Μετάβαση στο περιεχόμενο
Topos Uranos
Ελληνικά

Συνέχεια των στοιχειωδών συναρτήσεων και αξιοσημείωτα όρια

Περίληψη

Αυτό το μάθημα αποδεικνύει ότι οι στοιχειώδεις συναρτήσεις που έλειπαν, η εκθετική, ο λογάριθμος, οι δυνάμεις με πραγματικό εκθέτη, οι αντίστροφες τριγωνομετρικές και οι υπερβολικές, είναι συνεχείς, με ένα μόνο επιχείρημα: μια μονότονη συνάρτηση της οποίας οι τιμές γεμίζουν ένα διάστημα δεν μπορεί να κάνει άλμα. Με αυτή τη συνέχεια και τη θεμελιώδη ανισότητα της εκθετικής αποδεικνύονται τα αξιοσημείωτα όρια της εκθετικής και του λογαρίθμου, και ο αριθμός ee προκύπτει ως όριο του (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}}. Το μάθημα λύνει επίσης την απροσδιόριστη μορφή 1∞1^\infty και συγκρίνει την εκθετική, τις δυνάμεις και τον λογάριθμο στο άπειρο.

Μαθησιακοί στόχοι

  1. Να αποδεικνύει ότι μια μονότονη συνάρτηση της οποίας η εικόνα είναι διάστημα είναι συνεχής, και να συνάγει από αυτό τη συνέχεια της αντίστροφης και των στοιχειωδών συναρτήσεων.
  2. Να αποδεικνύει τα αξιοσημείωτα όρια της εκθετικής, του λογαρίθμου και των δυνάμεων.
  3. Να βρίσκει τον αριθμό ee ως όριο και να λύνει την απροσδιόριστη μορφή 1∞1^\infty.
  4. Να συγκρίνει την εκθετική, τις δυνάμεις και τον λογάριθμο στο άπειρο και κοντά στο μηδέν.

Μονότονες συναρτήσεις χωρίς άλματα

Το μάθημα για το όριο και τη συνέχεια απέδειξε ότι τα πολυώνυμα, οι ρίζες, η απόλυτη τιμή και οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συνεχείς, και άφησε εκκρεμείς την εκθετική, τον λογάριθμο και τις αντίστροφες τριγωνομετρικές. Για αυτές δεν υπάρχει ένα τόσο απλό φράγμα όσο το ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}. Υπάρχει, αντίθετα, ένα κοινό επιχείρημα: όλες είναι μονότονες, και οι τιμές τους γεμίζουν ένα διάστημα χωρίς να αφήνουν κενά. Μια μονότονη συνάρτηση μπορεί να είναι ασυνεχής μόνο μέσω ενός άλματος, και ένα άλμα αφήνει ένα κενό ανάμεσα στις τιμές.

ΘεώρημαΜονότονες συναρτήσεις των οποίων η εικόνα είναι διάστημα

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα II και μονότονη σε αυτό, και ας υποθέσουμε ότι η εικόνα της f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} είναι διάστημα. Τότε η ff είναι συνεχής στο II. Από το μάθημα για τα πλευρικά όρια, σε κάθε πλευρά ενός σημείου η μονότονη συνάρτηση έχει όριο· αν το όριο αυτό δεν ήταν η τιμή, θα έμενε ένα κενό στην εικόνα. Το σχήμα δείχνει μια αύξουσα συνάρτηση με ένα άλμα και το κενό που αφήνει.

Απόδειξη

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    Αρκεί η περίπτωση της αύξουσας: αν η ff είναι φθίνουσα, η −f-f είναι αύξουσα και η εικόνα της είναι επίσης διάστημα. Έστω aa του II διαφορετικό από το αριστερό του άκρο, και έστω c<ac < a στο II. Στο (c,a)\ioo{c}{a}, η συνάρτηση είναι αύξουσα και άνω φραγμένη από το f(a)f(a)· από το θεώρημα του ορίου μονότονης συνάρτησης, το όριο από αριστερά υπάρχει και είναι το supremum αυτών των τιμών.

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    Ας υποθέσουμε ότι L<f(a)L < f(a). Το μέσο yy ανάμεσα στο LL και στο f(a)f(a) βρίσκεται ανάμεσα στις τιμές f(c)f(c) και f(a)f(a), οπότε ανήκει στην εικόνα, που είναι διάστημα. Όμως κανένα xx του II δεν το φτάνει: αν x<ax < a, η τιμή δεν υπερβαίνει το LL, και αν x≥ax \geq a, δεν πέφτει κάτω από το f(a)f(a). Αυτό είναι άτοπο.

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    Άρα L=f(a)L = f(a). Με τον ίδιο τρόπο, με το infimum και το πόρισμα του αριστερού άκρου του ίδιου μαθήματος, το όριο από δεξιά ισούται με f(a)f(a) σε κάθε aa του II διαφορετικό από το δεξί του άκρο. Τα δύο πλευρικά όρια συμπίπτουν με την τιμή, και η ff είναι συνεχής στο aa· σε ένα άκρο του II αρκεί η μόνη πλευρά που υπάρχει.

Η παραδοχή για την εικόνα είναι αναγκαία: το ακέραιο μέρος είναι μονότονο και ασυνεχές σε κάθε ακέραιο, και η εικόνα του, οι ακέραιοι, δεν είναι διάστημα. Από το θεώρημα έπεται αμέσως η συνέχεια των αντίστροφων συναρτήσεων.

ΠόρισμαΣυνέχεια της αντίστροφης

Έστω ff μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα II και γνησίως μονότονη σε αυτό, και ας υποθέσουμε ότι η εικόνα της J=f(I)J = f(I) είναι διάστημα. Τότε η αντίστροφη f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I είναι συνεχής στο JJ. Η αντίστροφη είναι μονότονη με την ίδια φορά, και η εικόνα της είναι το διάστημα II.

Απόδειξη

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    Αν η ff είναι αύξουσα και y<y′y < y' στο JJ, η αντίστροφη δεν μπορεί να αντιστρέψει τη διάταξη: αν ήταν f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y'), εφαρμόζοντας την ff θα προέκυπτε y≥y′y \geq y'. Άρα η f−1f^{-1} είναι αύξουσα, και η εικόνα της είναι το II· το θεώρημα δίνει τη συνέχεια. Η φθίνουσα περίπτωση είναι όμοια.