Curvatura y radio de curvatura

Resumen

Esta clase mide cuánto se curva el gráfico de una función en un punto. La tangente es la recta que tiene en el punto el mismo valor y la misma derivada que la función; la circunferencia osculatriz es la que tiene, además, la misma segunda derivada. Al derivar dos veces la ecuación de una circunferencia se obtiene que, en cada uno de sus puntos, una combinación de la primera y la segunda derivada vale exactamente su radio; con ello, la clase demuestra que, si la segunda derivada de la función no se anula, la circunferencia osculatriz existe y es única, y da su centro y su radio, el radio de curvatura. Su recíproco es la curvatura, que se anula donde se anula la segunda derivada. Demuestra después que el centro de curvatura es el límite de los puntos en que se cortan normales cercanas, como lo vio Huygens, y que la curvatura no cambia al intercambiar los ejes, lo que permite medirla donde la tangente es vertical. Los problemas deciden si la circunferencia osculatriz atraviesa el gráfico, hallan el punto de curvatura máxima de la exponencial, los puntos de curvatura máxima y mínima de una elipse y el radio de curvatura de la catenaria, y estudian el salto de curvatura entre una recta y un arco.

Objetivos de aprendizaje

Definir la circunferencia osculatriz al gráfico de una función en un punto, demostrar que existe y es única cuando la segunda derivada no se anula, y calcular su centro y su radio.
Calcular la curvatura y el radio de curvatura de un gráfico en un punto, interpretar la curvatura nula y hallar los puntos de curvatura máxima o mínima de un gráfico.
Obtener el centro de curvatura como límite de los cortes de las normales, y medir la curvatura donde la tangente es vertical intercambiando los papeles de los ejes.
Decidir, con el criterio de las derivadas superiores, si la circunferencia osculatriz atraviesa el gráfico o queda a un solo lado de él.

La circunferencia osculatriz

La tangente al gráfico de $f$ en $(a, f(a))$ es la recta que tiene en $a$ el mismo valor y la misma derivada que $f$ . La clase sobre concavidad, convexidad y puntos de inflexión mostró que, si $f''(a) \neq 0$ , el gráfico queda cerca de $a$ a un solo lado de su tangente: sobre ella si $f''(a) > 0$ y bajo ella si $f''(a) < 0$ . Pero no dijo cuánto se aparta de ella, es decir, cuánto se curva. Para medirlo, conviene compararlo con las curvas que se curvan siempre lo mismo, las circunferencias: una pequeña se curva mucho, y una grande, poco. Una circunferencia no es el gráfico de una función, porque cada recta vertical que pasa por su interior la corta dos veces; pero cada una de sus dos mitades, sin sus extremos, sí lo es.

LemaLas derivadas de una semicircunferencia

Sean $(h, k)$ un punto del plano, $r > 0$ , $\sigma$ igual a $1$ o a $-1$ , y $u(x) = k + \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ para $x$ en $\ioo{h - r}{h + r}$ , cuyo gráfico es la semicircunferencia superior si $\sigma = 1$ , o la inferior si $\sigma = -1$ , de centro $(h, k)$ y radio $r$ , sin sus extremos. Entonces $u$ , $u'$ y $u''$ son derivables en $\ioo{h - r}{h + r}$ , $u(x) \neq k$ , y en cada punto $x$ del intervalo:

(x - h) + \left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = 0

En consecuencia, $u''(x)$ no se anula y tiene el signo de $-\sigma$ , de modo que la semicircunferencia inferior es estrictamente convexa y la superior estrictamente cóncava, y en todos sus puntos:

\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r

Demostración

$(x - h)^2 + \left(u(x) - k\right)^2 = \dato{circ}{r^2}, \qquad x \in \ioo{h - r}{h + r}$
Si $x$ está en el intervalo, $r^2 - (x - h)^2 > 0$ , de modo que $u(x) - k = \sigma \sqrt{r^2 - (x - h)^2}$ no se anula, y $u$ es derivable por el corolario de las derivadas de composiciones usuales, de la clase sobre la regla de la cadena. Al elevar al cuadrado, el gráfico de $u$ queda en la circunferencia:
$2(x - h) + 2\left(u(x) - k\right) u'(x) = 0, \qquad 1 + \left(u'(x)\right)^2 + \left(u(x) - k\right) u''(x) = \dato{dos}{0}$
Los dos miembros son la misma función de $x$ en el intervalo, y sus derivadas coinciden: es la derivación implícita de la clase sobre la derivada de la función inversa y la derivación implícita, aplicada a una función que ya sabemos derivable. Al despejar, $u'(x) = -\frac{x - h}{u(x) - k}$ es un cociente de funciones derivables con denominador no nulo, derivable por la regla del cociente, de la clase sobre las reglas de derivación; al derivar otra vez se obtiene la segunda igualdad, de la que $u''(x) = -\frac{1 + \left(u'(x)\right)^2}{u(x) - k}$ es también un cociente de funciones derivables.
$1 + \left(u'(x)\right)^2 = \frac{r^2}{\left(u(x) - k\right)^2}, \qquad \abs{u''(x)} = \frac{r^2}{\abs{u(x) - k}^3} \rightarrow \resaltar{\frac{\left(1 + \left(u'(x)\right)^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{u''(x)}} = r}$
Como $1 + \left(u'(x)\right)^2 > 0$ , la segunda derivada no se anula y tiene el signo opuesto al de $u(x) - k$ , que es el de $\sigma$ ; el corolario de la convexidad y la segunda derivada da la convexidad estricta o la concavidad estricta. Por la primera igualdad, $1 + \left(u'(x)\right)^2$ es la suma de $(x - h)^2$ y $\left(u(x) - k\right)^2$ , que vale $r^2$ , dividida por $\left(u(x) - k\right)^2$ .

