O teorema do confronto e os limites trigonométricos

Resumo

Esta aula obtém limites que as regras da álgebra dos limites não alcançam, comparando a função com outras cujo limite se conhece. Primeiro demonstra-se que os limites conservam as desigualdades não estritas; depois, o teorema do confronto, que se reduz ao critério da cota da aula precedente sem nenhum argumento épsilon-delta novo, e seu caso mais usado: o produto de uma função limitada por outra que tende a zero. Com a cota do seno, demonstrada em Álgebra e Geometria II, prova-se que o seno e o cosseno têm limite em todo ponto, igual a seu valor. A desigualdade entre o seno, o arco e a tangente dá então o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ , do qual as regras já conhecidas deduzem os demais limites trigonométricos. Os problemas aplicam o teorema do confronto, calculam limites trigonométricos com mudanças de variável e obtêm o limite de $\frac{\arctan y}{y}$ .

Objetivos de aprendizagem

Demonstrar a conservação das desigualdades, com a conservação do sinal, e, com o critério da cota, o teorema do confronto e o limite do produto de uma função limitada por outra que tende a zero.
Demonstrar que o seno e o cosseno têm limite em todo ponto, igual a seu valor, e deduzir o da tangente.
Demonstrar o limite fundamental $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ e deduzir dele os limites de $\frac{\tan x}{x}$ , $\frac{\sin kx}{x}$ , $\frac{1 - \cos x}{x^2}$ e $\frac{1 - \cos x}{x}$ .
Calcular limites por comparação e limites trigonométricos, justificando cada passo com os teoremas da aula.

Limites que as regras não alcançam

Na aula sobre a álgebra dos limites, toda forma $\frac{0}{0}$ foi resolvida transformando a expressão até simplificar um fator comum. O quociente $\frac{\sin x}{x}$ , quando $x$ tende a $0$ , não admite esse tratamento: o seno não é um polinômio, e nenhuma fatoração faz aparecer o fator $x$ no numerador. Tampouco a regra do produto decide o limite de $x \sin \frac{1}{x}$ em $0$ , porque o fator $\sin \frac{1}{x}$ não tem limite, como se pediu demonstrar no problema proposto 3 da aula sobre o limite de funções de uma variável real.

Ora, em ambos os casos a função fica presa entre outras duas mais simples: o valor absoluto de $x \sin \frac{1}{x}$ não excede $\abs{x}$ , e o quociente $\frac{\sin x}{x}$ está, como se verá, entre $\cos x$ e $1$ . Se isso é assim, convém demonstrar uma única vez que uma função presa entre duas que tendem ao mesmo número tende também a ele. As demonstrações desta aula seguem o plano da precedente: cada resultado se reduz a uma desigualdade, e o critério da cota, ou a ferramenta que dele se deduziu, faz o resto.

Mantêm-se as convenções da aula precedente: $f$ , $g$ e $h$ são funções reais definidas num mesmo conjunto $A$ , o ponto $a$ é de acumulação de $A$ , e que algo se cumpra «perto de $a$ » significa que existe um $r > 0$ tal que todo $x$ de $A$ com $0 < \abs{x - a} < r$ o cumpre. Recorde-se a ferramenta com que terminou a seção dos três lemas: se $\lim_{x \to a} f(x) = L$ e $\lim_{x \to a} g(x) = M$ , toda função $F$ que cumpra perto de $a$ uma cota como a que vem a seguir, com $C > 0$ , tende a $K$ .

\abs{F(x) - K} \leq C\left(\abs{f(x) - L} + \abs{g(x) - M}\right)