Limites quando a variável tende ao infinito

Resumo

Esta aula estuda o comportamento de uma função quando a variável cresce ilimitadamente, e o distingue com cuidado de outra situação que se escreve com o mesmo símbolo: a de uma função cujos valores crescem ilimitadamente. Define-se com épsilon e uma cota $M$ o limite quando a variável tende ao infinito, e demonstra-se uma única vez que ele equivale a um limite lateral em $0$ por meio da mudança de variável $t = \frac{1}{x}$ . Daí se segue que todos os teoremas das aulas precedentes valem também no infinito, sem uma demonstração nova. Com eles calculam-se os limites das potências e das funções racionais, o que demonstra as assíntotas horizontais e oblíquas que Álgebra e Geometria admitiu; aplicam-se o teorema do confronto e o das funções monótonas; e reconhece-se quando o limite não existe.

Objetivos de aprendizagem

Distinguir o limite quando a variável tende ao infinito do limite infinito, e escrever ambos com o esquema comum do desafio e da resposta.
Definir com épsilon e uma cota $M$ o limite quando a variável tende ao infinito, e demonstrar sua equivalência com um limite lateral em $0$ .
Demonstrar os limites das potências e das funções racionais quando a variável tende ao infinito, e deduzir deles as assíntotas horizontais e oblíquas.
Calcular limites no infinito com o teorema do confronto, as funções monótonas e as mudanças de variável, e demonstrar quando não existem.

Dois usos do infinito

A palavra «infinito» aparece no estudo dos limites com dois sentidos distintos, que convém separar desde o princípio. No primeiro, é a variável que cresce ilimitadamente, enquanto os valores da função se aproximam de um número. No segundo, é a função que cresce ilimitadamente, enquanto a variável se aproxima de um número. As três afirmações abaixo são, portanto, diferentes.

$\lim_{x \to \infty} f(x) = L$ : a variável cresce ilimitadamente e os valores de $f$ se aproximam do número $L$ . Por exemplo, $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ quando $x$ cresce. É o objeto desta aula.
$\lim_{x \to a} f(x) = \infty$ : a variável se aproxima do número $a$ e os valores de $f$ crescem ilimitadamente. Por exemplo, $\frac{1}{x^2}$ cresce ilimitadamente quando $x$ se aproxima de $0$ . É o objeto da aula sobre os limites infinitos.
$\lim_{x \to \infty} f(x) = \infty$ : ambas crescem ilimitadamente, como $x^2$ . Estuda-se também na aula sobre os limites infinitos.

O símbolo $\infty$ não é um número real, e as duas situações não são simétricas. Na primeira, o limite existe e é um número, $L$ , ao qual se aplicam a unicidade, a álgebra dos limites e todos os teoremas conhecidos. Na segunda, a função não tem limite no sentido da aula sobre o limite de funções de uma variável real: a escrita $= \infty$ não nomeia um limite, mas uma maneira precisa de não tê-lo. Por isso as regras da álgebra dos limites, que operam com números, não podem aplicar-se a $\infty$ como se ele o fosse.

Ambas as situações cabem, no entanto, num mesmo esquema. Toda definição de limite diz: para todo desafio sobre os valores existe uma resposta sobre a variável. A única coisa que muda é o que significa estar perto de cada coisa:

a variável está perto do número $a$ se $0 < \abs{x - a} < \delta$ , e perto de $\infty$ se $x > M$ ;
o valor está perto do número $L$ se $\abs{f(x) - L} < \varepsilon$ , e perto de $\infty$ se $f(x) > N$ .

A definição da aula sobre o limite combina a primeira forma de cada linha; esta aula, a segunda da primeira linha com a primeira da segunda; a aula sobre os limites infinitos, as restantes. A primeira proposição desta aula mostra os dois usos com uma mesma função.