Перейти к содержимому
Topos Uranos
Русский

Непрерывность элементарных функций и замечательные пределы

Краткое содержание

На этом занятии доказывается, что недостающие элементарные функции, показательная функция, логарифм, степени с действительным показателем, обратные тригонометрические и гиперболические функции, непрерывны, причём одним-единственным рассуждением: монотонная функция, значения которой заполняют промежуток, не может совершать скачок. С помощью этой непрерывности и основного неравенства для экспоненты доказываются замечательные пределы для экспоненты и логарифма, и число ee получается как предел выражения (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}}. Занятие раскрывает также неопределённость вида 1∞1^\infty и сравнивает показательную функцию, степени и логарифм на бесконечности.

Цели обучения

  1. Доказывать, что монотонная функция, образ которой есть промежуток, непрерывна, и выводить отсюда непрерывность обратной функции и элементарных функций.
  2. Доказывать замечательные пределы для экспоненты, логарифма и степеней.
  3. Получать число ee как предел и раскрывать неопределённость вида 1∞1^\infty.
  4. Сравнивать показательную функцию, степени и логарифм на бесконечности и вблизи нуля.

Монотонные функции без скачков

На занятии о пределе и непрерывности было доказано, что многочлены, корни, модуль и тригонометрические функции непрерывны, а показательная функция, логарифм и обратные тригонометрические функции остались на потом. Для них нет столь простой оценки, как ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}. Зато есть общее рассуждение: все они монотонны, и их значения заполняют промежуток, не оставляя пропусков. Монотонная функция может быть разрывной только за счёт скачка, а скачок оставляет пропуск между значениями.

ТеоремаМонотонные функции, образ которых есть промежуток

Пусть ff есть функция, определённая на промежутке II и монотонная на нём, и пусть её образ f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} есть промежуток. Тогда ff непрерывна на II. По занятию об односторонних пределах, с каждой стороны от точки монотонная функция имеет предел; если бы этот предел не совпадал со значением, в образе остался бы пропуск. На рисунке показана возрастающая функция со скачком и пропуск, который он оставляет.

Доказательство

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    Достаточно рассмотреть возрастающую функцию: если ff убывает, то −f-f возрастает и её образ тоже есть промежуток. Пусть aa есть точка из II, отличная от его левого конца, и пусть c<ac < a, причём обе точки лежат в II. На (c,a)\ioo{c}{a} функция возрастает и ограничена сверху числом f(a)f(a); по теореме о пределе монотонной функции предел слева существует и равен точной верхней грани этих значений.

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    Предположим, что L<f(a)L < f(a). Середина yy между LL и f(a)f(a) лежит между значениями f(c)f(c) и f(a)f(a), так что она принадлежит образу, который есть промежуток. Но ни одно xx из II её не достигает: если x<ax < a, значение не превосходит LL, а если x≥ax \geq a, оно не меньше f(a)f(a). Получено противоречие.

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    Следовательно, L=f(a)L = f(a). Точно так же, с помощью точной нижней грани и следствия о левом конце из того же занятия, предел справа равен f(a)f(a) в каждой точке aa из II, отличной от его правого конца. Оба односторонних предела совпадают со значением, и ff непрерывна в aa; в конце промежутка II достаточно единственной существующей стороны.

Условие на образ необходимо: целая часть монотонна и разрывна в каждой целой точке, а её образ, множество целых чисел, не является промежутком. Из теоремы сразу следует непрерывность обратных функций.

СледствиеНепрерывность обратной функции

Пусть ff есть функция, определённая на промежутке II и строго монотонная на нём, и пусть её образ J=f(I)J = f(I) есть промежуток. Тогда обратная функция f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I непрерывна на JJ. Обратная функция монотонна в том же направлении, и её образ есть промежуток II.

Доказательство

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    Если ff возрастает и y<y′y < y', причём обе точки лежат в JJ, обратная функция не может обратить порядок: если бы было f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y'), то после применения ff получилось бы y≥y′y \geq y'. Значит, f−1f^{-1} возрастает, и её образ есть II; теорема даёт непрерывность. Случай убывающей функции такой же.