片側極限 · Topos Uranos

要約

この課では、関数のふるまいを一点の両側で調べる。右側極限と左側極限は、関数をどちらか一方の側に制限したものの通常の極限として定義されるので、これまでの課のすべての定理が新たな証明なしにそれらについて成り立つ。ε-δ 論法で証明するのは二つの結果だけである。一つは、関数が極限をもつのは二つの片側極限が存在して一致するとき、かつそのときに限ること、もう一つは、単調で有界な関数は区間の端で片側極限をもち、それが値の上限または下限に等しいことである。後者は、極限の値を前もって知らなくても極限の存在を保証する、このコースで最初の定理である。問題では、区分的に定義された関数、整数部分、および両側で異なる数に近づく三角関数の商を調べる。

学習目標

ε-δ 論法により片側極限を制限の極限として定義し、それにこれまでの課の定理を適用する。
関数が一点で極限をもつのは二つの片側極限が存在して等しいとき、かつそのときに限ることを証明し、それを用いて極限が存在しないことを証明する。
単調で有界な関数が区間の端で片側極限をもち、それが値の上限または下限に等しいことを証明する。
区分的に定義された関数、整数部分、三角関数の商の片側極限を計算し、極限が存在するように定数を定める。

跳びと端

実変数関数の極限についての課で、符号関数（正の数では $1$ 、負の数では $-1$ に等しく、 $0$ で割り当てる値は極限に影響しない）は $0$ で極限をもたないことを証明した。それでも、 $0$ の近くでのふるまいはきわめて単純である。 $0$ の右側では常に $1$ に等しく、左側では常に $-1$ に等しい。極限の定義は両側を区別しないので、この情報を記録しない。このあと定義する整数部分についても、各整数において同じことが起こる。

実数直線についての課で有理数の稠密性を証明したとき、すべての実数 $t$ に対して整数 $m$ が存在して $m - 1 \leq t < m$ を満たすことを示した。この整数はただ一つである。異なる二つの整数は少なくとも $1$ 離れており、一方の端で開いた長さ $1$ の区間に両方が入ることはないからである。整数 $m - 1$ を $t$ の整数部分といい、 $\lfloor t \rfloor$ と書く。これは以下の条件を満たすただ一つの整数である。

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

たとえば、 $\lfloor 2.7 \rfloor = 2$ 、 $\lfloor 3 \rfloor = 3$ 、 $\lfloor -0.5 \rfloor = -1$ である。区間 $\ico{n}{n + 1}$ （ $n$ は整数）では、整数部分は常に $n$ に等しく、 $n + 1$ に達すると一だけ跳ね上がる。整数 $n$ の近くでは、関数は左側で $n - 1$ 、右側で $n$ に等しい。

この課を通して、 $f$ は集合 $A$ で定義された実関数とし、 $A \cap \ioo{a}{\infty}$ と書いて $A$ の点のうち $a$ の右側にあるものを表し、 $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ と書いて左側にあるものを表す。