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Topos Uranos
Deutsch

Grenzwert und Stetigkeit

Zusammenfassung

Diese Lektion führt die Grenzwerte zu ihrer ersten strukturellen Konsequenz, der Stetigkeit, die die nächste Lektion auf alle elementaren Funktionen ausdehnt. Eine Funktion ist an einer Stelle stetig, wenn ihr Wert dort derjenige ist, den die nahen Werte ankündigen; mit den Grenzwerten der vorigen Lektionen schreibt sich diese Idee als die gewohnte Herausforderung und Antwort, mit einem einzigen Unterschied: Die Stelle selbst wird nicht mehr ausgeschlossen. Daraus folgt, dass die Stetigkeit an einem Häufungspunkt gleichbedeutend damit ist, dass der Grenzwert existiert und gleich dem Wert ist, und dass fast alle ihre Sätze ohne neuen Beweis von den Rechenregeln für Grenzwerte geerbt werden. Die Unstetigkeitsstellen werden in hebbare, Sprungstellen und wesentliche klassifiziert, und die hebbaren werden durch die stetige Fortsetzung behoben. Das einzige neue Argument ist das der Verkettung, bei der die Stetigkeit mehr leistet als der Grenzwert: Sie beseitigt die Voraussetzung, die der Satz über den Grenzwert einer Verkettung verlangte, und erlaubt, den Grenzwert mit einer stetigen Funktion zu vertauschen.

Lernziele

  1. Die Stetigkeit an einer Stelle, auf einer Seite und auf einem Intervall definieren und sie mit dem Grenzwert in Beziehung setzen.
  2. Die Unstetigkeitsstellen in hebbare, Sprungstellen und wesentliche klassifizieren und eine Funktion mit einer hebbaren Unstetigkeitsstelle stetig fortsetzen.
  3. Die Stetigkeit von Summen, Produkten, Quotienten, Wurzeln und Verkettungen stetiger Funktionen beweisen und daraus die der Polynome, der rationalen Funktionen und der trigonometrischen Funktionen ableiten.
  4. Grenzwerte berechnen, indem man sie mit einer stetigen Funktion vertauscht, und Funktionen untersuchen, die nur an einer Stelle oder nirgends stetig sind.

Definition

In der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen schloss die Definition die Stelle aa absichtlich aus: Der Grenzwert beschreibt, was nahe bei aa geschieht, nicht an der Stelle aa, und die Funktion braucht dort nicht definiert zu sein. Die Stetigkeit vergleicht beides: was in der Nähe geschieht und was an der Stelle selbst geschieht.

DefinitionAn einer Stelle stetige Funktion

Es seien ff eine auf einer Menge AA definierte Funktion und aa ein Element von AA. Man sagt, ff sei an der Stelle aa stetig, wenn es zu jedem ε>0\varepsilon > 0 ein δ>0\delta > 0 gibt, sodass jedes xx aus AA, das ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta erfüllt, auch ∣f(x)−f(a)∣<ε\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon erfüllt:

(∀ε>0)(∃δ>0)(∀x∈A)(∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε)(\forall \varepsilon > 0)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(\abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon\right)

Ist ff an der Stelle aa nicht stetig, so sagt man, sie sei an der Stelle aa unstetig. Ist sie in allen Punkten einer Menge SS stetig, die in AA enthalten ist, so sagt man, sie sei auf SS stetig; und ist sie es auf ihrem ganzen Definitionsbereich, so sagt man einfach, sie sei stetig.

Die Definition unterscheidet sich von der des Grenzwerts in dreierlei Hinsicht. Die Zahl, der sich die Werte nähern müssen, ist nicht irgendein LL, sondern f(a)f(a); deshalb muss aa zum Definitionsbereich gehören. Die Antwort ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta schließt x=ax = a nicht aus, wobei es nichts kostet, diesen Fall einzuschließen, denn ∣f(a)−f(a)∣=0\abs{f(a) - f(a)} = 0. Und es wird nicht verlangt, dass aa ein Häufungspunkt von AA ist. Die Negation erhält man wie in der Lektion über den Grenzwert: ff ist an der Stelle aa unstetig, wenn es ein ε>0\varepsilon > 0 gibt, sodass es zu jedem δ>0\delta > 0 ein xx aus AA mit ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta und ∣f(x)−f(a)∣≥ε\abs{f(x) - f(a)} \geq \varepsilon gibt.

PropositionStetigkeit und Grenzwert

Es seien ff eine auf AA definierte Funktion und aa ein Element von AA. Ist aa ein Häufungspunkt von AA, so ist ff genau dann an der Stelle aa stetig, wenn lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a) gilt. Ist aa ein isolierter Punkt von AA, so ist ff an der Stelle aa stetig. Beide Definitionen verlangen dasselbe außer an der Stelle aa, wo die Stetigkeit von selbst gilt. In der Abbildung umgibt der Streifen den Wert f(a)f(a), der jetzt ein ausgefüllter Punkt des Graphen ist; am Ende erscheint ein isolierter Punkt des Definitionsbereichs.

Beweis

  1. 0<∣x−a∣<δ→∣x−a∣<δ→∣f(x)−f(a)∣<ε0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow \abs{x - a} < \delta \rightarrow \resaltar{\abs{f(x) - f(a)} < \varepsilon}

    Ist ff an der Stelle aa stetig, so gilt die Antwort δ\delta auf jede Herausforderung ε\varepsilon insbesondere für die xx mit 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta: Sie ist eine Antwort für den Grenzwert, mit L=f(a)L = f(a).

  2. x=a→∣f(a)−f(a)∣=0<εx = a \rightarrow \abs{f(a) - f(a)} = \resaltar{0} < \varepsilon

    Ist umgekehrt der Grenzwert gleich f(a)f(a), so deckt die Antwort des Grenzwerts die xx ab, die von aa verschieden sind, und für x=ax = a ist die Bedingung stets erfüllt: Sie ist eine Antwort für die Stetigkeit.

  3. ∣x−a∣<δ∧x∈A→x=a→∣f(x)−f(a)∣=0<ε\abs{x - a} < \delta \wedge x \in A \rightarrow x = a \rightarrow \abs{f(x) - f(a)} = 0 < \varepsilon

    Ist aa ein isolierter Punkt, so gibt es ein δ>0\delta > 0, sodass das einzige Element von AA mit ∣x−a∣<δ\abs{x - a} < \delta die Stelle aa selbst ist. Dieses δ\delta antwortet auf alle Herausforderungen zugleich.

Folglich besteht die Stetigkeit an einem Häufungspunkt des Definitionsbereichs aus drei Dingen: dass ff an der Stelle aa definiert ist, dass sie an der Stelle aa einen Grenzwert hat und dass dieser Grenzwert f(a)f(a) ist. Jedes davon kann für sich allein versagen, und daraus ergibt sich die Klassifikation der Unstetigkeitsstellen. Zum Beispiel hat die Funktion, die den Wert 11 an jeder Stelle x≠0x \neq 0 und den Wert 00 an der Stelle x=0x = 0 annimmt, aus dem Gegenbeispiel zur Verkettung in der Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte, den Grenzwert 11 an der Stelle 00, der von ihrem Wert verschieden ist: Sie ist an der Stelle 00 unstetig.