Пределы и непрерывность: итоги и задачи повышенной трудности

Краткое содержание

Этот урок завершает раздел о пределах и непрерывности. Он собирает в одну дедуктивную цепь то, что доказали десять уроков раздела: определение предела с помощью ε и δ и его локальные свойства, правила арифметики пределов, сведённые к трём леммам, теорему о двух милиционерах и тригонометрические пределы; односторонние пределы, пределы на бесконечности и бесконечные пределы, которые наследуют эти правила через сужение, через инверсию и через обратную величину, а вместе с ними асимптоты; и непрерывность, непрерывность элементарных функций, замечательные пределы и сравнение функций с помощью эквивалентных бесконечно малых. Урок объясняет, как раздел опирается на курс «Алгебра и геометрия I и II», принятые в котором без доказательства факты об асимптотах и непрерывности он превращает в теоремы, и как он готовит изучение производных и их приложений. В конце стоят итоговая проверка, параллельная входной, и десять задач повышенной трудности, более трудных, чем задачи уроков, каждая из которых сочетает результаты нескольких из них.

Цели обучения

Излагать в логическом порядке определения и основные теоремы раздела, указывая, от каких более ранних результатов зависит каждая из них и какие рассуждения с помощью ε и δ используются повторно.
Отличать то, что раздел принимает, от того, что он доказывает, и распознавать условия каждого результата, например условие предела композиции или условие замены эквивалентных.
Связывать результаты раздела с курсом «Алгебра и геометрия I и II» и с изучением производных и их приложений.
Решать нестандартные задачи, в которых сочетаются арифметические свойства пределов, односторонние пределы, пределы на бесконечности и бесконечные пределы, асимптоты, непрерывность, замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые.

Чего достиг раздел

Раздел начался с вопроса и с требования. Вопрос: что значит, что значения функции приближаются к числу, когда переменная приближается к точке. Требование: чтобы решение позволяло доказывать, а не только вычислять, и чтобы каждое рассуждение с помощью ε и δ проводилось один раз и затем использовалось повторно. Решением стало единственное определение, сформулированное в уроке о пределе функции одной действительной переменной: если $a$ есть предельная точка области определения $A$ функции $f$ , то утверждение, что предел функции $f$ в точке $a$ равен $L$ , означает следующее.

(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)

Всё остальное получено из него сведением: правила вычисления сведены к неравенству; односторонние пределы к пределам сужений; пределы на бесконечности к односторонним пределам в нуле; бесконечные пределы к нулевым пределам обратных величин; а непрерывность к равенству предела и значения.

Определение предела и его арифметические свойства

Первый урок прочитал определение как игру вызова и ответного хода, записал его как утверждение с кванторами и построил его отрицание, квантор за квантором. Используя требование, чтобы $a$ была предельной точкой области определения, он доказал единственность предела; а с помощью вызовов, выбранных заранее, доказал, что предел зависит только от значений вблизи точки, что он заставляет функцию оставаться ограниченной вблизи неё и что, если он не равен нулю, он навязывает функции свой знак. Урок об арифметических свойствах пределов упорядочил доказательства так, чтобы их можно было использовать повторно: три леммы, доказанные с помощью ε и δ, показывают, что всякая функция $F$ , удовлетворяющая вблизи $a$ оценке вида $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ , стремится к $K$ , и каждое правило свелось к поиску такой оценки: правило линейной комбинации следует из неравенства треугольника, правило произведения из локальной ограниченности, а правило обратной величины из сохранения знака, причём лемма гарантирует, что сужение области определения не теряет предела. Отсюда последовали непосредственная подстановка в многочлены и рациональные функции, пределы корней и степеней с рациональным показателем и теорема о композиции, которая обосновывает замену переменной при условии, необходимость которого показывает контрпример: внутренняя функция не должна принимать значение своего предела вблизи точки. Урок о теореме о двух милиционерах доказал, что пределы сохраняют нестрогие неравенства, что функция, заключённая между двумя функциями, стремящимися к одному и тому же числу, тоже стремится к нему, и что произведение ограниченной функции на функцию, стремящуюся к нулю, стремится к нулю; с помощью оценки $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ и неравенства между синусом, дугой и тангенсом он получил первый замечательный предел $\frac{\sin x}{x} \to 1$ и его следствия.

