Пределы и непрерывность: введение

Краткое содержание

Этот урок открывает раздел о пределах и непрерывности. Он представляет путь раздела, который начинается с определения предела на языке «эпсилон-дельта» и приводит, через уроки, использующие прежние доказательства вместо того, чтобы их повторять, к непрерывности элементарных функций и к сравнению бесконечно малых; восстанавливает историю понятия предела, от апорий Зенона и метода исчерпывания до определения Вейерштрасса, через бесконечно малые величины Ньютона и Лейбница и критику Беркли; формулирует задачу, из которой родилось это понятие, а именно придать смысл частному, которое обращается в $\frac{0}{0}$ , и разбирает, почему ни идея приближения, ни таблица значений не позволяют установить предел. В завершение он указывает, где пределы и непрерывность применяются в остальной части курса, в других курсах сайта, в науке и технике.

Цели обучения

Описывать путь раздела и объяснять, что доказывает каждый урок и какими прежними результатами он пользуется.
Объяснять, почему мгновенная скорость, касательная и площадь требуют понятия предела и почему интуитивной идеи приближения и таблиц значений недостаточно ни для того, чтобы его определить, ни для того, чтобы его вычислить.
Помещать в исторический контекст этапы развития понятия предела, от метода исчерпывания до определения с помощью ε и δ, и указывать задачу или критику, которая вызвала каждый из них.
Указывать, где пределы и непрерывность применяются в остальной части курса, в других курсах и в научных и технических приложениях.

Входная проверка

Прежде чем проходить раздел, полезно измерить исходную точку. Эта самопроверка не оценивается: она нужна, чтобы понять, где стоит задержаться. Первые десять вопросов касаются, по порядку, десяти уроков раздела с основным содержанием, по одному на каждый, и измеряют навык вычисления или рассуждения, а не утверждение, которое нужно помнить; те же навыки снова измеряются в конце, в итоговом уроке, на других данных. Шесть последних проверяют то, что этот раздел считает известным из курсов «Алгебра и геометрия I» и «Алгебра и геометрия II»: модуль, точную верхнюю грань, композицию функций, таблицы знаков, неравенство между синусом, дугой и тангенсом и основное неравенство для экспоненты.

Содержание раздела

В курсе «Алгебра и геометрия I» урок о рациональных функциях использовал вертикальные асимптоты и асимптоты на бесконечности, непрерывность этих функций и теорему о промежуточном значении как принятые факты, без доказательства, поскольку они требовали определения предела, которого ещё не было; а курс «Алгебра и геометрия II» точно так же принял непрерывность тригонометрических функций и обратных к ним. Этот раздел даёт такое определение и доказывает, один за другим, принятые факты, кроме теоремы о промежуточном значении, которая будет доказана в следующем разделе. Доказательства упорядочены так, чтобы их можно было использовать повторно: лишь немногие проводятся с помощью ε и δ, а остальные ссылаются на прежние результаты вместо того, чтобы повторять рассуждение. Уроки идут в таком порядке:

