el extremo buscado no se alcance en ellas.
Los extremos absolutos. Hallarlos en el dominio y justificar que lo son. Si el dominio es un intervalo cerrado y acotado, el teorema de Weierstrass asegura que existen, y la proposición de los extremos absolutos en un intervalo cerrado y acotado, de la clase sobre máximos y mínimos, los halla comparando valores. Si no lo es, se usa el signo de la derivada (el teorema del criterio de la primera derivada para extremos absolutos, o el corolario de un único punto crítico, de la misma clase), la convexidad (el corolario de los puntos críticos de una función convexa, de la clase sobre concavidad y convexidad) o los límites en los extremos del dominio (la proposición de los extremos absolutos en un intervalo abierto).
La respuesta. Volver al problema: dar la configuración óptima, no solo el valor óptimo, y comprobar que tiene sentido, en las unidades y en los casos particulares.

El cuarto paso es el que más se omite: hallar un punto en que la derivada se anula no basta. Ese punto puede ser un mínimo cuando se busca un máximo, un extremo solo local o un punto fuera del dominio; y el extremo absoluto puede estar en un extremo del intervalo, donde la derivada no tiene por qué anularse. La clase sobre máximos y mínimos mostró, con $\frac{1}{x} + x^2$ , que un único punto crítico no asegura nada si el dominio no es un intervalo. A menudo conviene, además, reemplazar la función por otra más sencilla que alcance sus extremos en los mismos puntos.

LemaExtremos y funciones estrictamente monótonas

Sean $f$ una función definida en un conjunto $A$ , $c$ un punto de $A$ y $\varphi$ una función estrictamente creciente en un conjunto que contiene los valores de $f$ . Entonces $f$ alcanza en $c$ su máximo absoluto en $A$ si y solo si $\varphi \circ f$ lo alcanza, y lo mismo vale para el mínimo absoluto, para los extremos locales y para los extremos estrictos. Si $\varphi$ es estrictamente decreciente, $f$ alcanza en $c$ un máximo si y solo si $\varphi \circ f$ alcanza en $c$ un mínimo del mismo tipo, y recíprocamente. Una función estrictamente creciente no altera el orden entre los valores, y los extremos solo dependen de ese orden.

Demostración

$u \leq w \Leftrightarrow \varphi(u) \leq \varphi(w), \qquad u < w \Leftrightarrow \dato{orden}{\varphi(u) < \varphi(w)}$
Sean $u$ y $w$ en el dominio de $\varphi$ . Si $u < w$ , la monotonía estricta da $\varphi(u) < \varphi(w)$ ; si $u = w$ , los valores coinciden; y si $u > w$ , da $\varphi(u) > \varphi(w)$ . Por tanto, las desigualdades entre los números y entre sus imágenes son equivalentes.
$f(x) \leq f(c) \Leftrightarrow \resaltar{\varphi\left(f(x)\right) \leq \varphi\left(f(c)\right)}$
Con $u = f(x)$ y $w = f(c)$ , para cada $x$ de $A$ , o para cada $x$ de $A$ que dista de $c$ menos que un $\delta$ , las desigualdades que definen el máximo absoluto, el local y los estrictos, según la clase sobre máximos y mínimos y la definición de extremo local de la clase sobre los teoremas de Fermat, Rolle, Lagrange y Cauchy, valen para $f$ si y solo si valen para $\varphi \circ f$ . El mínimo es igual, y si $\varphi$ es estrictamente decreciente, las desigualdades entre las imágenes se invierten.

Los casos más usados son tres. La raíz cuadrada es estrictamente creciente en $\ico{0}{\infty}$ : una distancia y su cuadrado se minimizan en los mismos puntos, y el cuadrado no tiene raíces. El cuadrado es estrictamente creciente en $\ico{0}{\infty}$ : una cantidad no negativa y su cuadrado se maximizan en los mismos puntos. El logaritmo es estrictamente creciente en $\ioo{0}{\infty}$ : un producto de potencias positivas y su logaritmo, que es una suma, también. Y una función positiva alcanza su máximo donde su recíproco alcanza su mínimo, porque $\frac{1}{u}$ es estrictamente decreciente en $\ioo{0}{\infty}$ .

EjemploEl rectángulo inscrito en una semicircunferencia

Entre los rectángulos inscritos en una semicircunferencia de radio $R$ , con un lado sobre el diámetro, hallar el de mayor área. Los pasos de la solución son los del método.

Demostración

$A(x) = 2x\sqrt{R^2 - x^2}$
La variable y la función. Pongamos el centro en el origen y el diámetro en el eje horizontal. El rectángulo queda determinado por la mitad $x$ de su base: sus vértices superiores están en la semicircunferencia, en $\left(\pm x, \sqrt{R^2 - x^2}\right)$ , y su área es la función siguiente.
$F(x) = \left(A(x)\right)^2 = \resaltar{4x^2\left(R^2 - x^2\right)}, \qquad x \in \icc{0}{R}$
El dominio. Los rectángulos verdaderos corresponden a $x$ en $\ioo{0}{R}$ ; admitimos también $0$ y $R$ , que dan rectángulos degenerados, de área nula, y obtenemos un intervalo cerrado y acotado en que $A$ es continua: por el teorema de Weierstrass, el máximo existe. Como $A$ no es negativa, por el lema basta maximizar su cuadrado, que es un polinomio y, a diferencia de $A$ , es derivable también en $R$ .
$F'(x) = 8x\left(R^2 - 2x^2\right) = 0, \ 0 < x < R \rightarrow \resaltar{x = \frac{R}{\sqrt{2}}}$
Los candidatos. La derivada de $F$ se anula en un solo punto de $\ioo{0}{R}$ .
$F(0) = F(R) = 0 < F\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^4, \qquad \resaltar{A\left(\frac{R}{\sqrt{2}}\right) = R^2}$
La comparación y la respuesta. Por la proposición de los extremos absolutos en un intervalo cerrado y acotado, el máximo de $F$ es el mayor de sus valores en $0$ , en $R$ y en el punto crítico. El rectángulo óptimo tiene base $\sqrt{2}R$ y altura $\frac{R}{\sqrt{2}}$ , la mitad de la base, y área $R^2$ .

Al reflejar el rectángulo óptimo respecto del diámetro se obtiene un cuadrado de lado $\sqrt{2}R$ inscrito en la circunferencia completa, de área $2R^2$ , que es, por el mismo cálculo, el rectángulo de mayor área inscrito en ella. Los rectángulos degenerados no alteraron la respuesta: el máximo se alcanza en un rectángulo verdadero.