Односторонние пределы, бесконечность и асимптоты

Урок об односторонних пределах определил их как пределы сужения функции на одну сторону от точки. Это решение избавило от всей остальной работы: уже доказанные теоремы верны для них без нового доказательства, а предел существует тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны. Тот же урок впервые доказал, не вычисляя значения, что предел существует: функция, возрастающая и ограниченная сверху на промежутке, стремится на его правом конце к точной верхней грани своих значений, и это гарантирует полнота. Урок о пределах при стремлении переменной к бесконечности свёл каждый из них с помощью леммы об инверсии к одностороннему пределу в нуле и получил так поведение рациональных функций вдали от начала координат. Урок о бесконечных пределах дополнил общую схему случаем, когда значения неограниченно возрастают: лемма об обратной величине переводит их в нулевые пределы, так что правила, которые кратко записывают как « $\infty + c = \infty$ » или « $c \cdot \infty = \infty$ », являются теоремами с условиями, а четыре неопределённости являются предупреждениями, а не результатами. Наконец, урок об асимптотах определил их через пределы, нашёл угловой коэффициент и начальную ординату невертикальной асимптоты как два предела, откуда следует, что на каждом конце есть не более одной такой асимптоты, доказал существование вертикальных асимптот у рациональных функций и упорядочил построение эскиза графика без производных; он показал также, что кривая может пересекать свою асимптоту.

Непрерывность и сравнение функций

Урок о пределе и непрерывности определил непрерывность в точке области определения, доказал, что в предельной точке она равносильна равенству предела значению, и разделил разрывы на устранимые, разрывы типа скачка и существенные. Правила арифметики пределов дали непрерывность результатов операций, а композиция непрерывных функций оказалась непрерывной без условия, которого требовала теорема о пределе композиции; отсюда следует, что предел проходит под знак непрерывной функции. Урок о непрерывности элементарных функций одним рассуждением, рассуждением о монотонных функциях, образ которых есть промежуток, доказал непрерывность экспоненты, логарифма, степеней с действительным показателем и обратных тригонометрических функций; с её помощью и с помощью неравенства $e^x \geq 1 + x$ он получил замечательные пределы, число $e$ как предел и неопределённость вида $1^\infty$ , а также сравнил на бесконечности показательную функцию, степени и логарифм. Урок об эквивалентных бесконечно малых и бесконечно больших прочитал все эти пределы как сравнения функций: он определил о малое $\operatorname{o}$ , О большое $\operatorname{O}$ и эквивалентность, доказал, что в произведении или частном каждый множитель можно заменить эквивалентным, и собрал полученные выше пределы в таблицу эквивалентных в нуле.

Что принимается, что доказывается и что остаётся

Итог раздела можно подвести так:

Принимается одна аксиома: аксиома полноты вместе с аксиомами поля и порядка, согласно которой всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань. Используются, кроме того, результаты, доказанные в курсе «Алгебра и геометрия»: неравенство между синусом, дугой и тангенсом, формулы преобразования суммы в произведение, неравенство $e^x \geq 1 + x$ , монотонность показательной функции и теорема о множителе.
Доказываются факты, которые курс «Алгебра и геометрия» принимал без доказательства: вертикальные асимптоты и асимптоты на бесконечности рациональных функций, а также непрерывность рациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.
Повторно используются пять инструментов вместо повторения рассуждений: три леммы об оценке, сохранение знака, сужение области определения (в частности, на одну сторону от точки), инверсия и обратная величина.
На потом остаётся то, что требует большего, чем пределы: теорема о промежуточном значении и производные в следующем по порядку разделе; теорема Вейерштрасса и правило Лопиталя в третьем; многочлен Тейлора в курсе «Математический анализ II».

