Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие

Краткое содержание

Это занятие завершает раздел о пределах методом вычисления, который объединяет почти всё изученное ранее: сравнением функций, стремящихся к нулю или к бесконечности. Определяются $o$ малое, $O$ большое, одинаковый порядок и эквивалентность, и доказывается, что в произведении или частном каждый множитель можно заменить эквивалентным, не изменив предела. Тригонометрические пределы, пределы для экспоненты, логарифма и степеней, а также пределы многочленов, доказанные на предыдущих занятиях, собираются в таблицу эквивалентных бесконечно малых, которая позволяет с одного взгляда вычислять пределы, прежде требовавшие нескольких преобразований. Занятие показывает также самую частую ошибку при этом методе, замену внутри суммы, случаи, когда сумму всё же можно заменить, и то, как сравниваются степени вблизи нуля и вдали от начала координат.

Цели обучения

Определять $o$ малое, $O$ большое, одинаковый порядок и эквивалентность функций в точке, с одной стороны или на бесконечности, и доказывать их свойства.
Доказывать теорему о замене эквивалентных в произведениях и частных и понимать, почему она не действует для сумм.
Доказывать таблицу эквивалентных бесконечно малых в нуле и применять её вместе с композицией для вычисления пределов и нахождения порядка и главной части бесконечно малой.
Сравнивать степенные бесконечно большие и бесконечно малые и отличать эквивалентность от существования асимптоты.

Как сравнивать функции

Занятия о теореме о двух милиционерах и о бесконечных пределах показали, что неопределённости вида $\frac{0}{0}$ и $\frac{\infty}{\infty}$ не имеют определённого результата: предел частного двух функций, стремящихся к нулю, зависит от того, насколько быстро они к нему стремятся. Идея этого занятия состоит в том, чтобы измерить эту быстроту, сравнивая каждую функцию с другой, более простой. Как и на занятии о бесконечных пределах, $P$ обозначает цель переменной ( $a$ , $a^+$ , $a^-$ , $\infty$ или $-\infty$ ), а «вблизи $P$ » означает в проколотой окрестности, с одной стороны или на луче. Если функция определена лишь на множестве $A$ , для которого $a$ есть предельная точка, то «вблизи $a$ » означает в точках множества $A$ из проколотой окрестности с центром $a$ , а пределы понимаются как на занятии о пределе функции одной действительной переменной, по множеству $A$ ; приведённые ниже определения применяются и в этом случае.

ОпределениеСравнение функций

Пусть функции $f$ и $g$ определены вблизи $P$ , причём $g(x) \neq 0$ вблизи $P$ .

$f$ пренебрежимо мала по сравнению с $g$ в $P$ , и пишут $f = \operatorname{o}(g)$ , что читается « $f$ есть о малое от $g$ », если $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$ .
$f$ ограничена относительно $g$ в $P$ , и пишут $f = \operatorname{O}(g)$ , что читается « $f$ есть О большое от $g$ », если существует $C > 0$ , такое что $\abs{f(x)} \leq C\abs{g(x)}$ вблизи $P$ ; иначе говоря, если частное $\frac{f(x)}{g(x)}$ ограничено вблизи $P$ .
$f$ и $g$ одного порядка в $P$ , если $\frac{f(x)}{g(x)}$ стремится к числу, отличному от нуля.
$f$ и $g$ эквивалентны в $P$ , и пишут $f \sim g$ , если $\lim_{x \to P} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$ .

Функция, стремящаяся к $0$ в $P$ , называется бесконечно малой в $P$ , а стремящаяся к $\infty$ или к $-\infty$ , бесконечно большой. Бесконечно малая в $0$ имеет порядок $k > 0$ , если она одного порядка с $x^k$ (в $0^+$ , если $x^k$ определена лишь при $x > 0$ ), и тогда, если $\frac{f(x)}{x^k}$ стремится к $c$ , функция $c\,x^k$ есть её главная часть: $f \sim c\,x^k$ .

Слово „бесконечно малая“ обозначает не очень маленькое число, а функцию, стремящуюся к нулю; запись $\operatorname{o}(g)$ обозначает не конкретную функцию, а любую из функций, пренебрежимо малых по сравнению с $g$ . Например, $x^2 = \operatorname{o}(x)$ в $0$ , поскольку $\frac{x^2}{x} = x$ стремится к $0$ ; напротив, $x = \operatorname{o}(x^2)$ в $\infty$ , поскольку $\frac{x}{x^2} = \frac{1}{x}$ стремится к $0$ . Одна и та же пара функций сравнивается противоположным образом в зависимости от цели. Одинаковый порядок и эквивалентность в сущности являются одним и тем же сравнением: если $f$ и $g$ одного порядка и их частное стремится к $c$ , то $f \sim c\,g$ .

УтверждениеСвойства сравнения

При одной и той же цели $P$ :

эквивалентность рефлексивна, симметрична и транзитивна: $f \sim f$ ; если $f \sim g$ , то $g \sim f$ ; и если $f \sim g$ и $g \sim h$ , то $f \sim h$ ;
$f \sim g$ тогда и только тогда, когда $f - g = \operatorname{o}(g)$ ; в частности, если $h = \operatorname{o}(g)$ , то $g + h \sim g$ ;
если $f = \operatorname{o}(h)$ и $g = \operatorname{o}(h)$ , то $f + g = \operatorname{o}(h)$ и $c\,f = \operatorname{o}(h)$ для любого действительного $c$ .

