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Topos Uranos
Deutsch

Stetigkeit der elementaren Funktionen und Standardgrenzwerte

Zusammenfassung

Diese Lektion beweist, dass die noch fehlenden elementaren Funktionen, die Exponentialfunktion, der Logarithmus, die Potenzen mit reellen Exponenten, die Arkusfunktionen und die Hyperbelfunktionen, stetig sind, und zwar mit einem einzigen Argument: Eine monotone Funktion, deren Werte ein Intervall ausfüllen, kann nicht springen. Mit dieser Stetigkeit und der Grundungleichung der Exponentialfunktion werden die Standardgrenzwerte der Exponentialfunktion und des Logarithmus bewiesen, und man erhält die Zahl ee als Grenzwert von (1+x)1x(1 + x)^{\frac{1}{x}}. Die Lektion löst außerdem den unbestimmten Ausdruck vom Typ 1∞1^\infty auf und vergleicht die Exponentialfunktion, die Potenzen und den Logarithmus im Unendlichen.

Lernziele

  1. Beweisen, dass eine monotone Funktion, deren Bild ein Intervall ist, stetig ist, und daraus die Stetigkeit der Umkehrfunktion und der elementaren Funktionen folgern.
  2. Die Standardgrenzwerte der Exponentialfunktion, des Logarithmus und der Potenzen beweisen.
  3. Die Zahl ee als Grenzwert gewinnen und den unbestimmten Ausdruck vom Typ 1∞1^\infty auflösen.
  4. Die Exponentialfunktion, die Potenzen und den Logarithmus im Unendlichen und in der Nähe von null vergleichen.

Monotone Funktionen ohne Sprünge

Die Lektion über Grenzwert und Stetigkeit hat bewiesen, dass die Polynome, die Wurzeln, der Betrag und die trigonometrischen Funktionen stetig sind, und hat die Exponentialfunktion, den Logarithmus und die Arkusfunktionen offengelassen. Für sie gibt es keine so einfache Abschätzung wie ∣sin⁡x−sin⁡a∣≤∣x−a∣\abs{\sin x - \sin a} \leq \abs{x - a}. Es gibt dagegen ein gemeinsames Argument: Alle sind monoton, und ihre Werte füllen ein Intervall lückenlos aus. Eine monotone Funktion kann nur durch einen Sprung unstetig sein, und ein Sprung hinterlässt eine Lücke zwischen den Werten.

SatzMonotone Funktionen, deren Bild ein Intervall ist

Es sei ff eine Funktion, die auf einem Intervall II definiert und dort monoton ist, und ihr Bild f(I)={f(x):x∈I}f(I) = \left\{ f(x) : x \in I \right\} sei ein Intervall. Dann ist ff auf II stetig. Nach der Lektion über einseitige Grenzwerte hat die monotone Funktion auf jeder Seite einer Stelle einen Grenzwert; wäre dieser Grenzwert nicht der Funktionswert, so bliebe eine Lücke im Bild. Die Abbildung zeigt eine monoton wachsende Funktion mit einem Sprung und die Lücke, die er hinterlässt.

Beweis

  1. lim⁡x→a−f(x)=L≤f(a),f(c)≤L\lim_{x \to a^-} f(x) = \dato{l}{L \leq f(a)}, \qquad f(c) \leq L

    Es genügt der wachsende Fall: Ist ff monoton fallend, so ist −f-f monoton wachsend, und ihr Bild ist ebenfalls ein Intervall. Es sei aa eine Stelle aus II, die von dessen linkem Randpunkt verschieden ist, und es sei c<ac < a in II. Auf (c,a)\ioo{c}{a} ist die Funktion monoton wachsend und durch f(a)f(a) beschränkt; nach dem Satz über den Grenzwert einer monotonen Funktion existiert der linksseitige Grenzwert und ist das Supremum dieser Werte.

  2. x<a→f(x)≤L<y,x≥a→f(x)≥f(a)>yx < a \rightarrow f(x) \leq L < y, \qquad x \geq a \rightarrow f(x) \geq f(a) > y

    Angenommen, L<f(a)L < f(a). Der Mittelpunkt yy zwischen LL und f(a)f(a) liegt zwischen den Werten f(c)f(c) und f(a)f(a) und gehört daher zum Bild, das ein Intervall ist. Aber kein xx aus II erreicht ihn: Für x<ax < a übersteigt der Wert LL nicht, und für x≥ax \geq a fällt er nicht unter f(a)f(a). Das ist ein Widerspruch.

  3. lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = \resaltar{f(a)}

    Also gilt L=f(a)L = f(a). Ebenso ist mit dem Infimum und dem Korollar über den linken Randpunkt aus derselben Lektion der rechtsseitige Grenzwert gleich f(a)f(a), und zwar an jeder Stelle aa aus II, die von dessen rechtem Randpunkt verschieden ist. Die beiden einseitigen Grenzwerte stimmen mit dem Funktionswert überein, und ff ist an der Stelle aa stetig; in einem Randpunkt von II genügt die einzige vorhandene Seite.

Die Voraussetzung über das Bild ist notwendig: Der ganzzahlige Anteil ist monoton und an jeder ganzen Zahl unstetig, und sein Bild, die Menge der ganzen Zahlen, ist kein Intervall. Aus dem Satz folgt unmittelbar die Stetigkeit der Umkehrfunktionen.

KorollarStetigkeit der Umkehrfunktion

Es sei ff eine Funktion, die auf einem Intervall II definiert und dort streng monoton ist, und ihr Bild J=f(I)J = f(I) sei ein Intervall. Dann ist die Umkehrfunktion f−1 ⁣:J→If^{-1} \colon J \to I auf JJ stetig. Die Umkehrfunktion ist im gleichen Sinn monoton, und ihr Bild ist das Intervall II.

Beweis

  1. f−1(y)≥f−1(y′)→y≥y′,f−1(J)=If^{-1}(y) \geq f^{-1}(y') \rightarrow y \geq y', \qquad f^{-1}(J) = \resaltar{I}

    Ist ff monoton wachsend und gilt y<y′y < y' in JJ, so kann die Umkehrfunktion die Anordnung nicht umkehren: Wäre f−1(y)≥f−1(y′)f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y'), so ergäbe die Anwendung von ff die Ungleichung y≥y′y \geq y'. Also ist f−1f^{-1} monoton wachsend, und ihr Bild ist II; der Satz liefert die Stetigkeit. Der fallende Fall verläuft ebenso.