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Topos Uranos
Español

Concavidad, convexidad y puntos de inflexión

Resumen

Esta clase estudia cómo se curva el gráfico de una función: si entre dos de sus puntos queda bajo la cuerda que los une, la función es convexa; si queda sobre ella, cóncava. Traduce la definición a una comparación de las pendientes de las cuerdas y, con el teorema del valor medio y la monotonía, demuestra que una función derivable es convexa si y solo si su derivada es creciente, si y solo si su gráfico queda sobre todas sus tangentes, y que una función dos veces derivable lo es si y solo si su segunda derivada no es negativa. Define los puntos de inflexión, donde la función pasa de convexa a cóncava, y da los criterios para hallarlos: el cambio de signo de la segunda derivada, la condición necesaria f′′(a)=0f''(a) = 0 y el criterio de la tercera derivada, que compara el gráfico con su tangente como el criterio de las derivadas superiores lo comparó con la recta horizontal. Con las cuerdas del seno obtiene la desigualdad de Jordan, y con la desigualdad de Jensen convierte la concavidad del logaritmo en la desigualdad entre las medias geométrica y aritmética de cualquier cantidad de números.

Objetivos de aprendizaje

  1. Definir con cuantificadores la función convexa y la cóncava por sus cuerdas, distinguir las dos convenciones de los textos y traducir la definición a la comparación de las pendientes de las cuerdas.
  2. Demostrar que una función derivable es convexa si y solo si su derivada es creciente y si y solo si su gráfico queda sobre sus tangentes, y decidir con la segunda derivada en qué intervalos una función es convexa o cóncava.
  3. Hallar los puntos de inflexión de una función con el cambio de signo de la segunda derivada y con la tercera derivada, y reconocer los puntos con segunda derivada nula que no lo son.
  4. Demostrar desigualdades con la convexidad: la de Jordan por las cuerdas, la de Jensen y la de las medias.

Funciones convexas y cóncavas

La clase sobre monotonía estudió si una función sube o baja; esta estudia cómo lo hace. Las funciones x2x^2 y x\sqrt{x} son estrictamente crecientes en [0,∞)\ico{0}{\infty}, pero la primera se curva hacia arriba y la segunda hacia abajo: el segmento que une dos puntos del gráfico de x2x^2, su cuerda, queda sobre el arco del gráfico entre ellos, y el de x\sqrt{x}, bajo él. Si tt está en [0,1]\icc{0}{1}, el punto de la cuerda que une (x,f(x))(x, f(x)) con (y,f(y))(y, f(y)) cuya abscisa es tx+(1−t)ytx + (1 - t)y tiene ordenada tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y): la misma combinación de las ordenadas.

DefiniciónFunción convexa y función cóncava

Sea ff una función definida en un intervalo II. Se dice que ff es convexa en II si ningún punto de su gráfico queda por encima de la cuerda que une dos puntos del gráfico entre cuyas abscisas está la suya:

(∀x∈I)(∀y∈I)(∀t∈[0,1])(f(tx+(1−t)y)≤tf(x)+(1−t)f(y))(\forall x \in I)(\forall y \in I)(\forall t \in \icc{0}{1})\left(f\left(tx + (1 - t)y\right) \leq t f(x) + (1 - t) f(y)\right)

y estrictamente convexa si la desigualdad es estricta siempre que x≠yx \neq y y 0<t<10 < t < 1. Se dice que ff es cóncava (o estrictamente cóncava) en II si −f-f es convexa (o estrictamente convexa), es decir, si vale la desigualdad opuesta: ningún punto del gráfico queda bajo esas cuerdas.

Una función lineal mx+nmx + n es a la vez convexa y cóncava: su gráfico coincide con sus cuerdas. La función x2x^2 es estrictamente convexa en R\mathbb{R}, porque la diferencia entre los dos miembros de la desigualdad es t(1−t)(x−y)2t(1 - t)(x - y)^2, positiva si x≠yx \neq y y 0<t<10 < t < 1. El valor absoluto es convexo, por la desigualdad triangular, ∣tx+(1−t)y∣≤t∣x∣+(1−t)∣y∣\abs{tx + (1 - t)y} \leq t\abs{x} + (1 - t)\abs{y}, aunque no es derivable en 00; no es estrictamente convexo, porque en [0,∞)\ico{0}{\infty} coincide con sus cuerdas.