Каждое утверждение есть правило из занятия об арифметических свойствах пределов, применённое к частному.

Доказательство

$\frac{g}{f} = \frac{1}{\frac{f}{g}} \to 1, \qquad \frac{f}{h} = \frac{f}{g} \cdot \frac{g}{h} \to 1 \cdot 1 = \resaltar{1}$
Частное от деления $f$ на саму себя равно $1$ . Если $\frac{f}{g}$ стремится к $1$ , то обратная величина стремится к $\frac{1}{1} = 1$ по правилу обратной величины. Если $\frac{f}{g}$ и $\frac{g}{h}$ стремятся к $1$ , то и их произведение тоже, по правилу произведения.
$\frac{f - g}{g} = \frac{f}{g} - 1 \to 0 \Leftrightarrow \frac{f}{g} \to \resaltar{1}$
Частное от деления $f - g$ на $g$ равно $\frac{f}{g} - 1$ , и оно стремится к $0$ тогда и только тогда, когда $\frac{f}{g}$ стремится к $1$ . При $f = g + h$ разность равна $h$ .
$\frac{f + g}{h} = \frac{f}{h} + \frac{g}{h} \to 0 + 0 = \resaltar{0}$
Если $\frac{f}{h}$ и $\frac{g}{h}$ стремятся к $0$ , то к нулю стремятся и их сумма, и произведение каждого из них на постоянную, по правилу линейной комбинации.

$O$ большое не требует, чтобы частное имело предел, а лишь чтобы оно не росло бесконтрольно. Например, $\sin x = \operatorname{O}(1)$ в $\infty$ , хотя у $\sin x$ там нет предела, и $x \sin \frac{1}{x} = \operatorname{O}(x)$ в $0$ , поскольку $\abs{x \sin \frac{1}{x}} \leq \abs{x}$ . Для вычисления пределов достаточно $o$ малого; $O$ большое послужит для оценки погрешностей приближения, например погрешности многочлена Тейлора, который будет изучаться в курсе «Математический анализ II». Правила для него таковы.

УтверждениеПравила для О большого

При одной и той же цели $P$ :

если $\frac{f}{g}$ имеет конечный предел в $P$ , то $f = \operatorname{O}(g)$ ; в частности, если $f = \operatorname{o}(g)$ или если $f \sim g$ ;
если $f = \operatorname{O}(h)$ и $g = \operatorname{O}(h)$ , то $f + g = \operatorname{O}(h)$ и $c\,f = \operatorname{O}(h)$ для любого действительного $c$ ;
если $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ и $f_2 = \operatorname{O}(g_2)$ , то $f_1 f_2 = \operatorname{O}(g_1 g_2)$ ;
если $f_1 = \operatorname{O}(g_1)$ и $f_2 = \operatorname{o}(g_2)$ , то $f_1 f_2 = \operatorname{o}(g_1 g_2)$ .

Каждое правило есть неравенство между модулями; последнее сочетает оценку с частным, стремящимся к нулю.

Доказательство

$\abs{\frac{f(x)}{g(x)}} \leq \abs{\frac{f(x)}{g(x)} - L} + \abs{L} < \resaltar{\abs{L} + 1}$
Если $\frac{f}{g}$ стремится к $L$ , то на вызов $\varepsilon = 1$ есть ответный ход: вблизи $P$ частное отстоит от $L$ меньше чем на $1$ , и по неравенству треугольника его модуль не превосходит $\abs{L} + 1$ .
$\abs{f(x) + g(x)} \leq C_1\abs{h(x)} + C_2\abs{h(x)} = \resaltar{(C_1 + C_2)\abs{h(x)}}$
Оценки $C_1$ для $f$ и $C_2$ для $g$ выполняются одновременно вблизи $P$ , в пересечении двух окрестностей. Неравенство треугольника оценивает сумму; для кратного оценкой служит $\abs{c}\,C_1$ .
$\abs{f_1(x) f_2(x)} \leq C_1\abs{g_1(x)} \cdot C_2\abs{g_2(x)} = \resaltar{C_1 C_2 \abs{g_1(x) g_2(x)}}$
Оценки двух множителей перемножаются.
$0 \leq \abs{\frac{f_1(x) f_2(x)}{g_1(x) g_2(x)}} \leq C_1 \abs{\frac{f_2(x)}{g_2(x)}} \to \resaltar{0}$
Частное от деления произведения на $g_1 g_2$ есть произведение частного, ограниченного числом $C_1$ , и частного, стремящегося к $0$ ; по теореме о двух милиционерах оно стремится к $0$ .

Далее в этом уроке

Теорема о замене
Таблица эквивалентных бесконечно малых
Сравнение бесконечно больших
Решённые задачи
Непосредственная замена
Сумма, которую нельзя заменять
Кубический корень
Эквивалентные бесконечно большие
Порядок суммы
Задачи для самостоятельного решения
Три замены
Разность двух корней
Эквивалентность для композиции
Эквивалентность без асимптоты
На каждом конце доминирует своя степень