Урок «Предел функции» превращает идею приближения в определение на языке «эпсилон-дельта», уточняет с помощью предельных точек множества, где оно имеет смысл, записывает определение и его отрицание как утверждения с кванторами и доказывает, что предел единствен, что он зависит только от близких значений и что он заставляет функцию быть ограниченной и сохранять знак вблизи точки.
Урок «Арифметические свойства пределов» сводит правила вычисления к трём леммам, доказанным с помощью ε и δ, главная из которых есть признак оценки, и выводит из них, с помощью леммы, согласно которой сужение области определения не лишает функцию предела, пределы суммы, произведения, обратной величины и частного, пределы многочленов, рациональных функций, корней и степеней с рациональным показателем, а также теорему о пределе композиции, которая обосновывает замену переменной.
Урок «Теорема о двух милиционерах» доказывает с помощью признака оценки, что пределы сохраняют нестрогие неравенства, затем саму теорему и предел произведения ограниченной функции на функцию, стремящуюся к нулю; с их помощью он получает пределы синуса и косинуса и первый замечательный предел $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , из которого выводятся остальные тригонометрические пределы.
Урок «Односторонние пределы» определяет их как пределы сужения, так что они наследуют все прежние теоремы, и доказывает, что предел существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и совпадают, и что монотонная ограниченная функция имеет односторонний предел, равный точной верхней или точной нижней грани её значений; это первая теорема, которая гарантирует существование предела, не зная его значения.
Урок «Предел при стремлении переменной к бесконечности» определяет предел, когда переменная неограниченно возрастает, и доказывает с помощью леммы об инверсии, что он равносилен одностороннему пределу в $0$ , так что все прежние теоремы верны и на бесконечности; с их помощью он вычисляет пределы степеней и рациональных функций.
Урок «Бесконечные пределы» сводит их с помощью леммы об обратной величине к пределам, равным нулю; отсюда и из сравнения получаются правила суммы, произведения и частного, и урок показывает, что неопределённости могут давать любой результат, и доказывает теорему о неограниченных монотонных функциях и теорему о композиции с бесконечными пределами.
Урок «Асимптоты» определяет их через односторонние пределы, пределы на бесконечности и бесконечные пределы; он доказывает формулы углового коэффициента и начальной ординаты наклонной асимптоты, единственность невертикальной асимптоты на каждом конце и факты о рациональных функциях, принятые в курсах «Алгебра и геометрия», и предлагает способ строить графики функций без производных.
Урок «Непрерывность» определяет непрерывность через привычные вызов и ответный ход, не исключая точку; он доказывает, что в предельной точке множества она равносильна тому, что предел существует и равен значению, классифицирует разрывы на устранимые, разрывы типа скачка и существенные, наследует из арифметических свойств пределов непрерывность операций и доказывает, что композиция непрерывных функций непрерывна, так что предел проходит под знак непрерывной функции.
Урок «Элементарные функции» доказывает их непрерывность одним рассуждением: монотонная функция, образ которой есть промежуток, не может совершать скачков; с помощью этой непрерывности и основного неравенства для экспоненты урок доказывает замечательные пределы для экспоненты и логарифма, получает число $e$ как предел, раскрывает неопределённость вида $1^\infty$ и сравнивает экспоненту, степени и логарифм на бесконечности.
Урок «Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие» сравнивает их с помощью $\operatorname{o}$ малого, $\operatorname{O}$ большого, одинакового порядка и эквивалентности; он доказывает, что в произведении или частном каждый множитель можно заменить эквивалентным, но не в сумме, кроме случая, когда эквивалентные слагаемых имеют один и тот же знак, и собирает пределы прежних уроков в таблицу эквивалентных бесконечно малых в нуле.

Раздел завершается уроком итогов и задач повышенной трудности, который собирает достигнутое в дедуктивную цепь, повторяет в итоговой проверке навыки входной проверки и предлагает десять задач повышенной трудности.

Историческая предыстория

Логический порядок раздела тоже не совпадает с историческим. Более века исчисление бесконечно малых успешно применялось без определения предела; непрерывность была строго определена раньше, чем предел в его нынешней форме, а определение на языке «эпсилон-дельта» появилось в конце этого процесса, когда исчисление уже решило задачи, ради которых возникло. Эту историю стоит пройти, потому что возражения, которые ему пришлось преодолеть, те же, что обычно выдвигает учащийся.

Бесконечность у греков

Зенон Элейский, живший приблизительно между 490 и 425 годами до нашей эры, выдвинул доводы против возможности движения, известные прежде всего по Физике Аристотеля. Апория «Дихотомия» утверждает, что для того, чтобы пройти путь, сначала нужно дойти до его середины, а ещё раньше до середины этой половины, и так без конца, так что движение не могло бы начаться. Парадокс ставит, не решая его, вопрос о том, могут ли бесконечно многие величины в сумме дать конечную величину, как $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots = 1$ .

Греческие математики обошли этот вопрос с помощью метода исчерпывания, которому Евдокс Книдский придал строгую форму около 370 года до нашей эры: чтобы доказать, что площадь равна некоторой величине, в фигуру вписывают многоугольники, разность которых с ней можно сделать меньше любой заданной величины, и доказывают от противного, что площадь не может быть ни больше, ни меньше этой величины. Около 225 года до нашей эры Архимед так доказал, что площадь параболического сегмента составляет $\frac{4}{3}$ площади вписанного треугольника с тем же основанием и той же вершиной, суммируя треугольники, добавляемые на каждом этапе, площади которых образуют прогрессию $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \cdots$ . Схема этого рассуждения, величина, которую можно сделать меньше любой заданной величины, уже есть схема вызова и ответного хода.

Бесконечно малые Ньютона и Лейбница

В XVII веке задача о касательных и задача о площадях получили общий метод. Исаак Ньютон написал в октябре 1666 года трактат о флюксиях, который не опубликовал, а в 1671 году свой Метод флюксий и бесконечных рядов, опубликованный лишь в 1736 году. Готфрид Вильгельм Лейбниц ввёл знак интеграла в рукописи от 29 октября 1675 года, а 21 ноября впервые записал интеграл со знаком и дифференциалом; своё дифференциальное исчисление он опубликовал в 1684 году в лейпцигском журнале Acta Eruditorum под заглавием Nova methodus pro maximis et minimis, а интегральное исчисление в том же журнале в 1686 году. Оба вычисляли с приращениями, которые считаются отличными от нуля, чтобы на них можно было делить, и равными нулю, чтобы в конце их отбросить.