En una circunferencia, la pendiente de la tangente y la segunda derivada cambian de un punto a otro, pero la combinación del lema no cambia: vale siempre el radio. Esto sugiere medir con ella cuánto se curva cualquier gráfico. Antes, conviene hallar la circunferencia que mejor se ajusta al gráfico en un punto, la que coincide con él hasta la segunda derivada.

DefiniciónCircunferencia osculatriz

Sean $f$ una función derivable en un intervalo abierto $I$ y dos veces derivable en un punto $a$ de $I$ . Una circunferencia de centro $(h, k)$ y radio $r > 0$ es osculatriz al gráfico de $f$ en $(a, f(a))$ si pasa por ese punto sin que sea su punto más a la izquierda ni el más a la derecha, es decir, si $(a - h)^2 + \left(f(a) - k\right)^2 = r^2$ y $f(a) \neq k$ , y si la semicircunferencia que lo contiene, el gráfico de la función $u$ del lema con $\sigma$ igual al signo de $f(a) - k$ , tiene en $a$ el mismo valor, la misma derivada y la misma segunda derivada que $f$ :

u(a) = f(a), \qquad u'(a) = f'(a), \qquad u''(a) = f''(a)

Su centro se llama centro de curvatura del gráfico en ese punto.

La recta tangente cumple las dos primeras igualdades; la circunferencia osculatriz, también la tercera. El nombre viene del latín osculari, besar: la circunferencia no solo toca el gráfico, como las demás circunferencias tangentes, sino que se curva como él. La figura muestra, con $f(x) = \frac{x^3}{2} - x + 1$ y $a = 1{,}2$ , tres circunferencias tangentes al gráfico y, entre ellas, la osculatriz.

TeoremaExistencia y unicidad de la circunferencia osculatriz

Sean $f$ una función derivable en un intervalo abierto $I$ y dos veces derivable en un punto $a$ de $I$ , y sean $m = f'(a)$ y $q = f''(a)$ . Si $q \neq 0$ , el gráfico de $f$ tiene en $(a, f(a))$ exactamente una circunferencia osculatriz, de centro $(h, k)$ y radio $\rho$ :

h = a - \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad k = f(a) + \frac{1 + m^2}{q}, \qquad \rho = \frac{\left(1 + m^2\right)^{\frac{3}{2}}}{\abs{q}}

Su centro está en la recta normal al gráfico en el punto, sobre el punto si $q > 0$ y bajo él si $q < 0$ . Si $q = 0$ , el gráfico no tiene circunferencia osculatriz en $(a, f(a))$ .

Demostración

$(a - h) + \left(f(a) - k\right) m = \dato{normal}{0}$
Supongamos que una circunferencia de centro $(h, k)$ y radio $r$ es osculatriz, con su semicircunferencia $u$ . La primera igualdad del lema, en $x = a$ , con $u(a) = f(a)$ y $u'(a) = m$ , dice que el centro cumple la ecuación de la recta normal al gráfico en el punto, según la definición de recta tangente y recta normal de la clase sobre la derivada como límite, tanto si $m \neq 0$ como si la normal es vertical.
$1 + m^2 + \left(f(a) - k\right) q = 0 \rightarrow \resaltar{f(a) - k = -\frac{1 + m^2}{q}}, \qquad a - h = \frac{m\left(1 + m^2\right)}{q}, \qquad r^2 = \frac{\left(1 + m^2\right)^3}{q^2}$
La segunda igualdad del lema, en $x = a$ , con $u''(a) = q$ , es imposible si $q = 0$ , porque $1 + m^2 > 0$ : no hay circunferencia osculatriz. Si $q \neq 0$ , determina $f(a) - k$ ; la primera igualdad da entonces $a - h$ , y la ecuación de la circunferencia, el radio. Por tanto, hay a lo sumo una circunferencia osculatriz, y su centro y su radio son los del enunciado.
$u'(a) = -\frac{a - h}{f(a) - k} = \resaltar{m}, \qquad u''(a) = -\frac{1 + m^2}{f(a) - k} = \resaltar{q}$
Recíprocamente, sean $h$ , $k$ y $\rho$ los del enunciado. La circunferencia de centro $(h, k)$ y radio $\rho$ pasa por $(a, f(a))$ , por el cálculo anterior, y $f(a) - k$ no se anula y tiene el signo de $-q$ , de modo que $\sigma = -1$ si $q > 0$ , y el centro queda sobre el punto, y $\sigma = 1$ si $q < 0$ . La función $u$ del lema cumple $u(a) = k + \sigma\abs{f(a) - k} = f(a)$ , y las dos igualdades del lema, en $x = a$ , dan sus derivadas: la circunferencia es osculatriz.

Si $q > 0$ , la circunferencia osculatriz se apoya en el gráfico desde arriba por su semicircunferencia inferior, que es convexa; si $q < 0$ , por la superior, que es cóncava. En ambos casos, la proposición del gráfico y su tangente, de la clase sobre concavidad y convexidad, con $n = 2$ , aplicada a $f$ y a $u$ , que tienen la misma tangente y segundas derivadas del mismo signo, pone el gráfico y la circunferencia, cerca de $a$ , del mismo lado de esa tangente. Si $f''(a) = 0$ , ninguna circunferencia sirve, porque la segunda derivada de una semicircunferencia nunca se anula; la recta tangente, cuya segunda derivada es nula, cumple las tres igualdades, y hace el papel de una circunferencia de radio infinito.