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Topos Uranos
Deutsch

Uneigentliche Grenzwerte

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht die Funktionen, deren Werte unbeschränkt wachsen oder fallen. Sie vervollständigt das gemeinsame Schema der Grenzwertdefinitionen um das fehlende Feld, das des Wertes in der Nähe von ∞\infty, und unterscheidet die uneigentlichen Grenzwerte, die eine präzise Art sind, keinen Grenzwert zu haben, von den übrigen Formen der Divergenz. Ein einziges Lemma, das Kehrwertlemma, reduziert die uneigentlichen Grenzwerte auf Grenzwerte gleich null, sodass sich die Regeln für Summe, Produkt und Quotient aus den Rechenregeln für Grenzwerte ableiten lassen; nur der Vergleich, der Satz über unbeschränkte monotone Funktionen und die Verkettung erfordern ein eigenes Argument. Mit ihnen werden zwei Ergebnisse vervollständigt, die die vorigen Lektionen nur zur Hälfte erledigt hatten: der Quotient mit gegen null strebendem Nenner und die rationalen Funktionen, deren Zähler den höheren Grad hat. Die Lektion zeigt auch, warum die unbestimmten Ausdrücke keine Regeln sind, und schließt mit der Verkettung mit uneigentlichen Grenzwerten.

Lernziele

  1. Die uneigentlichen Grenzwerte an einer Stelle, auf einer Seite und im Unendlichen mit dem Schema von Herausforderung und Antwort definieren und sie von den übrigen Formen der Divergenz unterscheiden.
  2. Das Kehrwertlemma beweisen und aus ihm und dem Vergleichssatz die Regeln für Summe, Produkt und Quotient mit uneigentlichen Grenzwerten ableiten.
  3. Die unbestimmten Ausdrücke erkennen und an Beispielen zeigen, dass sie jedes beliebige Ergebnis liefern können.
  4. Uneigentliche Grenzwerte von Polynomen, rationalen Funktionen, trigonometrischen Funktionen und Verkettungen berechnen und den Satz über unbeschränkte monotone Funktionen beweisen.

Das fehlende Feld

In der Lektion über Grenzwerte, wenn die Variable gegen unendlich strebt, wurde ein gemeinsames Schema beschrieben: Jede Grenzwertdefinition ist eine Herausforderung an die Werte mit einer Antwort über die Variable, und es ändert sich nur, was es heißt, in der Nähe des einen oder des anderen zu sein. Für die Variable wurden schon alle Formen verwendet: in der Nähe einer Zahl aa, auf einer Seite von ihr oder in der Nähe von ±∞\pm\infty. Für die Werte nur eine: in der Nähe einer Zahl LL. Diese Lektion vervollständigt das Schema um die verbleibende Form, in der der Wert in der Nähe von ∞\infty liegt, das heißt f(x)>Nf(x) > N, oder in der Nähe von −∞-\infty, das heißt f(x)<Nf(x) < N.

DefinitionUneigentliche Grenzwerte

Es sei aa ein Häufungspunkt des Definitionsbereichs AA von ff. Man sagt, ff strebe gegen unendlich für xx gegen aa, und schreibt lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, wenn es zu jeder reellen Zahl NN ein δ>0\delta > 0 gibt, sodass f(x)>Nf(x) > N für jedes xx aus AA mit 0<∣x−a∣<δ0 < \abs{x - a} < \delta gilt. Ebenso gilt lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x \to a} f(x) = -\infty, wenn es zu jedem NN ein δ>0\delta > 0 gibt, sodass f(x)<Nf(x) < N für diese xx gilt.

In Quantorenschreibweise hat die Definition die gewohnte Form; die Herausforderung ist jetzt eine obere Halbebene, die der Punkte mit einer Ordinate größer als NN:

lim⁡x→af(x)=∞↔(∀N)(∃δ>0)(∀x∈A)(0<∣x−a∣<δ→f(x)>N)\lim_{x \to a} f(x) = \infty \leftrightarrow (\forall N)(\exists \delta > 0)(\forall x \in A)\left(0 < \abs{x - a} < \delta \rightarrow f(x) > N\right)

