Limites laterais · Topos Uranos

Resumo

Esta aula estuda o comportamento de uma função de cada lado de um ponto. O limite à direita e o limite à esquerda são definidos como limites ordinários da restrição da função a um dos lados, de modo que todos os teoremas das aulas precedentes valem para eles sem uma demonstração nova. Com épsilon e delta demonstram-se apenas dois resultados: que uma função tem limite se e somente se seus dois limites laterais existem e coincidem, e que uma função monótona e limitada tem limite lateral no extremo de um intervalo, igual ao supremo ou ao ínfimo de seus valores. Este último é o primeiro teorema do curso que assegura que um limite existe sem conhecer de antemão o seu valor. Os problemas estudam funções definidas por partes, a parte inteira e quocientes trigonométricos que tendem a números distintos de cada lado.

Objetivos de aprendizagem

Definir com épsilon e delta os limites laterais como limites de uma restrição, e aplicar-lhes os teoremas das aulas precedentes.
Demonstrar que uma função tem limite num ponto se e somente se seus dois limites laterais existem e são iguais, e usá-lo para demonstrar que um limite não existe.
Demonstrar que uma função monótona e limitada tem limites laterais nos extremos de um intervalo, iguais ao supremo ou ao ínfimo de seus valores.
Calcular limites laterais de funções definidas por partes, da parte inteira e de quocientes trigonométricos, e determinar constantes para que um limite exista.

Saltos e bordas

Na aula sobre o limite de funções de uma variável real demonstrou-se que a função sinal, que vale $1$ nos positivos e $-1$ nos negativos (o valor que se lhe atribua em $0$ não afeta o limite), não tem limite em $0$ . E, no entanto, seu comportamento perto de $0$ é muito simples: à direita de $0$ vale constantemente $1$ , e à esquerda, constantemente $-1$ . A definição de limite não distingue os lados, e por isso não registra essa informação. O mesmo ocorre com a parte inteira, definida a seguir, em cada número inteiro.

Na demonstração da densidade dos racionais, na aula sobre a reta real, provou-se que para todo real $t$ existe um inteiro $m$ com $m - 1 \leq t < m$ . Esse inteiro é único, porque dois inteiros distintos distam pelo menos $1$ e não cabem ambos num intervalo de comprimento $1$ aberto num extremo. O inteiro $m - 1$ chama-se parte inteira de $t$ e escreve-se $\lfloor t \rfloor$ : é o único inteiro que cumpre a condição abaixo.

\lfloor t \rfloor \in \mathbb{Z}, \qquad \lfloor t \rfloor \leq t < \lfloor t \rfloor + 1

Por exemplo, $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ , $\lfloor 3 \rfloor = 3$ e $\lfloor -0{,}5 \rfloor = -1$ . No intervalo $\ico{n}{n + 1}$ , com $n$ inteiro, a parte inteira vale constantemente $n$ ; ao chegar a $n + 1$ dá um salto de altura um. Perto de um inteiro $n$ , a função vale $n - 1$ à esquerda e $n$ à direita.

Em toda a aula, $f$ é uma função real definida num conjunto $A$ , e escreve-se $A \cap \ioo{a}{\infty}$ para os pontos de $A$ situados à direita de $a$ e $A \cap \ioo{-\infty}{a}$ para os situados à sua esquerda.