В 1734 году Джордж Беркли опубликовал Аналитика, критику оснований исчисления Ньютона. Он утверждал, что исчезающие приращения не являются ни конечными величинами, ни бесконечно малыми, ни ничем, что исчисление меняет допущение посреди рассуждения, и спрашивал, нельзя ли назвать их призраками исчезнувших величин. Результаты были верны; Беркли показал, что неверным было обосновывавшее их рассуждение. Следующий пример воспроизводит вычисление, которое он критиковал, и показывает, как его разрешает определение предела.

ПримерЧастное, которое критиковал Беркли

Рассмотрим угловой коэффициент касательной к параболе $y = x^2$ в точке $(1, 1)$ . Рисунок изображает секущие, соединяющие эту точку с другой точкой параболы, всё более близкой к ней, а затем частное как функцию приращения, с выколотой точкой при $h = 0$ .

Доказательство

$q(h) = \frac{(1 + h)^2 - 1^2}{h}$
Секущая, соединяющая $(1, 1)$ с точкой абсциссы $1 + h$ , где $h \neq 0$ , имеет угловой коэффициент, равный разностному отношению.
$h \neq 0 \rightarrow \dato{q}{q(h) = 2 + h}$
При $h \neq 0$ числитель равен $2h + h^2$ , и множитель $h$ сокращается. При уменьшении $h$ секущие наклоняются всё меньше.
$q(0) = \frac{0}{0}, \qquad h \neq 0 \rightarrow q(h) \neq 2$
Вот возражение Беркли: если $h = 0$ , частное есть $\frac{0}{0}$ и сократить его нельзя; если $h \neq 0$ , результат не равен $2$ . Исчисление бесконечно малых использовало $h \neq 0$ , чтобы делить, и $h = 0$ , чтобы отбросить слагаемое $h$ .
$0 < \abs{h} < \varepsilon \rightarrow \abs{q(h) - 2} = \resaltar{\abs{h}} < \varepsilon$
Определение предела снимает возражение: оно не рассматривает $h = 0$ и не требует, чтобы $q(h)$ равнялось $2$ , а лишь чтобы оно было сколь угодно близко к $2$ . На вызов $\varepsilon$ отвечают ходом $\delta = \varepsilon$ .
$\lim_{h \to 0} \frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \resaltar{2}, \qquad y = 2x - 1$
Следовательно, предел равен $2$ , угловому коэффициенту касательной, и никакая величина не обязана быть одновременно нулевой и ненулевой. Прямая с угловым коэффициентом $2$ , проходящая через $(1, 1)$ , есть касательная.

Предел как основание

Выход, указанный примером, прокладывал себе дорогу в течение века. Жан Лерон Д’Аламбер в статье «Дифференциал» четвёртого тома Энциклопедии, написанной в 1754 году, предложил построить исчисление на теории пределов и определил производную как предел отношения приращений. В 1817 году Бернард Больцано опубликовал чисто аналитическое доказательство теоремы о промежуточном значении с заявленной целью освободить исчисление от понятия бесконечно малой и использовал в нём понятие непрерывности, очень близкое к нынешнему; его работа была мало известна при его жизни. В 1821 году Огюстен Луи Коши опубликовал свой Курс анализа, написанный для студентов Политехнической школы в Париже, который положил пределы в основу исчисления и определил непрерывную функцию как такую, у которой бесконечно малое приращение переменной производит бесконечно малое приращение функции.

В то же время менялось понятие функции. Для Эйлера в 1748 году функция была аналитическим выражением; Петер Густав Лежён Дирихле принял в 1837 году гораздо более широкое понятие, в котором значения могут следовать друг за другом как угодно, и ему принадлежит пример функции, равной $0$ на рациональных числах и $1$ на иррациональных, разрывной во всех точках. При столь общих функциях геометрическая интуиция переставала быть надёжным проводником, и определения должны были говорить только о числах и неравенствах.

Определение Вейерштрасса

Карл Вейерштрасс, профессор Берлинского университета с 1856 года, впервые занялся основаниями анализа в своём курсе введения в анализ 1859 и 1860 годов. В его лекциях, известных прежде всего по записям его студентов, определение предела и непрерывности было записано с помощью ε и δ в той форме, которую использует этот курс: без движения, без бесконечно малых, как утверждение с кванторами о действительных числах. В 1872 году, в тот же год, когда Рихард Дедекинд и Георг Кантор опубликовали свои построения действительных чисел, доказывающие полноту, Вейерштрасс представил Берлинской академии наук непрерывную функцию, не имеющую производной ни в одной точке, свидетельство того, что интуиции непрерывной кривой недостаточно, чтобы о ней рассуждать.