Рисунок ниже соединяет три участка в одну цепь. Каждый узел столбца есть определение или теорема, пронумерованные в логическом порядке и соединённые дугой с более ранними звеньями, которые использует их доказательство; вокруг расположены опоры, то есть принципы и инструменты, к которым цепь обращается снова и снова, и каждая соединена сплошной линией со звеньями, которые на неё опираются, и пунктирной со звеном, где она устанавливается, кроме тех, которые взяты из курса «Алгебра и геометрия»: они изображены кольцами. Нажатие на опору выделяет все звенья, которые её используют, а каждое звено ведёт к уроку, где оно доказывается.

Опоры цепи

AАксиомы действительных чисел. Из курса «Алгебра и геометрия I» принимается, что действительные числа образуют полное упорядоченное поле: сложение и умножение удовлетворяют аксиомам поля, порядок удовлетворяет трихотомии и согласован с операциями, и всякое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет точную верхнюю грань. В этом модуле принимается без доказательства.
BНаследие курса «Алгебра и геометрия». Результаты, доказанные в курсе «Алгебра и геометрия I и II»: разложение на множители выражения $u^n - v^n$ и степень с рациональным показателем, неравенства $\abs{\sin x} \leq \abs{x}$ и $\sin x < x < \tan x$ при $0 < x < \frac{\pi}{2}$ , формулы преобразования суммы в произведение и понижения степени, неравенство $e^x \geq 1 + x$ , монотонность и множество значений показательной функции, обратные тригонометрические функции, теорема о множителе и таблицы знаков. В этом модуле принимается без доказательства.
CПризнак оценки. Если вблизи $a$ выполняется $\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)$ , где $C > 0$ , $f \to L$ и $g \to M$ , то $F \to K$ ; каждое правило сводится к поиску такой оценки. Устанавливается в: 4. Три леммы.
DЛокальная ограниченность и знак. Если функция $f$ стремится к $L$ в точке $a$ , то вблизи $a$ выполняется $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ ; а если $L \neq 0$ , то вблизи $a$ функция имеет знак числа $L$ и $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ . Устанавливается в: 3. Локальные свойства.
EЗамена переменной. Если $g(x) \to b$ , $f(t) \to L$ при $t \to b$ и $g(x) \neq b$ вблизи $a$ , то $f(g(x)) \to L$ . Устанавливается в: 8. Предел композиции.
FСужение. Если функция $f$ стремится к $L$ в точке $a$ и $a$ есть предельная точка подмножества $B$ области определения, то сужение функции $f$ на $B$ тоже стремится к $L$ ; односторонний предел есть предел сужения, и поэтому все теоремы о пределах верны для односторонних пределов. Устанавливается в: 5. Предел сужения.
GИнверсия. Предел функции $f$ на $\infty$ есть предел функции $f\left(\frac{1}{t}\right)$ при стремлении $t$ к $0$ справа, а предел на $-\infty$ есть такой же предел слева; поэтому все теоремы о пределах верны на бесконечности. Устанавливается в: 15. Лемма об инверсии.
HОбратная величина. Функция стремится к $\infty$ тогда и только тогда, когда она положительна вблизи цели и обратная к ней величина стремится к $0$ ; поэтому правила для конечных пределов решают вопрос о бесконечных. Устанавливается в: 17. Лемма об обратной величине.

