はさみうちの原理と三角関数の極限

法則では届かない極限

極限の演算法則についての課では、$\frac{0}{0}$ の形の不定形はすべて、式を変形して共通因数を約分することで解決した。商 $\frac{\sin x}{x}$ は、$x$ が $0$ に近づくとき、そのような扱いを受けつけない。正弦は多項式ではなく、どんな因数分解をしても分子に因数 $x$ は現れないからである。積の法則もまた、$x \sin \frac{1}{x}$ の $0$ における極限を決められない。因数 $\sin \frac{1}{x}$ が極限をもたないからであり、このことは実変数関数の極限についての課の練習問題 3 で証明を求めた。

しかし、どちらの場合も、関数はより簡単な二つの関数の間に閉じ込められている。$x \sin \frac{1}{x}$ の絶対値は $\abs{x}$ を超えず、商 $\frac{\sin x}{x}$ は、後で見るように $\cos x$ と $1$ の間にある。そうであるならば、同じ数に近づく二つの関数の間に閉じ込められた関数はその数に近づく、ということを一度で証明しておく価値がある。この課の証明は前の課の方針に従う。各結果を一つの不等式に帰着させ、残りは上界による判定法、またはそこから導いた道具が片づける。

前の課の約束をそのまま用いる。$f$、$g$、$h$ は同じ一つの集合 $A$ で定義された実関数であり、点 $a$ は $A$ の集積点であり、何かが「$a$ の近くで」成り立つとは、ある $r > 0$ が存在して、すべての $x$（$A$ の元で $0 < \abs{x - a} < r$ を満たすもの）がそれを満たすことをいう。三つの補題の節の終わりで得た道具を思い出そう。$\lim_{x \to a} f(x) = L$ かつ $\lim_{x \to a} g(x) = M$ ならば、すべての関数 $F$ で、$a$ の近くで以下のような上界（ただし $C > 0$）を満たすものは、$K$ に近づく。