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Topos Uranos
Deutsch

Asymptoten und Techniken der grafischen Darstellung

Zusammenfassung

Diese Lektion schließt das Studium der Grenzwerte dieser Einheit mit ihrer ersten geometrischen Anwendung ab: den Asymptoten. In Algebra und Geometrie wurden die senkrechten, waagerechten und schiefen Asymptoten der rationalen Funktionen und der Wurzelfunktionen mit der Vorzeichentabelle und der Polynomdivision bestimmt, und das Verhalten der Kurve in ihrer Nähe wurde als anschauliche Tatsache vorausgesetzt. Hier werden sie mit einseitigen Grenzwerten, Grenzwerten im Unendlichen und uneigentlichen Grenzwerten definiert, und jene vorausgesetzten Tatsachen werden bewiesen. Es wird gezeigt, dass eine Gerade genau dann eine Asymptote ist, wenn der Abstand der Kurve von ihr gegen null strebt; man erhält die Formel für die Steigung und den Achsenabschnitt der schiefen Asymptote und folgert, dass es an jedem Ende höchstens eine gibt. Die Lektion korrigiert außerdem einen verbreiteten Irrglauben, nämlich dass eine Kurve ihre Asymptote nicht schneiden könne, schlägt ein Verfahren vor, eine Funktion ohne Ableitungen grafisch darzustellen, und wendet es auf Funktionen aus Algebra und Geometrie an, deren Vorzeichentabellen und Polynomdivisionen nun durch Grenzwerte ergänzt werden.

Lernziele

  1. Senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten mit Grenzwerten definieren und sie mit dem Abstand der Kurve von einer Geraden in Beziehung setzen.
  2. Die Formeln für die Steigung und den Achsenabschnitt der schiefen Asymptote sowie die Eindeutigkeit der nicht senkrechten Asymptote an jedem Ende beweisen.
  3. Die in Algebra und Geometrie vorausgesetzten Tatsachen über das Verhalten einer rationalen Funktion in der Nähe einer Nullstelle ihres Nenners beweisen und die Lage einer Kurve bezüglich ihrer Asymptote bestimmen.
  4. Algebraische und trigonometrische Funktionen grafisch darstellen, indem man Definitionsbereich, Symmetrien, Schnittpunkte mit den Achsen, Vorzeichentabelle und Asymptoten zusammenführt.

Definition

In der Lektion über die rationalen Funktionen von Algebra und Geometrie war eine Asymptote eine Gerade, der sich die Kurve immer mehr nähert, wenn sie sich längs eines ihrer Äste entfernt. Mit den Grenzwerten dieser Einheit lässt sich diese Idee präzise fassen. Es gibt zwei Arten, sich zu entfernen: Die Variable nähert sich einer Zahl, während die Werte unbeschränkt wachsen, oder die Variable wächst unbeschränkt. Der ersten entsprechen die senkrechten Asymptoten, der zweiten die übrigen.

DefinitionAsymptoten

Sei ff eine Funktion mit dem Definitionsbereich AA.

  • Die Gerade x=ax = a ist eine senkrechte Asymptote des Graphen von ff, wenn mindestens einer der einseitigen Grenzwerte von ff an der Stelle aa gleich ∞\infty oder −∞-\infty ist.
  • Ist AA nicht nach oben beschränkt, so ist die Gerade y=mx+by = mx + b eine Asymptote des Graphen von ff bei ∞\infty, wenn lim⁡x→∞(f(x)−(mx+b))=0\lim_{x \to \infty} \left(f(x) - (mx + b)\right) = 0 gilt. Sie heißt waagerecht, wenn m=0m = 0, und schief, wenn m≠0m \neq 0. Ebenso definiert man die Asymptote bei −∞-\infty.

Drei Bemerkungen präzisieren die Definition. Erstens: Die waagerechte Asymptote y=Ly = L bei ∞\infty ist einfach die Aussage lim⁡x→∞f(x)=L\lim_{x \to \infty} f(x) = L aus der Lektion über Grenzwerte, wenn die Variable gegen unendlich strebt. Zweitens: Die nicht senkrechten Asymptoten werden an jedem Ende getrennt definiert und können bei ∞\infty und bei −∞-\infty verschieden sein, wie die Geraden y=π2y = \frac{\pi}{2} und y=−π2y = -\frac{\pi}{2} des Arkustangens. Drittens: Strebt f(x)−g(x)f(x) - g(x) gegen 00 für eine Funktion gg, die nicht vom ersten Grad ist, etwa das Quotientenpolynom einer Division, wenn der Grad des Zählers den des Nenners um zwei oder mehr übersteigt, so nennt man die Kurve y=g(x)y = g(x) eine Näherungskurve (Asymptotenkurve); alles Folgende über schiefe Asymptoten gilt auch für sie, mit Ausnahme der Formeln für die Steigung und den Achsenabschnitt.

Die Definition misst die Differenz der Ordinaten, das heißt den vertikalen Abstand zwischen der Kurve und der Geraden. Die anschauliche Vorstellung spricht dagegen vom Abstand der Kurve von der Geraden, der auf dem Lot gemessen wird. Die folgende Proposition zeigt, dass beide zugleich gegen null streben.

PropositionDer Abstand zur Asymptote

Sei Px=(x,f(x))P_x = (x, f(x)) der Punkt des Graphen mit der Abszisse xx, und sei rr die Gerade y=mx+by = mx + b. Dann ist rr genau dann eine Asymptote des Graphen von ff bei ∞\infty, wenn lim⁡x→∞d⁡(Px,r)=0\lim_{x \to \infty} \operatorname{d}(P_x, r) = 0 gilt. Der Abstand von der Geraden ist der vertikale Abstand, multipliziert mit einer positiven Konstanten. In der Abbildung ist die Kurve f(x)=x2+1+1x−1f(x) = \frac{x}{2} + 1 + \frac{1}{x - 1}, deren Asymptote die Gerade y=x2+1y = \frac{x}{2} + 1 ist.

Beweis

  1. d⁡(Px,r)=∣mx−f(x)+b∣m2+1=∣f(x)−(mx+b)∣m2+1\operatorname{d}(P_x, r) = \frac{\abs{mx - f(x) + b}}{\sqrt{m^2 + 1}} = \resaltar{\frac{\abs{f(x) - (mx + b)}}{\sqrt{m^2 + 1}}}

    Die Gerade rr hat die Gleichung mx−y+b=0mx - y + b = 0. Nach der Formel für den Abstand eines Punktes von einer Geraden aus der Lektion über Vektoren in der Ebene ist der Abstand des Punktes PxP_x von rr der vertikale Abstand, geteilt durch m2+1\sqrt{m^2 + 1}, das nicht von xx abhängt.

  2. f(x)−(mx+b)→0⇔d⁡(Px,r)→0f(x) - (mx + b) \to 0 \Leftrightarrow \resaltar{\operatorname{d}(P_x, r) \to 0}

    Nach dem Lemma über den Grenzwert als gegen null strebenden Abstand aus der Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte, aufs Unendliche übertragen, strebt f(x)−(mx+b)f(x) - (mx + b) genau dann gegen 00, wenn sein Betrag gegen 00 strebt; und dieser strebt genau dann gegen 00, wenn sein Produkt mit der positiven Konstanten 1m2+1\frac{1}{\sqrt{m^2 + 1}} es tut, nach der Regel für Linearkombinationen.