Участок 1 Определение предела и его арифметические свойства
- Определять предел в предельной точке с помощью ε и δ, записывать его и строить его отрицание как утверждение с кванторами, доказывать его единственность и его локальные свойства.
- Сводить каждое правило арифметики пределов к оценке с помощью трёх лемм и находить пределы рациональных функций, корней и степеней.
- Делать замену переменной с помощью теоремы о композиции, распознавая её условие.
- Доказывать теорему о двух милиционерах и с её помощью первый замечательный предел и его следствия.
1. Определение предела. Если $a$ есть предельная точка области определения $A$ функции $f$ , то предел функции $f$ в точке $a$ равен $L$ , когда $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - L} < \varepsilon\right)$ ; и не равен, когда $(\exists \varepsilon > 0)(\forall \delta > 0)(\exists x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \wedge \abs{f(x) - L} \geq \varepsilon\right)$ .
  Доказывается в уроке: Предел функции одной действительной переменной.
2. Единственность предела. Если $a$ есть предельная точка области определения функции $f$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ и $\lim_{x \to a} f(x) = L'$ , то $L = L'$ .
  Использует: 1. Определение предела. Опирается на: A (Аксиомы действительных чисел). Доказывается в уроке: Предел функции одной действительной переменной.
3. Локальные свойства. Предел в точке $a$ зависит только от значений функции в проколотой окрестности точки $a$ ; если $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , то вблизи $a$ выполняется $\abs{f(x)} < \abs{L} + 1$ , а если к тому же $L \neq 0$ , то $f(x)$ имеет знак числа $L$ и $\abs{f(x)} > \frac{\abs{L}}{2}$ .
  Использует: 1. Определение предела. Опирается на: A (Аксиомы действительных чисел). Доказывается в уроке: Предел функции одной действительной переменной.
4. Три леммы. Предел функции $f$ в точке $a$ равен $L$ тогда и только тогда, когда предел выражения $\abs{f(x) - L}$ равен $0$ ; если $\abs{f(x) - L} \leq C\abs{h(x)}$ вблизи $a$ , где $C > 0$ и $\lim_{x \to a} h(x) = 0$ , то $\lim_{x \to a} f(x) = L$ ; и сумма двух расстояний, стремящихся к нулю, стремится к нулю.
  Использует: 1. Определение предела. Доказывается в уроке: Арифметические свойства пределов.
5. Предел сужения. Если $B$ есть подмножество области определения $A$ функции $f$ , $a$ есть предельная точка множества $B$ и $\lim_{x \to a} f(x) = L$ , то сужение функции $f$ на $B$ тоже стремится к $L$ в точке $a$ : ответный ход, годный для $A$ , годен и для $B$ .
  Использует: 1. Определение предела. Доказывается в уроке: Арифметические свойства пределов.
6. Арифметические свойства пределов. Если $\lim_{x \to a} f(x) = L$ и $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , то $\alpha f + \beta g$ стремится к $\alpha L + \beta M$ , а $fg$ к $LM$ ; а если $M \neq 0$ , то $\frac{1}{g}$ стремится к $\frac{1}{M}$ , а $\frac{f}{g}$ к $\frac{L}{M}$ .
  Использует: 3. Локальные свойства, 4. Три леммы. Опирается на: C (Признак оценки), D (Локальная ограниченность и знак), F (Сужение). Доказывается в уроке: Арифметические свойства пределов.
7. Многочлены, корни и степени. Многочлен, а также рациональная функция, знаменатель которой не обращается в нуль в точке $a$ , имеют пределом в точке $a$ своё значение; $\sqrt[n]{f(x)}$ стремится к $\sqrt[n]{L}$ , причём $f \geq 0$ , если $n$ чётно; а если $L > 0$ , то $\left(f(x)\right)^{\frac{p}{q}}$ стремится к $L^{\frac{p}{q}}$ .
  Использует: 1. Определение предела, 6. Арифметические свойства пределов. Опирается на: B (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), C (Признак оценки), D (Локальная ограниченность и знак). Доказывается в уроке: Арифметические свойства пределов.