Die Varianten erhält man, indem man nur die Antwort ändert, wie in den vorigen Lektionen: lim⁡x→a+f(x)=∞\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty, wenn die Bedingung für a<x<a+δa < x < a + \delta gilt; lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty, wenn es ein MM gibt, sodass sie für x>Mx > M gilt; und entsprechend in den übrigen Fällen. Im Folgenden bezeichnet PP irgendeines der Ziele der Variablen (aa, a+a^+, a−a^-, ∞\infty oder −∞-\infty), und „in der Nähe von PP“ bedeutet in einem punktierten Intervall, auf einer Seite oder auf einer Halbgeraden, je nach Fall. Alle Beweise der Lektion verwenden nur eine gemeinsame Eigenschaft: Zwei Bedingungen, die in der Nähe von PP gelten, gelten in der Nähe von PP zugleich, indem man den kleineren von zwei Radien oder die größere von zwei Schranken nimmt. Die Sätze über endliche Grenzwerte, die an einem beliebigen Ziel PP zitiert werden (die Eindeutigkeit, die lokale Beschränktheit, die Vorzeichenerhaltung, die Rechenregeln für Grenzwerte und die Lemmata der Lektion über die Rechenregeln für Grenzwerte), gelten an allen diesen Zielen dank der Lektion über die einseitigen Grenzwerte und dank des Inversionslemmas der vorigen Lektion, dessen Zuordnung δ=1M\delta = \frac{1}{M} zwischen der Schranke und dem Radius die uneigentlichen Grenzwerte auf dieselbe Weise überträgt, weil sie nicht von der Form der Herausforderung abhängt.

Es lohnt sich, darauf zu bestehen, was die Schreibweise besagt. Gilt lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x \to a} f(x) = \infty, so hat die Funktion keinen Grenzwert an der Stelle aa im Sinne der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen, weil sie in der Nähe von aa nicht beschränkt ist, und die lokale Beschränktheit besagt, dass eine Funktion mit Grenzwert dort beschränkt ist. Die Gleichheit mit ∞\infty beschreibt eine präzise Art, keinen Grenzwert zu haben. Man sagt, ff divergiere an der Stelle PP, wenn sie dort keinen endlichen Grenzwert hat; gegen ∞\infty oder gegen −∞-\infty zu streben sind zwei Arten zu divergieren, aber nicht die einzigen. Die Funktion sin⁡1x\sin \frac{1}{x} divergiert an der Stelle 00 und ist beschränkt; die Funktion 1xsin⁡1x\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x} divergiert an der Stelle 00, ist in der Nähe von 00 nicht beschränkt und strebt dennoch weder gegen ∞\infty noch gegen −∞-\infty, weil sie in Punkten verschwindet, die beliebig nahe an 00 liegen.

PropositionDie Kehrwerte von x2x^2 und von xx an der Stelle null

lim⁡x→01x2=∞\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty. Dagegen gilt lim⁡x→0+1x=∞\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty und lim⁡x→0−1x=−∞\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty, sodass 1x\frac{1}{x} weder gegen ∞\infty noch gegen −∞-\infty strebt, wenn xx gegen 00 strebt. Die Antwort auf die Herausforderung NN ist die Wurzel aus dem Kehrwert von NN. In der Abbildung ist die obere Halbebene die Herausforderung, der vertikale Streifen neben 00 die Antwort.

Beweis

  1. δ=1N\delta = \dato{d}{\frac{1}{\sqrt{N}}}

    Es sei NN eine reelle Zahl; es genügt, N>0N > 0 zu betrachten, denn eine Antwort auf eine größere Herausforderung beantwortet auch alle kleineren. Als Antwort nimmt man die Quadratwurzel aus ihrem Kehrwert.

  2. 0<x2<1N→1x2>N0 < x^2 < \frac{1}{N} \rightarrow \resaltar{\frac{1}{x^2} > N}

    Ist 0<∣x∣<δ0 < \abs{x} < \delta, so ist das Quadrat von xx positiv und kleiner als 1N\frac{1}{N}; beim Übergang zu den Kehrwerten positiver Zahlen kehrt sich die Ungleichung um.

  3. 0<x<1N→1x>N,−1N<x<0→1x<−N0 < x < \frac{1}{N} \rightarrow \frac{1}{x} > N, \qquad -\frac{1}{N} < x < 0 \rightarrow \frac{1}{x} < -N

    Für 1x\frac{1}{x} von rechts liefert die Proposition über den Kehrwert aus der vorigen Lektion die Antwort δ=1N\delta = \frac{1}{N}. Von links ist 1x\frac{1}{x} die Gegenzahl von 1−x\frac{1}{-x}, und −x-x liegt rechts von 00: Die Werte sind kleiner als −N-N.

  4. lim⁡x→0+1x=∞≠−∞=lim⁡x→0−1x\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = \infty \neq -\infty = \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}

    In jedem punktierten Intervall mit Mittelpunkt 00 gibt es Werte von 1x\frac{1}{x}, die größer als 11 sind, und solche, die kleiner als −1-1 sind: Kein δ\delta beantwortet die Herausforderung N=1N = 1 für ∞\infty und keines die Herausforderung N=−1N = -1 für −∞-\infty.