Einseitige Grenzwerte · Topos Uranos

Zusammenfassung

Diese Lektion untersucht das Verhalten einer Funktion auf jeder Seite einer Stelle. Der rechtsseitige und der linksseitige Grenzwert werden als gewöhnliche Grenzwerte der Einschränkung der Funktion auf eine der Seiten definiert, sodass alle Sätze der vorigen Lektionen ohne neuen Beweis für sie gelten. Mit Epsilon und Delta werden nur zwei Ergebnisse bewiesen: dass eine Funktion genau dann einen Grenzwert hat, wenn ihre beiden einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen, und dass eine monotone und beschränkte Funktion an einem Randpunkt eines Intervalls einen einseitigen Grenzwert hat, der gleich dem Supremum oder dem Infimum ihrer Werte ist. Letzteres ist der erste Satz des Kurses, der sichert, dass ein Grenzwert existiert, ohne dass man seinen Wert im Voraus kennt. Die Aufgaben untersuchen stückweise definierte Funktionen, den ganzzahligen Anteil und trigonometrische Quotienten, die auf beiden Seiten gegen verschiedene Zahlen streben.

Lernziele

Die einseitigen Grenzwerte mit Epsilon und Delta als Grenzwerte einer Einschränkung definieren und die Sätze der vorigen Lektionen auf sie anwenden.
Beweisen, dass eine Funktion an einer Stelle genau dann einen Grenzwert hat, wenn ihre beiden einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind, und damit beweisen, dass ein Grenzwert nicht existiert.
Beweisen, dass eine monotone und beschränkte Funktion an den Randpunkten eines Intervalls einseitige Grenzwerte hat, die gleich dem Supremum oder dem Infimum ihrer Werte sind.
Einseitige Grenzwerte stückweise definierter Funktionen, des ganzzahligen Anteils und trigonometrischer Quotienten berechnen und Konstanten so bestimmen, dass ein Grenzwert existiert.

Sprünge und Ränder

In der Lektion über den Grenzwert von Funktionen einer reellen Variablen wurde bewiesen, dass die Signumfunktion, die für positive Zahlen gleich $1$ und für negative gleich $-1$ ist (der Wert, den man ihr an der Stelle $0$ zuweist, beeinflusst den Grenzwert nicht), an der Stelle $0$ keinen Grenzwert hat. Und doch ist ihr Verhalten in der Nähe von $0$ sehr einfach: Rechts von $0$ ist sie konstant gleich $1$ , und links konstant gleich $-1$ . Die Definition des Grenzwerts unterscheidet die Seiten nicht und hält deshalb diese Information nicht fest. Dasselbe geschieht beim ganzzahligen Anteil, der im Folgenden definiert wird, an jeder ganzen Zahl.

Im Beweis der Dichtheit der rationalen Zahlen, in der Lektion über die Zahlengerade, wurde gezeigt, dass es zu jeder reellen Zahl $t$ eine ganze Zahl $m$ mit $m - 1 \leq t < m$ gibt. Diese ganze Zahl ist eindeutig, denn zwei verschiedene ganze Zahlen haben mindestens den Abstand $1$ und passen nicht beide in ein an einem Ende offenes Intervall der Länge $1$ . Die ganze Zahl $m - 1$ heißt ganzzahliger Anteil von $t$ und wird $\lfloor t \rfloor$ geschrieben: Sie ist die einzige ganze Zahl, die die folgende Bedingung erfüllt.

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

Zum Beispiel gilt $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ , $\lfloor 3 \rfloor = 3$ und $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$ . Im Intervall $\ico{n}{n + 1}$ , wobei $n$ ganzzahlig ist, ist der ganzzahlige Anteil konstant gleich $n$ ; beim Erreichen von $n + 1$ springt er um eins. In der Nähe einer ganzen Zahl $n$ ist die Funktion links gleich $n - 1$ und rechts gleich $n$ .

In der ganzen Lektion ist $f$ eine reelle Funktion, die auf einer Menge $A$ definiert ist, und man schreibt $A \cap \ioo{a}{\infty}$ für die Punkte von $A$ , die rechts von $a$ liegen, und $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ für die, die links davon liegen.