Обозначения, с помощью которых последний урок раздела сравнивает функции, появились позже. Пауль Бахман ввёл символ $\operatorname{O}$ в 1894 году в книге Die analytische Zahlentheorie, втором томе своего трактата по теории чисел, а Эдмунд Ландау, принявший этот символ, ввёл символ $\operatorname{o}$ в 1909 году в своём трактате о распределении простых чисел.

Задача, из которой родилось понятие

Три старинные задачи привели к исчислению бесконечно малых, и у всех трёх одинаковое строение. Скорость движущегося тела в данный момент должна была бы быть отношением пройденного расстояния к затраченному времени, когда затраченное время равно нулю; угловой коэффициент касательной к кривой должен был бы быть угловым коэффициентом секущей, две точки которой совпадают; площадь криволинейной фигуры должна была бы быть суммой бесконечного числа прямоугольников нулевой ширины. Во всех трёх случаях непосредственная подстановка даёт $\frac{0}{0}$ или бессмысленную сумму, а правильный результат есть то, к чему стремятся приближения. Первые две задачи ведут к производной, предмету следующего раздела; третья к интегралу, который изучается в курсе «Математический анализ II».

Однако «то, к чему стремятся приближения» ещё не является определением, и тому есть три причины. Первая: приближения недостаточно; урок о пределе функции одной действительной переменной показывает, что значения $\frac{x^2 - 1}{x - 1}$ приближаются к $3$ , когда $x$ переходит от $0{,}9$ к $0{,}99$ , хотя предел равен $2$ . Вторая: таблица рассматривает конечное число точек; тот же урок показывает, что $\sin\frac{\pi}{x}$ равно $0$ во всех точках вида $\frac{1}{n}$ и тем не менее не имеет предела в $0$ . Третья: значения в таблице могут быть вычислены неверно, как показывает следующий пример.

ПримерОбманчивая таблица

Рассмотрим функцию $q(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}$ , определённую при $x \neq 0$ . Рисунок изображает её график с выколотой точкой при $x = 0$ , значения из таблицы и значение, которое выдаёт компьютер очень близко к $0$ ; затем оценку, которая решает вопрос о пределе.

Доказательство

$q(1) \approx 0{,}1623, \qquad q\left(10^{-1}\right) \approx 0{,}16662, \qquad q\left(10^{-2}\right) \approx 0{,}1666662$
Значения в $1$ , $10^{-1}$ и $10^{-2}$ , по-видимому, приближаются к $0{,}1666\ldots$ , то есть к $\frac{1}{6}$ .
$9 + 10^{-16} \approx 9 \rightarrow q\left(10^{-8}\right) \approx \resaltar{0}$
Но при $x = 10^{-8}$ программа, вычисляющая в обычной арифметике с плавающей запятой двойной точности, получает $0$ : сумма $9 + 10^{-16}$ округляется до $9$ , и вычитание в числителе даёт ровно $0$ . Одна лишь таблица не позволяет выбрать между $\frac{1}{6}$ и $0$ .
$q(x) = \frac{\left(x^2 + 9\right) - 9}{x^2\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)} = \dato{r}{\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9} + 3}}$
При $x \neq 0$ умножаем и делим на сопряжённое выражение $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ ; числитель превращается в $x^2$ , которое сокращается.
$\abs{q(x) - \frac{1}{6}} = \frac{x^2}{6\left(\sqrt{x^2 + 9} + 3\right)^2} \leq \resaltar{\frac{x^2}{216}}$
Расстояние до $\frac{1}{6}$ записывается с тем же сопряжённым выражением и оценивается, поскольку $\sqrt{x^2 + 9} \geq 3$ , так что квадрат выражения $\sqrt{x^2 + 9} + 3$ не меньше $36$ .
$0 < \abs{x} < \sqrt{216\varepsilon} \rightarrow \abs{q(x) - \frac{1}{6}} < \varepsilon, \qquad \lim_{x \to 0} q(x) = \resaltar{\frac{1}{6}}$
На вызов $\varepsilon$ отвечают ходом $\delta = \sqrt{216\varepsilon}$ , и предел равен $\frac{1}{6}$ . Значение $0$ , выданное компьютером, есть ошибка округления: оценка гарантирует, что $q\left(10^{-8}\right)$ отличается от $\frac{1}{6}$ меньше чем на $10^{-18}$ .