Dos convenciones. En este curso, «convexa» es la función cuyo gráfico no sube por encima de sus cuerdas, como x2x^2, y «cóncava» la que no baja de ellas, como x\sqrt{x}. Es la convención de la mayoría de los textos de análisis y de optimización, y la del hecho admitido de la concavidad del seno, en la clase sobre las funciones trigonométricas y sus gráficas, de Álgebra y Geometría II. Otros textos usan las palabras al revés, y llaman cóncava a x2x^2, porque miran el gráfico desde abajo; otros dicen «cóncava hacia arriba» por convexa y «cóncava hacia abajo» por cóncava. Ante un texto nuevo, conviene buscar su definición o fijarse en cómo llama a x2x^2: las desigualdades no cambian, solo los nombres.

La definición compara un punto del gráfico con una cuerda. Si x<z<yx < z < y, comparar (z,f(z))(z, f(z)) con la cuerda de xx a yy equivale a comparar las pendientes de tres cuerdas: al recorrer de izquierda a derecha el gráfico de una función convexa, las cuerdas se empinan. La figura lo muestra con f(x)=x24−0,3x+0,6f(x) = \frac{x^2}{4} - 0{,}3x + 0{,}6.

LemaLas pendientes de las cuerdas

Sea ff una función definida en un intervalo II, y sea S(u,v)=f(v)−f(u)v−uS(u, v) = \frac{f(v) - f(u)}{v - u} la pendiente de la cuerda entre dos abscisas distintas uu y vv de II. Si x<z<yx < z < y son puntos de II, cada una de las desigualdades

S(x,z)≤S(x,y),S(x,y)≤S(z,y),S(x,z)≤S(z,y)S(x, z) \leq S(x, y), \qquad S(x, y) \leq S(z, y), \qquad S(x, z) \leq S(z, y)

equivale a que el punto (z,f(z))(z, f(z)) no quede por encima de la cuerda que une (x,f(x))(x, f(x)) con (y,f(y))(y, f(y)), y cada una de las desigualdades estrictas, a que quede estrictamente por debajo. En consecuencia, ff es convexa en II si y solo si las tres desigualdades se cumplen para todos los x<z<yx < z < y de II, y estrictamente convexa si y solo si se cumplen estrictas.

Demostración

  1. f(z)≤tf(x)+(1−t)f(y)⇔(y−x)f(z)≤(y−z)f(x)+(z−x)f(y)f(z) \leq t f(x) + (1 - t) f(y) \Leftrightarrow \dato{c}{(y - x) f(z) \leq (y - z) f(x) + (z - x) f(y)}

    Sea t=y−zy−xt = \frac{y - z}{y - x}, que está en (0,1)\ioo{0}{1}; entonces 1−t=z−xy−x1 - t = \frac{z - x}{y - x} y z=tx+(1−t)yz = tx + (1 - t)y. El punto de la cuerda de abscisa zz tiene ordenada tf(x)+(1−t)f(y)t f(x) + (1 - t) f(y), y la comparación, multiplicada por y−x>0y - x > 0, se escribe sin fracciones:

  2. (y−x)(f(z)−f(x))≤(z−x)(f(y)−f(x))⇔S(x,z)≤S(x,y)(y - x)\left(f(z) - f(x)\right) \leq (z - x)\left(f(y) - f(x)\right) \Leftrightarrow \resaltar{S(x, z) \leq S(x, y)}

    Se resta (y−x)f(x)(y - x) f(x) a los dos miembros; como y−x=(y−z)+(z−x)y - x = (y - z) + (z - x), el segundo miembro queda (z−x)(f(y)−f(x))(z - x)\left(f(y) - f(x)\right), y basta dividir por (z−x)(y−x)>0(z - x)(y - x) > 0. Del mismo modo, al restar (y−x)f(y)(y - x) f(y) y dividir por (y−z)(y−x)>0(y - z)(y - x) > 0 se obtiene la segunda desigualdad.

  3. S(x,y)=z−xy−xS(x,z)+y−zy−xS(z,y),S(x,y)−S(x,z)=y−zy−x(S(z,y)−S(x,z))S(x, y) = \frac{z - x}{y - x} S(x, z) + \frac{y - z}{y - x} S(z, y), \qquad S(x, y) - S(x, z) = \resaltar{\frac{y - z}{y - x}\left(S(z, y) - S(x, z)\right)}

    El incremento de xx a yy es la suma de los incrementos de xx a zz y de zz a yy: la pendiente de la cuerda larga es un promedio de las de las cortas, con pesos positivos de suma 11, y su diferencia con S(x,z)S(x, z) tiene el signo de S(z,y)−S(x,z)S(z, y) - S(x, z). Por eso las tres desigualdades son equivalentes, y lo mismo las estrictas. Para la definición, si x=yx = y, o si tt vale 00 o 11, la desigualdad se cumple con igualdad, y si x>yx > y se intercambian los papeles de xx e yy y los de tt y 1−t1 - t.