8. Предел композиции. Если $\lim_{x \to a} g(x) = b$ , $\lim_{t \to b} f(t) = L$ и $g(x) \neq b$ вблизи $a$ , то $\lim_{x \to a} f(g(x)) = L$ ; без условия $g(x) \neq b$ заключение может не выполняться.
  Использует: 1. Определение предела. Доказывается в уроке: Арифметические свойства пределов.
9. Сохранение неравенств. Если $f(x) \leq g(x)$ вблизи $a$ , $\lim_{x \to a} f(x) = L$ и $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , то $L \leq M$ ; строгое неравенство не сохраняется.
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов. Опирается на: D (Локальная ограниченность и знак). Доказывается в уроке: Теорема о двух милиционерах и тригонометрические пределы.
10. Теорема о двух милиционерах. Если $h(x) \leq f(x) \leq g(x)$ вблизи $a$ , а $h$ и $g$ стремятся к $L$ , то и $f$ стремится к $L$ ; и произведение функции, ограниченной вблизи $a$ , на функцию, стремящуюся к $0$ , стремится к $0$ .
  Использует: 4. Три леммы. Опирается на: C (Признак оценки). Доказывается в уроке: Теорема о двух милиционерах и тригонометрические пределы.
11. Синус и косинус. Для всех действительных $x$ и $a$ выполняются $\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}$ и $\abs{\cos x - \cos a} \leq \abs{x - a}$ ; следовательно, $\lim_{x \to a} \sin x = \sin a$ и $\lim_{x \to a} \cos x = \cos a$ .
  Использует: 4. Три леммы. Опирается на: B (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), C (Признак оценки). Доказывается в уроке: Теорема о двух милиционерах и тригонометрические пределы.
12. Первый замечательный предел. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ ; и при стремлении $x$ к $0$ выражение $\frac{\tan x}{x}$ стремится к $1$ , $\frac{\sin kx}{x}$ к $k$ , а $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ к $\frac{1}{2}$ .
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов, 10. Теорема о двух милиционерах, 11. Синус и косинус. Опирается на: B (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), E (Замена переменной). Доказывается в уроке: Теорема о двух милиционерах и тригонометрические пределы.
Участок 2 Односторонние пределы, бесконечность и асимптоты
- Определять односторонние пределы как пределы сужений, так чтобы они наследовали все теоремы, и характеризовать предел через два односторонних предела.
- Выводить из полноты предел монотонной ограниченной функции как точную грань.
- Сводить пределы на бесконечности к односторонним пределам в нуле, а бесконечные пределы к нулевым, вместе с их правилами и неопределённостями.
- Находить асимптоты функции с помощью двух пределов, доказывать существование вертикальных асимптот рациональных функций и строить эскизы графиков без производных.
1. Односторонние пределы. Предел справа функции $f$ в точке $a$ есть предел в точке $a$ её сужения на точки области определения, большие чем $a$ , а предел слева есть предел сужения на меньшие; если $a$ есть предельная точка с обеих сторон, то функция $f$ имеет предел $L$ в точке $a$ тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны $L$ .
  Использует: 1. Определение предела, 5. Предел сужения, 2. Единственность предела. Доказывается в уроке: Односторонние пределы.
2. Монотонные функции. Если функция $f$ возрастает и ограничена сверху на $\ioo{c}{b}$ , то $\lim_{x \to b^-} f(x) = \sup\left\{ f(x) : c < x < b \right\}$ ; а если она возрастает и ограничена снизу, то её предел справа в точке $c$ есть точная нижняя грань её значений.
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов, 13. Односторонние пределы. Опирается на: A (Аксиомы действительных чисел), E (Замена переменной), F (Сужение). Доказывается в уроке: Односторонние пределы.