Определение предела отвечает на все три возражения: оно говорит обо всех близких точках сразу, фиксирует числами, что значит «сколь угодно близко», и доказывается неравенствами, а не приближёнными вычислениями. Но у задачи есть и другая сторона, связанная не с вычислением, а с существованием. Многие пределы раздела доказываются после того, как их значение известно или угадано; другие же существуют, хотя вычислить их не удаётся, и их существование опирается на полноту действительных чисел. Теорема о монотонных функциях из урока об односторонних пределах даёт предел как точную верхнюю грань, и от неё зависит непрерывность экспоненты, логарифма и остальных элементарных функций. Урок о пределе и непрерывности доказывает, что функция, непрерывная и положительная в точке, положительна и в близких к ней точках своей области определения, и это сохранение знака вместе с полнотой даст в следующем разделе теорему о промежуточном значении. Без полноты ничего этого не было бы: функция $x^2 - 2$ , рассматриваемая только на рациональных числах, переходит от отрицательных значений к положительным, ни разу не обращаясь в нуль.

Значение пределов и непрерывности

В остальной части курса

Весь курс опирается на этот раздел. Следующий раздел, о производных, определяет в своём первом уроке производную как предел функции, разностное отношение из примера Беркли, и получает правила дифференцирования из арифметических свойств пределов; производные синуса, экспоненты и логарифма в уроке о производных элементарных функций суть замечательные пределы этого раздела; правило дифференцирования сложной функции опирается на композицию непрерывных функций; теорема о промежуточном значении доказывается с помощью сохранения знака и полноты и обосновывает метод деления отрезка пополам; а производная обратной функции, в уроке о производной обратной функции и дифференцировании неявной функции, требует непрерывности обратной функции. Третий раздел, о приложениях производных, начинается с теоремы Вейерштрасса, согласно которой функция, непрерывная на замкнутом и ограниченном промежутке, достигает своего наибольшего и наименьшего значений, и на неё опираются теоремы Ролля и о среднем значении, поиск максимумов и минимумов и задачи оптимизации. Правило Лопиталя раскрывает неопределённости, которые этот раздел умеет лишь распознавать, а метод Ньютона-Рафсона, завершающий курс, доказывает свою сходимость с помощью выпуклости вниз и точной верхней грани.

В других курсах

В курсе «Математический анализ II» интеграл определяется как предел сумм площадей прямоугольников, задача Архимеда; последовательности и ряды, которые этот курс не изучает, рассматриваются с помощью определений того же типа, а многочлен Тейлора оценивает свою погрешность с помощью $\operatorname{O}$ большого из последнего урока раздела. В курсе «Математический анализ III» определение на языке «эпсилон-дельта» переносится на функции нескольких переменных, с расстоянием на плоскости вместо модуля, и предел может зависеть от пути, по которому приходят в точку. В курсе «Основы механики» мгновенные скорость и ускорение суть пределы отношений приращений. В курсе «Финансовая математика» непрерывное начисление процентов есть предел $\left(1 + \frac{r}{x}\right)^{x}$ при стремлении $x$ к бесконечности, равный $e^{r}$ согласно уроку о замечательных пределах. В курсе «Анализ данных на R» модели роста различаются поведением на бесконечности, а его как раз и описывает сравнение экспоненты, степеней и логарифма. В курсе «Программирование на C++ I» метод деления отрезка пополам приближает корень, полагаясь на теорему о промежуточном значении, стоимость алгоритма измеряется в обозначениях $\operatorname{O}$ Бахмана и Ландау, а числа с плавающей запятой заставляют отличать точный предел от вычисленного значения, как в обманчивой таблице.

В науке и технике

Всякая величина, изменяющаяся непрерывно, будь то положение, температура, концентрация или электрическое напряжение, описывается непрерывными функциями, а её мгновенные скорости изменения суть пределы. Приближения, с которыми работают инженерия и экспериментальные науки (линеаризация явления вблизи точки равновесия, замена $\sin x$ на $x$ при малых колебаниях, отбрасывание слагаемого по сравнению с другим, гораздо большим), являются эквивалентностями вроде тех, что рассматривает последний урок раздела, и верны при тех же условиях. Асимптоты описывают уровень насыщения процесса, который стабилизируется, и неограниченный рост процесса, который не стабилизируется. А вычислительная математика, которая решает на компьютере то, что не имеет замкнутой формулы, основана на различении из примера с обманчивой таблицей: алгоритм даёт приближения, и только оценка погрешности, доказанная неравенствами, говорит, насколько они близки к точному значению.