انتقل إلى المحتوى
Topos Uranos
العربية

اتصال الدوال الأولية والنهايات الشهيرة

ملخص

يبرهن هذا الدرس أن الدوال الأولية التي بقيت، أي الدالة الأسية واللوغاريتم والقوى ذات الأس الحقيقي والدوال المثلثية العكسية والدوال الزائدية، متصلة، بحجة واحدة: الدالة الرتيبة التي تملأ قيمها فترة لا يمكن أن تقفز. وبهذا الاتصال وبالمتباينة الأساسية للدالة الأسية تُبرهن النهايات الشهيرة للدالة الأسية واللوغاريتم، ويُحصل على العدد ee نهايةً لـ(1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}}. ويحل الدرس أيضًا حالة عدم التعيين 1∞1^\infty، ويقارن الدالة الأسية والقوى واللوغاريتم عند اللانهاية.

أهداف التعلم

  1. أن يبرهن أن الدالة الرتيبة التي صورتها فترة متصلة، وأن يستنتج من ذلك اتصال الدالة العكسية واتصال الدوال الأولية.
  2. أن يبرهن النهايات الشهيرة للدالة الأسية واللوغاريتم والقوى.
  3. أن يحصل على العدد ee نهايةً، وأن يحل حالة عدم التعيين 1∞1^\infty.
  4. أن يقارن الدالة الأسية والقوى واللوغاريتم عند اللانهاية وقرب الصفر.

دوال رتيبة بلا قفزات

برهن الدرس عن النهاية والاتصال أن كثيرات الحدود والجذور والقيمة المطلقة والدوال المثلثية متصلة، وترك معلقةً الدالة الأسية واللوغاريتم والدوال المثلثية العكسية. وليس لهذه الدوال حدٌّ بسيط مثل ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}. غير أن لها حجة مشتركة: كلها رتيبة، وقيمها تملأ فترة دون أن تترك ثغرات. والدالة الرتيبة لا يمكن أن تكون غير متصلة إلا بقفزة، والقفزة تترك ثغرة بين القيم.

مبرهنةالدوال الرتيبة التي صورتها فترة

لتكن ff دالة معرفة على فترة II ورتيبة عليها، ولنفترض أن صورتها f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} فترة. عندئذ تكون ff متصلة على II. بحسب الدرس عن النهايات من جهة واحدة، للدالة الرتيبة نهاية من كل جهة من جهتي النقطة؛ ولو لم تكن هذه النهاية هي القيمة لبقيت ثغرة في الصورة. ويبيّن الرسم دالة متزايدة ذات قفزة والثغرة التي تتركها.

البرهان

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    تكفي حالة الدالة المتزايدة: إذا كانت ff متناقصة فإن −f-f متزايدة وصورتها فترة أيضًا. لتكن aa من II مختلفة عن طرفها الأيسر، وليكن c<ac < a حيث النقطتان في II. على (c,a)\ioo{c}{a} تكون الدالة متزايدة ومحدودة من الأعلى بـf(a)f(a)؛ وبحسب مبرهنة نهاية دالة رتيبة، توجد النهاية من اليسار وهي الحد الأعلى الأصغر لتلك القيم.

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    لنفترض أن L<f(a)L < f(a). المنتصف yy بين LL وf(a)f(a) يقع بين القيمتين f(c)f(c) وf(a)f(a)، فهو ينتمي إلى الصورة، التي هي فترة. لكن لا يبلغه أي xx من II: إذا كان x<ax < a فإن القيمة لا تتجاوز LL، وإذا كان x≥ax \geq a فإنها لا تنزل عن f(a)f(a). وهذا تناقض.

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    إذن L=f(a)L = f(a). وبالطريقة نفسها، بالحد الأدنى الأعظم وبنتيجة الطرف الأيسر من الدرس نفسه، تساوي النهاية من اليمين f(a)f(a) عند كل aa من II مختلفة عن طرفها الأيمن. فالنهايتان من الجهتين تطابقان القيمة، وff متصلة عند aa؛ وعند طرف من طرفي II تكفي الجهة الوحيدة الموجودة.

الفرض المتعلق بالصورة ضروري: الجزء الصحيح دالة رتيبة وغير متصلة عند كل عدد صحيح، وصورتها، أي الأعداد الصحيحة، ليست فترة. ومن المبرهنة يلزم مباشرةً اتصال الدوال العكسية.

نتيجةاتصال الدالة العكسية

لتكن ff دالة معرفة على فترة II ورتيبة تمامًا عليها، ولنفترض أن صورتها J=f(I)J = f(I) فترة. عندئذ تكون الدالة العكسية f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I متصلة على JJ. الدالة العكسية رتيبة في الاتجاه نفسه، وصورتها هي الفترة II.

البرهان

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    إذا كانت ff متزايدة وكان y<y′y < y' حيث النقطتان في JJ، فلا يمكن للدالة العكسية أن تقلب الترتيب: لو كان f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') لنتج عن تطبيق ff أن y≥y′y \geq y'. إذن f−1f^{-1} متزايدة، وصورتها II؛ والمبرهنة تعطي الاتصال. وحالة الدالة المتناقصة مماثلة.