3. Лемма об инверсии. Предел функции $f$ на $\infty$ равен $L$ , если для всякого $\varepsilon > 0$ существует $M$ , такое что $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ при $x > M$ ; при этом $\lim_{x \to \infty} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{t \to 0^+} f\left(\frac{1}{t}\right) = L$ , и аналогично на $-\infty$ с пределом слева.
  Использует: 13. Односторонние пределы. Доказывается в уроке: Пределы при стремлении переменной к бесконечности.
4. Рациональные функции на бесконечности. Для всякого рационального $r > 0$ функция $\frac{1}{x^r}$ стремится к $0$ на $\infty$ ; а частное двух многочленов степеней $n$ и $m$ стремится на $\pm\infty$ к $0$ , если $n < m$ , к частному старших коэффициентов, если $n = m$ , и не имеет конечного предела, если $n > m$ .
  Использует: 2. Единственность предела, 6. Арифметические свойства пределов, 7. Многочлены, корни и степени. Опирается на: D (Локальная ограниченность и знак), F (Сужение), G (Инверсия). Доказывается в уроке: Пределы при стремлении переменной к бесконечности.
5. Лемма об обратной величине. Функция $f$ стремится к $\infty$ при цели $P$ , которая есть точка, одна сторона точки или $\pm\infty$ , если для всякого действительного $N$ выполняется $f(x) > N$ вблизи $P$ ; это происходит тогда и только тогда, когда $f$ положительна вблизи $P$ и $\frac{1}{f}$ стремится к $0$ ; а $f$ стремится к $-\infty$ тогда и только тогда, когда $-f$ стремится к $\infty$ .
  Использует: 1. Определение предела. Доказывается в уроке: Бесконечные пределы.
6. Правила с бесконечными пределами. Если $f \leq g$ вблизи $P$ и $f$ стремится к $\infty$ , то и $g$ стремится туда же; если $f$ стремится к $\infty$ , то туда же стремится $f + g$ , когда $g$ ограничена снизу, и $fg$ , когда $g$ стремится к положительному числу или к $\infty$ ; а частное, числитель которого стремится к положительному числу, а знаменатель стремится к $0$ , принимая положительные значения, стремится к $\infty$ .
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов. Опирается на: D (Локальная ограниченность и знак), F (Сужение), G (Инверсия), H (Обратная величина). Доказывается в уроке: Бесконечные пределы.
7. Неограниченные монотонные. Если функция $f$ возрастает на $\ioo{c}{b}$ , где $b$ действительно или $b = \infty$ , и не ограничена сверху, то $f$ стремится к $\infty$ слева в точке $b$ , или на $\infty$ , если $b = \infty$ .
  Использует: 17. Лемма об обратной величине. Доказывается в уроке: Бесконечные пределы.
8. Композиция с бесконечным пределом. Если $g$ стремится к $\infty$ при цели $P$ , а $f(u)$ стремится к $L$ при стремлении $u$ к $\infty$ , то $f(g(x))$ стремится к $L$ при цели $P$ без всякого условия на значения $g$ ; и то же верно, если $f(u)$ стремится к $\infty$ или к $-\infty$ .
  Использует: 15. Лемма об инверсии, 17. Лемма об обратной величине. Доказывается в уроке: Бесконечные пределы.
9. Нахождение асимптоты. Прямая $y = mx + b$ является асимптотой графика функции $f$ на $\infty$ , то есть $f(x) - (mx + b)$ стремится к $0$ , тогда и только тогда, когда $m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \infty} \left(f(x) - mx\right)$ ; следовательно, на каждом конце есть не более одной невертикальной асимптоты.
  Использует: 2. Единственность предела, 6. Арифметические свойства пределов, 16. Рациональные функции на бесконечности. Опирается на: G (Инверсия). Доказывается в уроке: Асимптоты и методы построения графиков.
10. Вертикальные асимптоты. Если $r$ есть корень многочлена $B$ и $A(r) \neq 0$ , то прямая $x = r$ является вертикальной асимптотой графика функции $\frac{A}{B}$ , и с каждой стороны от $r$ функция стремится к $\infty$ или к $-\infty$ в зависимости от знака, который приписывает ей таблица знаков на прилежащем промежутке.
  Использует: 7. Многочлены, корни и степени, 18. Правила с бесконечными пределами. Опирается на: B (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), D (Локальная ограниченность и знак), F (Сужение). Доказывается в уроке: Асимптоты и методы построения графиков.
Участок 3 Непрерывность и сравнение функций
- Определять непрерывность, связывать её с пределом и классифицировать разрывы как устранимые, разрывы типа скачка и существенные.
- Доказывать, что операции и композиция сохраняют непрерывность и что предел проходит под знак непрерывной функции.
- Доказывать непрерывность элементарных функций с помощью рассуждения о монотонных функциях, а с её помощью замечательные пределы и неопределённость вида $1^\infty$ .
- Сравнивать функции с помощью о малого $\operatorname{o}$ и эквивалентности и заменять эквивалентными в произведениях и частных, но не в суммах.
1. Непрерывность и предел. Функция $f$ непрерывна в точке $a$ своей области определения $A$ , если $(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)$ ; если $a$ есть предельная точка множества $A$ , это равносильно $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ , а если это изолированная точка, условие выполняется всегда.
  Использует: 1. Определение предела. Доказывается в уроке: Предел и непрерывность.
2. Операции над непрерывными функциями. Линейные комбинации, произведения, частные с ненулевым знаменателем и корни функций, непрерывных в точке $a$ , непрерывны в точке $a$ ; следовательно, многочлены, рациональные функции, корни, модуль, синус, косинус и тангенс непрерывны на своей области определения.
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов, 7. Многочлены, корни и степени, 11. Синус и косинус, 23. Непрерывность и предел. Опирается на: C (Признак оценки). Доказывается в уроке: Предел и непрерывность.
3. Композиция непрерывных функций. Если $g$ непрерывна в точке $a$ , а $f$ непрерывна в точке $g(a)$ , то $f \circ g$ непрерывна в точке $a$ ; а если $g(x)$ стремится к $b$ и $f$ непрерывна в точке $b$ , то $\lim_{x \to a} f(g(x)) = f(b)$ , и это верно также для одностороннего предела или на $\pm\infty$ .
  Использует: 3. Локальные свойства, 23. Непрерывность и предел. Опирается на: F (Сужение), G (Инверсия). Доказывается в уроке: Предел и непрерывность.
4. Непрерывные элементарные функции. Функция, определённая на промежутке, монотонная на нём и такая, что её образ есть промежуток, непрерывна; непрерывна и обратная к строго монотонной функции с этими свойствами; поэтому на своей области определения непрерывны экспонента, логарифм, степени с действительным показателем, обратные тригонометрические и гиперболические функции.
  Использует: 13. Односторонние пределы, 14. Монотонные функции, 23. Непрерывность и предел, 24. Операции над непрерывными функциями, 25. Композиция непрерывных функций. Опирается на: B (Наследие курса «Алгебра и геометрия»). Доказывается в уроке: Непрерывность элементарных функций и замечательные пределы.
5. Замечательные пределы. При стремлении $x$ к $0$ выражения $\frac{e^x - 1}{x}$ и $\frac{\ln(1 + x)}{x}$ стремятся к $1$ , $\frac{a^x - 1}{x}$ к $\ln a$ , а $\frac{\left(1 + x\right)^r - 1}{x}$ к $r$ ; кроме того, $\left(1 + x\right)^{\frac{1}{x}}$ стремится к $e$ в точке $0$ , а $\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ стремится туда же на $\pm\infty$ .
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов, 10. Теорема о двух милиционерах, 13. Односторонние пределы, 26. Непрерывные элементарные функции, 25. Композиция непрерывных функций. Опирается на: B (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), E (Замена переменной), G (Инверсия). Доказывается в уроке: Непрерывность элементарных функций и замечательные пределы.
6. Неопределённость вида один в степени бесконечность. Если $f > 0$ вблизи $P$ , $f(x)$ стремится к $1$ , а $g(x)\left(f(x) - 1\right)$ стремится к действительному числу $\lambda$ , то $\left(f(x)\right)^{g(x)}$ стремится к $e^{\lambda}$ .
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов, 26. Непрерывные элементарные функции, 25. Композиция непрерывных функций, 27. Замечательные пределы. Доказывается в уроке: Непрерывность элементарных функций и замечательные пределы.
7. Показательные функции, степени и логарифмы. Если $r > 0$ и $a > 1$ , то $\frac{x^r}{a^x}$ и $\frac{\ln x}{x^r}$ стремятся к $0$ на $\infty$ , а $x^r \ln x$ стремится к $0$ при стремлении $x$ к $0$ справа.
  Использует: 10. Теорема о двух милиционерах, 16. Рациональные функции на бесконечности, 19. Неограниченные монотонные, 20. Композиция с бесконечным пределом. Опирается на: B (Наследие курса «Алгебра и геометрия»), G (Инверсия). Доказывается в уроке: Непрерывность элементарных функций и замечательные пределы.
8. Сравнение функций. $f = \operatorname{o}(g)$ при цели $P$ , если $\frac{f}{g}$ стремится к $0$ , и $f \sim g$ , если это отношение стремится к $1$ ; эквивалентность рефлексивна, симметрична и транзитивна, и $f \sim g$ тогда и только тогда, когда $f - g = \operatorname{o}(g)$ .
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов. Доказывается в уроке: Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие.
9. Замена эквивалентных. Если $f \sim f_1$ и $g \sim g_1$ при цели $P$ , то $\frac{f h}{g}$ имеет предел, конечный или бесконечный, тогда и только тогда, когда его имеет $\frac{f_1 h}{g_1}$ , и эти пределы совпадают; теорема верна для множителей, а не для слагаемых.
  Использует: 6. Арифметические свойства пределов, 18. Правила с бесконечными пределами, 30. Сравнение функций. Доказывается в уроке: Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие.
10. Сумма эквивалентных одного знака. Если $f_1 \sim g_1$ и $f_2 \sim g_2$ при цели $P$ , а $g_1$ и $g_2$ обе положительны или обе отрицательны вблизи $P$ , то $f_1 + f_2 \sim g_1 + g_2$ .
  Использует: 4. Три леммы, 10. Теорема о двух милиционерах, 30. Сравнение функций. Опирается на: C (Признак оценки). Доказывается в уроке: Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие.
11. Таблица эквивалентных. В точке $0$ функции $\sin x$ , $\tan x$ , $\arctan x$ , $e^x - 1$ и $\ln(1 + x)$ эквивалентны $x$ , $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$ , $a^x - 1 \sim x \ln a$ , $\left(1 + x\right)^r - 1 \sim r x$ , и всякий многочлен эквивалентен своему члену наименьшей степени; эквивалентности остаются верными, если вместо $0$ подставить любую функцию, которая стремится к $x$ , не обращаясь в нуль.
  Использует: 7. Многочлены, корни и степени, 12. Первый замечательный предел, 27. Замечательные пределы. Опирается на: E (Замена переменной). Доказывается в уроке: Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие.

К производной. Цепь останавливается там, где предел перестаёт быть предметом изучения и становится инструментом: следующий по порядку раздел определяет производную как предел разностного отношения, выводит её правила из арифметических свойств пределов и из композиции, производные элементарных функций из замечательных пределов, а теорему о промежуточном значении из сохранения знака и полноты.

Далее в этом уроке

Раздел внутри курса
Итоговая проверка
Задачи повышенной трудности
Целая часть без скачков
Два корня, которые почти сокращаются
Расстояние между предметом и его изображением
Степень синуса и косинуса
Логарифмы экспонент
Наклонная асимптота с экспонентой
Функция, которая шагает на единицу
Эквивалентности, которые не переходят в экспоненту
Функция, которая не меняется при удвоении переменной
Функция пределов